Yhdenmuotoiset kolmiot ovat samanmuotoisia, mutta erikokoisia kolmioita: niiden kulmat ovat vastaavasti yhtä suuria ja vastaavat sivut ovat verrannollisia. Luku, joka osoittaa, kuinka monta kertaa suurempi toinen kolmio on kuin toinen, kutsutaan yhdenmuotoisuuskerroimeksi \(k\). Kolmioiden yhdenmuotoisuuden todistamiseen auttavat kolme tunnusmerkkiä, ja piirien ja pinta-alojen suhteita koskee yksinkertainen sääntö: piirit ovat suhteessa kuten \(k\), ja pinta-alat kuten \(k^2\). Tällä sivulla on määritelmä ja yhdenmuotoisuuden merkintä oikealla kärkien järjestyksellä, kaikki kolme tunnusmerkkiä, suorakulmaisten kolmioiden yhdenmuotoisuus ja korkeus suorasta kulmasta, OGE-tehtävien ratkaisut «etsi sivu» ja interaktiivinen harjoitus.
Mitä ovat yhdenmuotoiset kolmiot ja yhdenmuotoisuuskerroin
Kaksi kolmiota kutsutaan yhdenmuotoisiksi, jos molemmat seuraavista ehdoista täyttyvät:
- niiden kulmat ovat vastaavasti yhtä suuria — jokaiselle ensimmäisen kolmion kulmalle löytyy toisesta kolmiosta yhtä suuri kulma;
- niiden vastaavat sivut ovat verrannollisia — kaikkien kolmen sivuparin suhde on sama luku.
Vastaavat sivut ovat sivuja, jotka ovat yhtä suurten kulmien vastapäätä. Ne muodostavat parit, joiden välillä suhde lasketaan.
Yhdenmuotoisuus merkitään symbolilla \(\sim\):
Yhdenmuotoisuuskerroin \(k\) on sama suhde vastaaville sivuille:
Jos \(k > 1\), toinen kolmio on suurempi kuin ensimmäinen; jos \(k < 1\) — pienempi; kun \(k = 1\), kolmiot ovat yhtä suuria, sillä yhtäsuuruus on yhdenmuotoisuuden erikoistapaus.
Kärkien järjestys merkinnässä — ei muodollisuutta
Merkintä \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) luetaan tarkasti paikoittain: \(A\) vastaa \(A_1\):tä, \(B\) — \(B_1\):tä, \(C\) — \(C_1\):tä. Tästä seuraa heti, mitkä kulmat ovat yhtä suuria (\(\angle A = \angle A_1\)) ja mitkä sivut ovat vastaavia (\(AB\) ja \(A_1B_1\), \(BC\) ja \(B_1C_1\), \(AC\) ja \(A_1C_1\)).
Jos kirjaimet vaihdetaan ja kirjoitetaan \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), saadaan eri väite: nyt \(\angle A = \angle B_1\), ja \(AB\):n vastaava sivu on \(B_1A_1\). Suhdetta ei voi muodostaa «samalla tavalla sijaitsevien» sivujen perusteella — vain merkinnän paikkojen mukaan. Siksi ensimmäiseksi kirjoitetaan yhtä suurten kulmien parit ja vasta niiden alle sovitetaan kirjainten järjestys.
Kolmioiden yhdenmuotoisuuden kolme tunnusmerkkiä
Kaikkia kuutta määritelmän ehtoa ei tarvitse tarkistaa: yhdenmuotoisuus todistetaan yhden kolmesta tunnusmerkistä avulla. Jokainen on minimaalinen tietojoukko, josta automaattisesti seuraa sekä kaikkien kulmien yhtäsuuruus että kaikkien sivujen verrannollisuus.
Miten valita tunnusmerkki. Katso, mitä tehtävässä on annettu: jos kulmista — ensimmäinen, jos kahdesta sivusta ja kulmasta — toinen, jos kaikista kolmesta sivusta — kolmas.
