Kosinitheoreema yhdistää kolmion kolme sivua ja yhden sen kulmista: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Se toimii missä tahansa kolmiossa, joten 9. luokalla se korvaa Pythagoraan lauseen silloin, kun suoraa kulmaa ei ole. Sillä löydetään kolmas sivu, jos kaksi muuta ja niiden välinen kulma tunnetaan, ja johtopäätöksen \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) avulla – mikä tahansa kulma kolmesta sivusta ja kolmion tyyppi. Sivulla – kaavan muotoilu ja kaikki kolme kaavan esitystapaa, todistus, kosinitaulukko, muistilappu "sinien tai kosinien", EGE-tehtävien ratkaisut ja harjoitusohjelma itsetestaukseen.
Kosinitheoreema: muotoilu ja kaava
Kosinitheoreema toimii missä tahansa kolmiossa – suoraa kulmaa se ei tarvitse. Se yhdistää kolme sivua ja yhden kulman, joten sillä löydetään sivu, jos kaksi muuta sivua ja niiden välinen kulma tunnetaan.
Muotoilu. Kolmion sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa miinus näiden sivujen kaksinkertainen tulo kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla.
Tässä \(a\), \(b\), \(c\) ovat kolmion sivuja ja \(C\) on sivujen \(a\) ja \(b\) välinen kulma; sivu \(c\) on tämän kulman vastapäätä. Kirjaimet voi valita miten tahansa – kaava on symmetrinen, joten sillä on kolme tasa-arvoista esitystapaa:
Pääsääntö sijoittamiselle: valitse kulma, joka on "tuotannon sivujen välissä", ja etsi sitä vastapäätä oleva sivu. Jos valitset "vieressä olevan" kulman, kaikki luvut tulevat ehdosta, ja vastaus on virheellinen.
Miksi Pythagoraan lause on kosinitheoreeman erikoistapaus
Sijoitetaan kaavaan suora kulma, eli \(C = 90°\). Suoran kulman kosini on nolla, joten kolmas termi kumoutuu kokonaan:
Saatiin täsmälleen Pythagoraan lause, joka on tuttu 8. luokalta. Siksi kosinitheoreemaa kutsutaan sen yleistykseksi: Pythagoraan lause on "erikoistapaus 90° kulmassa", ja kosinitheoreema toimii kaikille kulmille samanaikaisesti.
Termiä \(-2ab\cos C\) on kätevää ajatella korjauksena kulman suoruudesta:
- kulma on terävä, \(\cos C > 0\) — korjaus vähennetään, sivu \(c\) on lyhyempi, kuin Pythagoraan lause antaisi;
- kulma on suora, \(\cos C = 0\) — korjausta ei ole, jää \(c^2 = a^2 + b^2\);
- kulma on tylppä, \(\cos C < 0\) — korjaus lisätään, sivu \(c\) on pidempi.
Kosinitheoreeman todistus
Lyhyin koulutodistus on koordinaattimenetelmä. Sijoitetaan kärki \(C\) origoon ja sivu \(b = CA\) x-akselille. Tällöin kärkien koordinaatit ovat:
- \(C(0;\ 0)\) — origo;
- \(A(b;\ 0)\) — piste x-akselilla etäisyydellä \(b\) origosta;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — kärki etäisyydellä \(a\) origosta kulmassa \(C\) x-akseliin.
Sivu \(c\) on janan \(AB\) pituus. Lasketaan se kahden pisteen välisen etäisyyden kaavalla:
Avataan sulut:
Ryhmitellään \(a^2\):n termit ja käytetään trigonometrian perusidentiteettiä \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Mikä oli todistettava. Huomaa: missään ei vaadittu, että kulma \(C\) on terävä. Jos se on tylppä, kosini on negatiivinen, koordinaatti \(a\cos C\) siirtyy vasemmalle y-akselista, mutta kaikki laskelmat pysyvät samoina – siksi teoreema on voimassa kaikille kolmioille.
