دایره دو نوع زاویه اصلی ایجاد میکند: مرکزی که رأس آن در مرکز دایره است و محاطی که رأس آن روی خود دایره قرار دارد. رابطه بین آنها ساده است: زاویه مرکزی برابر با کمانی است که رو به آن قرار دارد و زاویه محاطی برابر با نصف آن کمان است. در این صفحه، تعاریف، قضیه زاویه محاطی به همراه تمام نتایج آن، شکلهای گویا، حل گامبهگام مسائل و یک تمرینساز تعاملی برای سنجش آموختههای شما آورده شده است.
انواع زاویهها در دایره: مرکزی و محاطی
اگر دو پارهخط از یک نقطه در دایره رسم کنیم، یک زاویه تشکیل میشود. بسته به اینکه رأس زاویه کجا باشد، دو نوع اصلی زاویه در دایره داریم:
- زاویه مرکزی — زاویهای که رأس آن در مرکز دایره \(O\) است. اضلاع آن شعاعهای دایره هستند.
- زاویه محاطی — زاویهای که رأس آن روی دایره قرار دارد و اضلاع آن دایره را قطع میکنند (یعنی وتر هستند).
هر یک از این زاویهها رو به یک کمان قرار دارند — بخشی از دایره که درون زاویه واقع شده است. همین کمان است که زاویههای مرکزی و محاطی را به هم پیوند میدهد: هر دو زاویه بر اساس اندازه درجهای کمان بیان میشوند.
اگر رأس زاویه درون دایره (اما نه در مرکز) یا خارج از آن باشد، دیگر زاویه محاطی یا مرکزی نیست: برای چنین زاویههایی فرمولهای خاصی وجود دارد که در پایان صفحه به آنها میپردازیم.
∠AOC = کمان AC = 120°
∠ABC = ½ کمان AC = 60°
قضیه زاویه محاطی و اندازه آن
زاویه مرکزی برابر با کمانی است که رو به آن قرار دارد؛ این تعریف اندازه درجهای کمان است. اگر \(\angle AOC = 120°\) باشد، کمان \(AC\) نیز برابر \(120°\) است.
قضیه زاویه محاطی: اندازه زاویه محاطی برابر با نصف کمانی است که رو به آن قرار دارد:
از اینجا رابطه اصلی زاویههای محاطی و مرکزی به دست میآید: زاویه محاطی نصف زاویه مرکزی است که رو به همان کمان قرار دارد:
اندازه زاویه محاطی به اینکه رأس دقیقاً کجای دایره باشد بستگی ندارد — تنها کمان رو به آن مهم است. بنابراین، شکل زیر را به عنوان «تصویر کاربردی» کل این مبحث به خاطر بسپارید: کمان سبز و دو زاویهای که به آن نگاه میکنند.
زاویههای محاطی و مرکزی: ویژگیها و نتایج
از قضیه زاویه محاطی، ویژگیهایی مستقیماً نتیجه میشوند که اساس اکثر مسائل مدرسهای هستند:
- زاویههای محاطی که رو به یک کمان هستند، با هم برابرند. هر یک از آنها برابر نصف همان کمان است — بنابراین با هم برابرند، فارغ از اینکه رأس آنها کجا باشد.
- زاویه محاطی رو به قطر، قائمه است. قطر دایره را به دو نیمدایره \(180°\) تقسیم میکند، بنابراین چنین زاویهای برابر \(180° : 2 = 90°\) است. عکس آن نیز صادق است: اگر زاویه محاطی قائمه باشد، رو به قطر قرار دارد.
- زاویه محاطی میتواند منفرجه باشد. اگر کمان بزرگتر از \(180°\) باشد، زاویه بزرگتر از \(90°\) خواهد بود — فرمول «نصف کمان» بدون استثنا کار میکند.
این ویژگیها «عکس» هم دارند: برای مثال، با برابری زاویههایی که رو به یک پارهخط هستند، ثابت میکنیم که چهار نقطه روی یک دایره قرار دارند.