- Ensimmäinen tunnusmerkki (kahden kulman mukaan) — koulukurssin työkalu: melkein kaikki OGE-tehtävät ratkeavat juuri sillä. Kolmatta kulmaa ei tarvitse tarkistaa, se on automaattisesti yhtä suuri: kolmion kulmien summa on aina \(180°\). Etsi valmiita yhtä suurten kulmien pareja — kahden kolmion yhteinen kulma, vieruskulmat, ristikulmat rinnakkaisten suorien leikkauksessa, kaksi suoraa kulmaa.
- Toinen tunnusmerkki (kahden sivun ja niiden välisen kulman mukaan) vaatii, että kulma on juuri näiden kahden sivun välissä. Jos yhtä suuri kulma on toisen sivun vastapäätä, tunnusmerkki ei toimi ja yhdenmuotoisuutta ei ole todistettu.
- Kolmas tunnusmerkki (kolmen sivun mukaan) — kun tehtävässä ei ole lainkaan kulmia, vaan vain pituuksia. Kirjoita kummankin kolmion sivut suuruusjärjestykseen ja jaa pienin pienimmällä, keskimmäinen keskimmäisellä, suurin suurimmalla: näin pareja ei varmasti sekoiteta. Yhdenmuotoisuus on olemassa vain, jos kaikki kolme suhdetta ovat samat.
Jotta yhdenmuotoisuuden tunnusmerkit eivät sekoittuisi yhtäsuuruuden tunnusmerkkeihin, pidä mielessä ero: yhtäsuuruudessa sivujen on kohdattava, yhdenmuotoisuudessa — oltava verrannollisia.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Yhdenmuotoisten kolmioiden piirien ja pinta-alojen suhde
Yhdenmuotoisuudella on kaksi useimmin kysyttyä seurausta, ja toinen niistä on aiheen suurin ansa.
Piirit ovat suhteessa kuten \(k\). Jokainen toisen kolmion sivu on \(k\) kertaa suurempi kuin ensimmäisen kolmion vastaava sivu, joten myös sivujen summa kasvaa täsmälleen \(k\) kertaa:
Samalla tavalla — «\(k\) kertaa» — käyttäytyvät kaikki lineaariset suureet: korkeudet, mediaanit, kulmanpuolittajat, sisään- ja ulkopuolisten ympyröiden säteet, keskijanat.
Pinta-alat ovat suhteessa kuten \(k^2\). Pinta-ala riippuu kahdesta mittauksesta samanaikaisesti: sekä kanta että korkeus kasvavat \(k\) kertaa, ja niiden tulo — \(k \cdot k\) kertaa:
Olkoon \(k = 5\). Silloin piiri on 5 kertaa suurempi (esimerkiksi oli 14 cm — tuli 70 cm), ja pinta-ala — jo 25 kertaa (oli 6 cm² — tuli 150 cm²). Ero on valtava, ja \(k\):n sijoittaminen \(k^2\):n sijaan on yleisin virhe kokeessa.
Käänteinen toiminta. Jos tehtävässä annetaan pinta-alojen suhde, yhdenmuotoisuuskerroin saadaan juurella: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Esimerkiksi pinta-alat ovat suhteessa 16 : 1, joten sivut ovat suhteessa 4 : 1.
| k | Piirit P₂ : P₁ | Pinta-alat S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| mikä tahansa | k : 1 | k² : 1 |
Suorakulmaisten kolmioiden yhdenmuotoisuus ja korkeus suorasta kulmasta
Suorakulmaisille kolmioille ensimmäinen tunnusmerkki yksinkertaistuu: suorat kulmat ovat niissä valmiiksi yhtä suuria, joten yhden terävän kulman yhtäsuuruus riittää, jotta kolmiot olisivat yhdenmuotoisia. Tästä seuraa myös tunnusmerkki kateettien mukaan: jos toisen kolmion kateetit ovat verrannollisia toisen kolmion kateetteihin, kolmiot ovat yhdenmuotoisia (tämä on toinen tunnusmerkki, sillä kateettien välinen kulma on suora).
Koko aiheen hyödyllisin konfiguraatio on korkeus, joka on piirretty suoran kulman kärjestä. Se jakaa kolmion kahteen osaan, ja kaikki kolme syntynyttä kolmiota ovat yhdenmuotoisia keskenään.