Johtopäätös: miten löytää kulma kolmesta sivusta
Kosinitheoreemasta ratkaistaan itse kosini – tämä on sen pääasiallinen johtopäätös. Sillä löydetään kulma, kun kaikki kolme sivua tunnetaan:
Osoittajassa on kahden kulmaan vierekkäisen sivun neliöiden summa miinus sen vastapäätä olevan sivun neliö. Nimittäjässä on vierekkäisten sivujen kaksinkertainen tulo. Muille kulmille kaavat ovat samat:
Ratkaisun vaiheet:
- valitse etsittävä kulma ja määritä, mikä sivu on sen vastapäätä – sen neliö tulee osoittajaan negatiivisella etumerkillä;
- laske murtoluku (nimittäjä on aina positiivinen, etumerkin määrää vain osoittaja);
- etsi itse kulma taulukosta tai arkuskosinin avulla.
Hyödyllinen vinkki: aloita suurimmasta sivusta. Sen vastapäätä on suurin kulma, ja vain se voi olla suora tai tylppä – kaksi muuta kolmion kulmaa ovat aina teräviä.
Tylppien kulmien kosinit ovat negatiivisia: arvojen taulukko
Koulutehtävissä kulmat ovat lähes aina "taulukkoarvoja": 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Terävien kulmien kosini on positiivinen, suoran kulman nolla, ja tylppien kulmien – negatiivinen. Tylppien kulmien arvot saadaan terävien kulmien arvoista pelkistyssäännön \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) avulla: esimerkiksi \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Mitä tämä tarkoittaa käytännössä: tylpän kulman kohdalla lauseke \(-2ab\cos C\) muuttuu plussaksi – miinus kertaa miinus. Kulmalle \(120°\) kaava näyttää tältä:
Juuri tässä menetetään pisteitä useimmiten: sijoitetaan \(0{,}5\) sijasta \(-0{,}5\) ja saadaan sivu lyhyemmäksi kuin annetut sivut. Tämä on mahdotonta – tylpän kulman vastapäätä on kolmion pisin sivu.
| Kulma | Kosini |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Miten määrittää kolmion tyyppi kolmen sivun perusteella
Kosinitheoreema mahdollistaa kolmion tyypin selvittämisen mittaamatta kulmia kulmamitalla. Murtoluvun \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) etumerkki riippuu vain osoittajasta: nimittäjä \(2ab\) on aina positiivinen. Siksi riittää verrata suurimman sivun neliötä kahden muun neliöiden summaan.
Olkoon \(c\) suurin sivu, silloin sen vastapäätä on suurin kulma \(C\):
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → kulma \(C\) on terävä. Muut kulmat ovat sitä pienempiä, joten kaikki kolme kulmaa ovat teräviä – kolmio on teräväkulmainen;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — kolmio on suorakulmainen (tämä on käänteinen Pythagoraan lause);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → kulma \(C\) on tylppä – kolmio on tylppäkulmainen.
Muita kulmia ei tarvitse tarkistaa: suora tai tylppä kulma on kolmiossa vain yksi. Ja älä unohda kolmioepäyhtälöä – jos suurin sivu ei ole pienempi kuin kahden muun summa, kolmiota tällaisilla sivuilla ei ole olemassakaan.
Sinin tai kosinin teoreema: miten valita
Molemmat teoreemat ratkaisevat saman tehtävän – etsivät kolmion tuntemattomia sivuja ja kulmia – mutta ne käynnistyvät eri tiedoilla. Sinin teoreema yhdistää sivun ja sitä vastapäätä olevan kulman:
Siitä valintasääntö: jos tehtävänannossa on jo pari "sivu ja vastapäätä oleva kulma" – toimii sinin teoreema; jos tällaista paria ei ole – aloitetaan kosinitheoreemalla. Muistilappu neljälle koulun tietojoukolle – taulukossa.