زاویههای محاطی و محیطی: چهارضلعی در دایره
اگر هر چهار رأس یک چهارضلعی روی دایره قرار داشته باشند، آن را محاطی مینامند (و دایره را محیطی بر آن). زاویههای چنین چهارضلعیای، محاطی هستند، بنابراین همان قضیه برای آنها کار میکند.
- مجموع زاویههای مقابل در چهارضلعی محاطی برابر \(180°\) است. زاویههای \(A\) و \(C\) رو به دو کمانی هستند که مجموع آنها کل دایره (\(360°\)) است، بنابراین \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- زاویه خارجی چهارضلعی محاطی برابر با زاویه داخلی مقابل آن است. زاویه خارجی، زاویه داخلی خود را تا \(180°\) تکمیل میکند — دقیقاً مانند زاویه مقابل.
- ویژگی مجموع زاویهها، یک شرط لازم و کافی نیز هست: اگر در یک چهارضلعی مجموع زاویههای مقابل \(180°\) باشد، میتوان دایرهای بر آن محیط کرد. بنابراین هر مستطیلی در دایره محاط میشود، اما لوزی (به جز مربع) خیر.
در کنار زاویههای محاطی، در مسائل با زاویههای محیطی نیز مواجه میشویم — زاویههای بین دو مماس که از یک نقطه خارج دایره رسم شدهاند. زاویه محیطی برابر با نصف تفاضل کمانهایی است که روی دایره جدا میکند.
نمونههای حل مسائل زاویههای محاطی و مرکزی
مثال ۱. محاسبه زاویه محاطی از روی کمان
مسئله. زاویه محاطی \(ABC\) رو به کمان \(AC\) به اندازه \(120°\) است. \(\angle ABC\) را بیابید.
گام ۱. قضیه را به یاد میآوریم: زاویه محاطی برابر نصف کمانی است که رو به آن قرار دارد.
گام ۲. جایگذاری میکنیم: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
پاسخ: \(60°\).
مثال ۲. محاسبه زاویه مرکزی از روی زاویه محاطی
مسئله. زاویه محاطی \(ABC\) برابر \(40°\) است. زاویه مرکزی \(AOC\) را که رو به همان کمان \(AC\) است، بیابید.
گام ۱. زاویه مرکزی دو برابر زاویه محاطی است که رو به همان کمان قرار دارد: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
گام ۲. محاسبه میکنیم: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). در نتیجه کمان \(AC = 80°\) است.
پاسخ: \(80°\).
مثال ۳. زاویه رو به قطر
مسئله. \(AC\) قطر دایره است، نقطه \(B\) روی دایره قرار دارد، \(\angle BAC = 35°\). \(\angle BCA\) را بیابید.
گام ۱. زاویه \(ABC\) رو به قطر \(AC\) است، پس \(\angle ABC = 90°\) — مثلث \(ABC\) قائمالزاویه است.
گام ۲. مجموع زاویههای مثلث برابر \(180°\) است: \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
پاسخ: \(55°\).
مثال ۴. چهارضلعی محاطی
مسئله. چهارضلعی \(ABCD\) در دایره محاط شده است، \(\angle A = 70°\)، \(\angle B = 80°\). زاویههای \(C\) و \(D\) را بیابید.
گام ۱. مجموع زاویههای مقابل در چهارضلعی محاطی برابر \(180°\) است: \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
گام ۲. به همین ترتیب \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
بررسی. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — مجموع زاویههای چهارضلعی درست است.
پاسخ: \(\angle C = 110°\)، \(\angle D = 100°\).
اشتباهات رایج در مسائل زاویهها در دایره
-
اشتباه گرفتن زاویه محاطی با مرکزی: برای زاویهای که رأس آن در مرکز است، نصف کمان را در نظر میگیرند (یا برعکس).