Miksi näin: kolmiossa \(AHC\) on suora kulma \(H\):ssa ja yhteinen suuren kolmion kanssa kulma \(A\), joten \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Kolmiossa \(CHB\) on suora kulma \(H\):ssa ja yhteinen kulma \(B\), joten \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Tästä seuraa, että myös kaksi pientä kolmiota ovat yhdenmuotoisia keskenään.
Näistä yhdenmuotoisuuksista saadaan geometrisen keskiarvon kaavat (niitä kutsutaan suorakulmaisen kolmion suhteellisiksi janoiksi):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — korkeus on geometrinen keskiarvo janoista, joihin se jakaa hypotenuusan;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) ja \(BC^2 = HB \cdot AB\) — kateetti on geometrinen keskiarvo koko hypotenuusasta ja sen projektiosta siihen.
Pääasia on olla sekoittamatta, mikä jana on «oma»: kateetilla \(AC\) on projektio \(AH\), kateetilla \(BC\) on projektio \(HB\). Projektio on aina samalla puolella hypotenuusaa kuin kateetti.
OGE-tehtävät yhdenmuotoisuudesta: miten löytää sivu
Melkein kaikki yhdenmuotoisuustehtävät ratkeavat yhdellä algoritmilla:
- Etsi yhtä suurten kulmien pari — yhteinen kulma, vieruskulmat, ristikulmat rinnakkaisten suorien leikkauksessa tai kaksi suoraa kulmaa.
- Kirjoita yhdenmuotoisuus oikeassa kärkien järjestyksessä — niin, että yhtä suuret kulmat ovat samoilla paikoilla.
- Muodosta suhde vastaavista sivuista (otetaan sivut, jotka ovat samoilla paikoilla merkinnässä).
- Ratkaise tuntematon ja laske; lopuksi tarkista vastaus järkevyyden perusteella — pienemmän kolmion sivun on oltava pienempi.
OGE-kokeessa tyypillisiä konfiguraatioita on vähän, ja ne kannattaa tunnistaa ensi silmäyksellä:
- Sivuun rinnakkainen suora. Suora leikkaa kolmiosta pienen, alkuperäiselle yhdenmuotoisen kolmion. Keskeinen vivahde: suhteeseen tulee kokonaisten sivujen suhde yhteisestä kärjestä (\(BM : BA\)), ei janojen (\(BM : MA\)).
- «Perhonen». Kaksi janaa leikkaavat toisensa, ja niiden päätepisteet on yhdistetty rinnakkaisilla suorilla — syntyy kaksi toisiinsa nähden käännettyä yhdenmuotoista kolmiota.
- Korkeus suorasta kulmasta — edellisen osion konfiguraatio; OGE-kokeessa sen avulla etsitään korkeutta, kateettia tai hypotenuusan janaa.
- Esineen varjo ja korkeus. Auringonsäteet ovat rinnakkaisia, joten esine varjoineen ja puu varjoineen muodostavat yhdenmuotoisia suorakulmaisia kolmioita.
- Keskijana — erikoistapaus, jossa \(k = 2\): se on rinnakkainen sivulle ja kaksi kertaa lyhyempi kuin se.
kulma B yhteinen, kulmat M:ssä ja A:ssa vastaavia
kulmat O:ssa ovat vieruskulmia, kulmat A ja C ovat ristikulmia
Esimerkkejä kolmioiden yhdenmuotoisuustehtävien ratkaisemisesta
Esimerkki 1. Sivujen löytäminen yhdenmuotoisuuskerroimen avulla
Tehtävä. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Tiedetään, että \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) ja \(PQ = 21\). Etsi \(QR\) ja \(PR\).
Vaihe 1. Puretaan merkintä paikkojen mukaan: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Siksi vastaavat parit ovat: \(MN\) ja \(PQ\), \(NK\) ja \(QR\), \(MK\) ja \(PR\).
Vaihe 2. Lasketaan kerroin ainoasta parista, jossa molemmat sivut tunnetaan:
Vaihe 3. Muut toisen kolmion sivut ovat 3 kertaa suurempia kuin vastaavat sivut:
Vastaus: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Tarkistus: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — kaikki suhteet ovat samat.