Usein tehtävä ratkeaa kahdessa vaiheessa: ensin kosinitheoreema antaa kolmannen sivun, ja sitten sinin teoreema löytää nopeasti loput kulmat.
| Mitä tiedetään | Mitä käytetään |
|---|---|
| SKSKaksi sivua ja niiden välinen kulma | Kosinitheoreemaetsitään kolmas sivu |
| SSSKaikki kolme sivua | Kosinitheoreemaetsitään mikä tahansa kulma ja kolmion tyyppi |
| KSKSivu ja kaksi kulmaa | Sinin teoreemaetsitään kaksi muuta sivua |
| SSKKaksi sivua ja toisen niistä vastainen kulma | Sinin teoreemaetsitään vastainen kulma |
Kosinitheoreema EGE-tehtävissä
Matematiikan EGE-kokeessa kosinitheoreema esiintyy planimetriatehtävissä – sekä ensimmäisessä osassa että avoimen vastauksen tehtävissä. Tyypillisiä aiheita ovat:
- Sivun etsiminen kahden sivun ja niiden välisen kulman perusteella – kaavan suora sovellus, useimmiten kulmilla 60° tai 120°.
- Kulman tai sen kosinin etsiminen kolmesta sivusta – johtopäätös \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Jos tehtävänannossa lukee "etsi \(\cos\angle A\)", arkuskosiniä ei tarvitse laskea: vastaus on juuri tuo murtoluku, se kirjoitetaan.
- Suunnikkaan lävistäjät. Lävistäjä leikkaa kolmion kahdesta sivusta ja niiden välisestä kulmasta. Suunnikkaan vierekkäiset kulmat ovat yhteensä 180°, joten niiden kosinit ovat vastakkaisia: terävän kulman vastapäätä on pienempi lävistäjä, tylpän – suurempi.
- Kolmion tyypin määrittäminen kolmesta luvusta – vertailu \(a^2 + b^2\) ja \(c^2\).
- Kolmion mediaani. Kaava \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) johdetaan kosinitheoreeman kaksinkertaisella soveltamisella kahteen vierekkäiseen kulmaan kannalla.
Vinkki kokeeseen: ennen laskemista merkitse piirrokseen kulma, joka on "puristuksissa" tunnettujen sivujen välissä. Jos tällaista kulmaa ei ole – kosinitheoreema ei ole vielä käytettävissä, on etsittävä toinen reitti.
Esimerkkejä kosinitheoreeman tehtävien ratkaisemisesta
Esimerkki 1. Sivun etsiminen kahden sivun ja 60° kulman perusteella
Tehtävä. Kolmiossa \(ABC\) sivut \(a = 7\) ja \(b = 15\), niiden välinen kulma \(C = 60°\). Etsi sivu \(c\).
Vaihe 1. Kulma \(C\) on sivujen \(a\) ja \(b\) välissä – tämä on juuri se tapaus, johon teoreema on suunniteltu:
Vaihe 2. Sijoitetaan luvut, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Vaihe 3. Otetaan neliöjuuri: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Vastaus: \(13\). Tarkistus järkevyyden mukaan: kulma \(60°\) on terävä, joten sen vastainen sivu ei ole pisin – todellakin, \(13 < 15\).
Esimerkki 2. Tylppä kulma: miinus kertaa miinus
Tehtävä. Kolmiossa \(ABC\) tiedetään: \(AB = 6\), \(BC = 10\), kulma \(B = 120°\). Etsi sivu \(AC\).
Vaihe 1. Kulma \(B\) on sivujen \(AB\) ja \(BC\) välissä, ja sivu \(AC\) on sen vastapäätä:
Vaihe 2. Kulma on tylppä, joten \(\cos 120° = -0{,}5\). Miinus ennen tuloa ja miinus kosinissa antavat plussan:
Vaihe 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Vastaus: \(14\). Tarkistus: tylpän kulman vastapäätä on pisin sivu – \(14\) on suurempi kuin sekä \(6\) että \(10\).
Esimerkki 3. Kulman etsiminen kolmesta sivusta
Tehtävä. Kolmion sivut ovat \(3\), \(5\) ja \(7\). Etsi sen suurin kulma.
Vaihe 1. Suurin kulma on suurimman sivun, eli sivun \(7\), vastapäätä. Merkitään sitä \(C\), tällöin \(c = 7\), ja vierekkäiset sivut \(a = 3\) ja \(b = 5\).