ابتدا به رأس نگاه کنید. رأس در مرکز \(O\) — زاویه مرکزی است و برابر کل کمان است. رأس روی دایره — محاطی است و برابر نصف کمان است.
-
در نظر گرفتن کمان اشتباه: برای زاویه محاطی، کمانی را در نظر میگیرند که رأس زاویه روی آن قرار دارد.
زاویه محاطی رو به کمانی است که «درون» زاویه قرار دارد — رأس همیشه روی کمان دیگر است. در نماد \(\angle ABC\) زاویه رو به کمان \(AC\) است که نقطه \(B\) روی آن نیست.
-
ضرب و تقسیم بر ۲ در جهت اشتباه: از زاویه محاطی به مرکزی تقسیم میکنند به جای ضرب.
به خاطر بسپارید: محاطی «کوچک» است (نصف کمان)، مرکزی «بزرگ» است (کل کمان). از محاطی به مرکزی — ضرب در ۲، از مرکزی به محاطی — تقسیم بر ۲.
-
محاطی دانستن هر زاویهای که اضلاعش دایره را قطع میکنند — مثلاً زاویه بین وترهایی که درون دایره متقاطعاند.
رأس زاویه محاطی باید حتماً روی خود دایره باشد. زاویهای که رأس آن درون دایره است برابر نصف مجموع کمانهای جدا شده است، و اگر خارج باشد برابر نصف تفاضل آنهاست: اینها فرمولهای دیگری هستند.
-
در چهارضلعی محاطی، مجموع زاویههای مجاور را برابر $180°$ قرار میدهند به جای زاویههای مقابل.
این ویژگی فقط برای رأسهای مقابل کار میکند: \(\angle A + \angle C = 180°\) و \(\angle B + \angle D = 180°\). زاویههای مجاور چهارضلعی محاطی میتوانند هر مقداری داشته باشند.
پرسش و پاسخ
اندازه زاویه محاطی چقدر است؟
زاویه محاطی برابر نصف کمانی است که رو به آن قرار دارد. برای مثال، اگر کمان برابر 120° باشد، زاویه محاطی 60° است. این همان قضیه زاویه محاطی و فرمول اصلی این مبحث است.
رابطه زاویههای محاطی و مرکزی که رو به یک کمان هستند چیست؟
زاویه مرکزی دو برابر زاویه محاطی است: ∠AOC = 2·∠ABC. زاویه مرکزی برابر خود کمان است و محاطی برابر نصف آن.
چرا زاویه محاطی رو به قطر برابر 90° است؟
قطر، نیمدایره را جدا میکند — کمانی برابر 180°. زاویه محاطی برابر نصف کمان است: 180° : 2 = 90°. بنابراین هر مثلثی که یک ضلع آن قطر دایره محیطیاش باشد، قائمالزاویه است.
آیا زاویه محاطی میتواند منفرجه باشد؟
بله. اگر کمانی که زاویه رو به آن است بزرگتر از 180° باشد، زاویه منفرجه است: برای مثال، کمان 210° با زاویه محاطی 105° مطابقت دارد. با این حال، زاویه محاطی همیشه کمتر از 180° است.
زاویه محیطی چیست و چه تفاوتی با محاطی دارد؟
زاویه محیطی توسط دو مماس که از یک نقطه خارج دایره رسم شدهاند تشکیل میشود. رأس آن خارج دایره است و برابر نصف تفاضل کمانهای جدا شده است. در زاویه محاطی، رأس روی دایره است و برابر نصف یک کمان است.
چه انواع دیگری از زاویهها در دایره وجود دارد؟
علاوه بر مرکزی و محاطی، زاویه بین وترها (رأس درون دایره — نصف مجموع کمانها)، زاویه بین خطوط متقاطع از یک نقطه خارجی (نصف تفاضل کمانها) و زاویه بین مماس و وتر (نصف کمان محصور) نیز بررسی میشوند. همه آنها بر اساس کمانهای دایره بیان میشوند.