Esimerkki 2. Yhdenmuotoisuuden todistaminen toisen tunnusmerkin mukaan
Tehtävä. Kolmioissa \(ABC\) ja \(DEF\) tiedetään: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), ja kulmat \(A\) ja \(D\) ovat yhtä suuria. Todista, että kolmiot ovat yhdenmuotoisia.
Vaihe 1. Tarkistetaan toisen tunnusmerkin pääehto: kulma \(A\) on sivujen \(AB\) ja \(AC\) välissä, kulma \(D\) — sivujen \(DE\) ja \(DF\) välissä. Kulmat annettujen sivujen välissä — tunnusmerkki on sovellettavissa.
Vaihe 2. Lasketaan vastaavien sivujen suhteet:
Vaihe 3. Kaksi sivuparia ovat verrannollisia samalla kertoimella \(k = 3\), niiden väliset kulmat ovat yhtä suuria — toisen tunnusmerkin mukaan \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Vastaus: kolmiot ovat yhdenmuotoisia, \(k = 3\). Huomaa: jos yhtä suurina olisivat kulmat \(B\) ja \(D\), tunnusmerkki ei toimisi — kulma \(B\) ei ole sivujen \(AB\) ja \(AC\) välissä.
Esimerkki 3. Sivulle rinnakkainen suora (OGE-tehtävä)
Tehtävä. Kolmiossa \(ABC\) piste \(M\) on sivulla \(AB\), piste \(N\) — sivulla \(BC\), siten että \(MN \parallel AC\). Tiedetään, että \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Etsi \(AC\).
Vaihe 1. Koska \(MN \parallel AC\), kulmat \(BMN\) ja \(BAC\) ovat yhtä suuria vastaavina kulmina, ja kulma \(B\) on yhteinen. Ensimmäisen tunnusmerkin mukaan \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (kärkien järjestys: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Vaihe 2. Etsitään koko sivu yhteisestä kärjestä: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Tämä on pääasiallinen vivahde — suhteeseen tulee \(BA\), ei \(MA\).
Vaihe 3. Muodostetaan suhde vastaavista sivuista:
Vaihe 4. Tästä \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Vastaus: \(AC = 20\). Yhdenmuotoisuuskerroin on tässä 4: suuri kolmio on neljä kertaa suurempi kuin leikattu kolmio.
Esimerkki 4. Piirit ja pinta-alat
Tehtävä. Yhdenmuotoisten kolmioiden piirit ovat 18 cm ja 45 cm. Pienemmän kolmion pinta-ala on 16 cm². Etsi suuremman kolmion pinta-ala.
Vaihe 1. Piirit ovat suhteessa kuten yhdenmuotoisuuskerroin:
Vaihe 2. Pinta-alat ovat suhteessa kuten yhdenmuotoisuuskerroin neliössä: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Vaihe 3. Kerrotaan pienemmän kolmion pinta-ala \(k^2\):lla:
Vastaus: 100 cm². Jos olisimme kertoneet \(k = 2{,}5\):llä, olisimme saaneet 40 cm² — tyypillinen virhe, jonka vuoksi menettää kaikki pisteet.
Esimerkki 5. Korkeus suorasta kulmasta
Tehtävä. Suorakulmaisessa kolmiossa \(ABC\) suoran kulman ollessa kärjessä \(C\) on piirretty korkeus \(CH\) hypotenuusalle. Tiedetään, että \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Etsi korkeus \(CH\) ja kolmion pinta-ala.
Vaihe 1. Korkeus suorasta kulmasta on hypotenuusan janoiden geometrinen keskiarvo, koska \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Vaihe 2. Otetaan neliöjuuri: \(CH = 6\) cm.
Vaihe 3. Hypotenuusa \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Pinta-ala lasketaan hypotenuusan ja siihen piirretyn korkeuden avulla:
Vastaus: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Esimerkki 6. Puun korkeus varjon avulla
Tehtävä. Pystysuora 2 metrin korkuinen keppi heittää 1,5 metrin pituisen varjon. Samalla hetkellä puun varjo on 9 m. Mikä on puun korkeus?
Vaihe 1. Auringonsäteet ovat rinnakkaisia, joten säteen tulokulma kepille ja puulle on sama. Keppi varjoineen ja puu varjoineen muodostavat suorakulmaisia kolmioita, joilla on yhtä suuri terävä kulma — siis ne ovat yhdenmuotoisia.