Vaihe 2. Sovelletaan johtopäätöstä:
Vaihe 3. Kosini on negatiivinen – kulma on tylppä. Taulukosta \(\cos 120° = -0{,}5\), joten \(C = 120°\).
Vastaus: \(120°\). Samalla selvisi, että kolmio on tylppäkulmainen.
Esimerkki 4. Kolmion tyypin määrittäminen
Tehtävä. Määritä kolmion tyyppi, jonka sivut ovat \(6\), \(7\) ja \(10\).
Vaihe 1. Tarkistetaan kolmioepäyhtälö: \(6 + 7 = 13 > 10\) – kolmio on olemassa. Suurin sivu on \(10\).
Vaihe 2. Verrataan kahden pienemmän sivun neliöiden summaa suurimman sivun neliöön:
Vaihe 3. \(85 < 100\), joten murtoluvun osoittaja on negatiivinen ja \(\cos C < 0\) – kulma sivun \(10\) vastapäätä on tylppä. Haluttaessa voi etsiä myös itse kulman:
Vastaus: kolmio on tylppäkulmainen. Huomaa: "silmämääräisesti" tätä ei näe – sivut ovat lähes yhtä pitkiä, mutta kulma on jo yli \(90°\).
Esimerkki 5. EGE-tason tehtävä: suunnikkaan lävistäjä
Tehtävä. Suunnikkaan sivut ovat \(5\) ja \(8\), terävä kulma on \(60°\). Etsi pienempi lävistäjä.
Vaihe 1. Lävistäjä leikkaa kolmion, jonka kaksi sivua (\(5\) ja \(8\)) ja niiden välinen kulma tunnetaan. Pienempi lävistäjä on terävän \(60°\) kulman vastapäätä.
Vaihe 2. Lasketaan:
Vaihe 3. Tarkistus. Toinen lävistäjä on tylpän \(120°\) kulman vastapäätä (suunnikkaan vierekkäiset kulmat ovat yhteensä \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), eli \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Lävistäjien neliöiden summa on \(49 + 129 = 178\), ja sivujen neliöiden kaksinkertainen summa on \(2(25 + 64) = 178\). Täsmää, joten laskelma on oikein.
Vastaus: \(7\).
Yleisiä virheitä kosinitheoreeman tehtävissä
-
Otetaan tylpän kulman kosini positiivisena. Sivujen $4$ ja $9$ ja niiden välisen $120°$ kulman tapauksessa kirjoitetaan $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ ja saadaan $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), ja miinus kertaa miinus antaa plussan: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), eli \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Nopea tarkistus: tylpän kulman vastapäätä on pisin sivu, joten vastauksen on oltava suurempi kuin \(9\).
-
Sijoitetaan kulma, joka ei ole annettujen sivujen välissä: tehtävänannossa on yksi kulma, ja se otetaan "sellaisenaan", katsomatta piirrokseen.
Kaavassa \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) sivut \(a\) ja \(b\) muodostavat kulman \(C\), ja sivu \(c\) on sen vastapäätä. Jos tunnettu kulma on vierekkäin etsittävän sivun kanssa, tämä esitys ei sovi – tarvitaan jokin kolmesta muusta tai sinin teoreema.
-
Unohdetaan ottaa neliöjuuri ja kirjoitetaan vastaukseksi sivun neliö: saatiin $c^2 = 225$ ja kirjoitetaan "sivu on 225".
Kaava antaa aina nimenomaan sivun neliön. Viimeinen vaihe on pakollinen: \(c = \sqrt{225} = 15\). Lue tehtävän kysymys huolellisesti ennen vastauksen kirjoittamista.
-
Sekoitetaan johtopäätöksen termien järjestys ja kirjoitetaan $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Oikea osoittaja on \(a^2 + b^2 - c^2\): vierekkäisten sivujen neliöiden summa miinus vastapäätä olevan sivun neliö. Järjestystä muuttamalla murtoluvun etumerkki muuttuu päinvastaiseksi, ja tylpän \(120°\) kulman sijasta saadaan terävä \(60°\) kulma.