Vaihe 2. Muodostetaan suhde «korkeus omaan varjoonsa»:
Vaihe 3. Ratkaistaan tuntematon korkeus:
Vastaus: 12 m. Tarkistus järkevyyden perusteella: puun varjo on 6 kertaa pidempi kuin kepin varjo, joten myös puu on 6 kertaa korkeampi: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Yleisiä virheitä yhdenmuotoisuustehtävissä kolmioille
-
Lasketaan, että yhdenmuotoisten kolmioiden pinta-alat ovat suhteessa $k$: kun $k = 3$, pinta-alaa kasvatetaan kolminkertaiseksi.
Pinta-alat ovat suhteessa yhdenmuotoisuuskerroin neliössä: kun \(k = 3\), pinta-ala on \(3^2 = 9\) kertaa suurempi. Kuten \(k\), ovat vain lineaariset suureet — sivut, piiri, korkeudet, mediaanit. Muistisääntö: pinta-ala mitataan neliöyksiköissä, joten myös kerroin esiintyy siinä neliössä.
-
Ohitetaan kärkien järjestys: merkinnästä $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ muodostetaan suhde $AB : LM$.
Kärkien vastaavuus määräytyy merkinnän paikkojen mukaan: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). \(AB\):n vastaava on \(KL\), ja \(BC\):n — \(LM\). Ennen suhteiden kirjoittamista kirjoita kärkiparit allekkain — se vie viisi sekuntia ja poistaa useimmat virheet.
-
Todistetaan yhdenmuotoisuus yhden yhtä suuren kulman tai kahden verrannollisen sivun avulla ilman kulmaa.
Yksi yhtä suuri kulma ei riitä: kahdella kolmiolla voi olla sama kulma täysin eri muotoisina. Tarvitaan täysi tunnusmerkki — kaksi kulmaa, tai kaksi sivua ja niiden välinen kulma, tai kaikki kolme sivua.
-
Toisessa tunnusmerkissä otetaan kulma, joka ei ole annettujen sivujen välissä.
Toinen tunnusmerkki toimii vain annettujen sivujen välisen kulman kanssa. Jos tunnetaan \(AB\), \(AC\) ja kulma \(B\) on yhtä suuri, tunnusmerkkiä ei voi soveltaa — etsi toinen tapa: yhtä suurten kulmien pari tai kolmas sivu.
-
Käännetään kerroin: etsitään $k$ «pienempi sivu suurempaan», ja sitten kerrotaan sillä, jotta saadaan suuremman kolmion sivu.
Päätä itse suunta: jos \(k\) on toisen kolmion sivujen suhde ensimmäiseen, niin ensimmäisen kolmion sivut kerrotaan \(k\):lla, ja toisen kolmion sivut jaetaan \(k\):lla. Lopullinen tarkistus järkevyyden perusteella: pienemmän kolmion sivun on oltava pienempi.
-
Tehtävässä, jossa on sivulle rinnakkainen suora, muodostetaan suhde janoista: $BM : MA = MN : AC$.
Yhdenmuotoisia ovat kolmiot \(BMN\) ja \(BAC\), ja niiden vastaavat sivut ovat \(BM\) ja \(BA\) (kokonainen sivu yhteisestä kärjestä), eivätkä janat \(MA\). Etsi ensin \(BA = BM + MA\), ja vasta sitten muodosta suhde.
-
Sekoitetaan yhdenmuotoisuus yhtäsuuruuteen ja kirjoitetaan vastaukseen, että sivut ovat vain yhtä suuria.
Yhtäsuuruus on yhdenmuotoisuuden erikoistapaus, kun \(k = 1\). Jos \(k \ne 1\), kolmioilla on yhtä suuret vain kulmat, ja sivut eroavat \(k\) kertaa. Tunnusmerkit ovat myös erilaiset: yhtäsuuruudessa ne ovat SKS, KSK, SSS kohdakkain olevilla sivuilla, yhdenmuotoisuudessa — verrannollisilla sivuilla.
Kysymyksiä ja vastauksia
Mitä kolmioita kutsutaan yhdenmuotoisiksi?
Yhdenmuotoisiksi kutsutaan kolmioita, joiden kulmat ovat vastaavasti yhtä suuria ja vastaavat sivut verrannollisia. Yksinkertaisemmin sanottuna ne ovat samanmuotoisia, mutta erikokoisia kolmioita. Yhdenmuotoisuus merkitään symbolilla ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Mikä on kolmioiden yhdenmuotoisuuskerroin?
Yhdenmuotoisuuskerroin k on luku, joka on yhtä suuri kuin yhdenmuotoisten kolmioiden vastaavien sivujen suhde: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Se osoittaa, kuinka monta kertaa suurempi toinen kolmio on kuin toinen. Kun k = 1, kolmiot ovat yhtä suuria.
Kuinka monta kolmioiden yhdenmuotoisuuden tunnusmerkkiä on ja mitkä ne ovat?
Tunnusmerkkejä on kolme. Ensimmäinen — kahden kulman mukaan: kahden kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi kulmaa. Toinen — kahden sivun ja niiden välisen kulman mukaan: kaksi sivua ovat verrannollisia ja niiden väliset kulmat ovat yhtä suuria. Kolmas — kolmen sivun mukaan: kaikki kolme vastaavien sivujen paria ovat verrannollisia.
Miten yhdenmuotoisten kolmioiden pinta-alat ovat suhteessa?
Yhdenmuotoisten kolmioiden pinta-alat ovat suhteessa yhdenmuotoisuuskerroin neliössä: S₂ : S₁ = k². Esimerkiksi, kun k = 4, pinta-ala on 16 kertaa suurempi. Käänteisesti: jos pinta-alat ovat suhteessa 25 : 1, niin sivut ovat suhteessa 5 : 1.
Miten yhdenmuotoisten kolmioiden piirit ovat suhteessa?
Piirit ovat suhteessa kuten yhdenmuotoisuuskerroin: P₂ : P₁ = k. Samalla tavalla käyttäytyvät kaikki lineaariset elementit — korkeudet, mediaanit, kulmanpuolittajat, keskijanat, sisään- ja ulkopuolisten ympyröiden säteet.
Miten yhdenmuotoisuus kolmioille eroaa yhtäsuuruudesta?
Yhtä suurilla kolmioilla sekä kulmat että sivut ovat kohdakkain, joten kuviot voidaan asettaa päällekkäin. Yhdenmuotoisilla vain kulmat ovat yhtä suuria, ja sivut ovat verrannollisia kertoimella k. Yhtäsuuruus on yhdenmuotoisuuden erikoistapaus, kun k = 1.
Miten todistaa suorakulmaisten kolmioiden yhdenmuotoisuus?
Yhden terävän kulman yhtäsuuruus riittää: suorat kulmat ovat niissä jo yhtä suuria, joten ensimmäinen tunnusmerkki toimii. Toinen tapa — kateettien verrannollisuus: kateettien välinen kulma on suora, joten toinen yhdenmuotoisuuden tunnusmerkki on sovellettavissa.
Miksi korkeus suorasta kulmasta antaa kolme yhdenmuotoista kolmiota?
Korkeus CH suorasta kulmasta C jakaa kolmion ABC kolmioiksi AHC ja CHB. Kolmiossa AHC on suora kulma H:ssa ja yhteinen kulma A kolmion ABC kanssa, kolmiossa CHB — suora kulma H:ssa ja yhteinen kulma B, joten molemmat ovat yhdenmuotoisia alkuperäisen kanssa, ja siten myös keskenään. Tästä saadaan kaavat CH² = AH · HB, AC² = AH · AB ja BC² = HB · AB.
Millä luokalla opetetaan kolmioiden yhdenmuotoisuutta?
- luokalla geometrian tunneilla — heti suhteellisten janoiden aiheen jälkeen. Siellä opetetaan myös kolmioiden yhdenmuotoisuuden kolme tunnusmerkkiä, pinta-alojen suhde ja yhdenmuotoisuuden soveltaminen suorakulmaiseen kolmioon. Aihetta käytetään myöhemmin 9. luokalla ja OGE-tehtävissä.