-
Etsitään kulma kosinin itseisarvon perusteella: saatiin −0,25, ja vastaukseksi kirjoitetaan terävä kulma, ikään kuin kosini olisi ollut +0,25.
Negatiivinen kosini tarkoittaa aina tylppää kulmaa. Etumerkkiä ei saa unohtaa: cos 60° = 0,5, ja cos 120° = −0,5; negatiivisen luvun arkuskosini on yli 90°.
-
Yritetään ratkaista tehtävää "kaksi sivua ja niiden välinen kulma" sinin teoreemalla ja jäädään jumiin ensimmäiseen riviin.
Sinin teoreema tarvitsee valmiin parin "sivu ja vastapäätä oleva kulma". Kahden sivun ja niiden välisen kulman tapauksessa tällaista paria ei ole – ensin kosinitheoreema antaa kolmannen sivun, ja vasta sitten sinin teoreema otetaan käyttöön.
Kysymyksiä ja vastauksia
Miten kosinitheoreema kuuluu?
Kolmion sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa miinus näiden sivujen kaksinkertainen tulo kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Teoreema on voimassa kaikille kolmioille, ei vain suorakulmaisille.
Miten löytää kolmion sivu kahden sivun ja niiden välisen kulman perusteella?
Sijoita tiedot kaavaan c² = a² + b² − 2ab·cos C ja ota neliöjuuri. Esimerkiksi sivujen 4 ja 6 ja niiden välisen 60° kulman tapauksessa: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, joten c = √28 ≈ 5,3.
Miten löytää kolmion kulma, jos kaikki kolme sivua tunnetaan?
Kosinitheoreeman johtopäätöksen avulla: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), missä c on etsittävän kulman vastainen sivu. Esimerkiksi sivujen 2, 3 ja 4 tapauksessa suurimman kulman kosini on (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, eli kulma on tylppä, noin 104°.
Miksi Pythagoraan lause on kosinitheoreeman erikoistapaus?
Koska suoralla kulmalla cos 90° = 0, ja termi −2ab·cos C kumoutuu. Kaavasta jää jäljelle c² = a² + b² – tämä on Pythagoraan lause suorakulmaiselle kolmiolle.
Toimiiko kosinitheoreema tylppäkulmaisessa kolmiossa?
Kyllä, ja se toimii muuttumattomana. Tylpällä kulmalla kosini on negatiivinen, joten termi −2ab·cos C muuttuu positiiviseksi ja lisätään neliöiden summaan. Juuri tämän vuoksi tylpän kulman vastainen sivu on pisin.
Milloin käyttää sinin teoreemaa ja milloin kosinitheoreemaa?
Sinin teoreemaa tarvitaan, kun tehtävänannossa on jo pari "sivu ja vastapäätä oleva kulma" – esimerkiksi annettu sivu ja kaksi kulmaa. Kosinitheoreemaa käytetään, kun tällaista paria ei ole: annettu kaksi sivua ja niiden välinen kulma tai kaikki kolme sivua. Usein tehtävä ratkaistaan kahdessa vaiheessa: ensin kosinitheoreema, sitten sinin teoreema.
Miten määrittää kolmion tyyppi kolmen sivun perusteella?
Verrataan suurimman sivun neliötä \(c^2\) kahden muun neliöiden summaan. Jos \(a^2 + b^2 > c^2\) – kolmio on teräväkulmainen, jos \(a^2 + b^2 = c^2\) – suorakulmainen, jos \(a^2 + b^2 < c^2\) – tylppäkulmainen. Tämän erotuksen etumerkki vastaa suurimman kulman kosinin etumerkkiä.
Millä luokalla opetetaan kosinitheoreemaa?
- luokalla geometrian tunneilla, aiheessa "Suhde sivujen ja kulmien välillä kolmiossa" – yhdessä sinin teoreeman kanssa. Sen jälkeen sitä käytetään jatkuvasti EGE- ja YEGEn plimetriatehtävissä ja stereometriassa.
