قضیه کسینوس‌ها: فرمول، اثبات و مسائل

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

شخصیت هندسه‌دان در کنار یک مثلث بزرگ که یکی از زوایای آن با کمان مشخص شده است

قضیه کسینوس‌ها سه ضلع مثلث و یکی از زوایای آن را به هم مرتبط می‌کند: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. این قضیه در هر مثلثی صادق است، بنابراین در پایه نهم جایگزین قضیه فیثاغورس در مواردی می‌شود که زاویه قائمه نداریم. با استفاده از آن، اگر دو ضلع و زاویه بین آن‌ها معلوم باشد، ضلع سوم را می‌یابیم و با استفاده از نتیجه آن یعنی $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$، می‌توان هر زاویه‌ای را با داشتن سه ضلع پیدا کرد و نوع مثلث را تشخیص داد. در این صفحه، صورت قضیه، سه شکل فرمول، اثبات، جدول کسینوس‌ها، راهنمای «سینوس یا کسینوس»، بررسی مسائل OGE و تمرین خودسنجی ارائه شده است.

قضیه کسینوس‌ها: صورت و فرمول

قضیه کسینوس‌ها در هر مثلثی کار می‌کند — نیازی به زاویه قائمه ندارد. این قضیه سه ضلع و یک زاویه را به هم مرتبط می‌کند، بنابراین اگر دو ضلع و زاویه بین آن‌ها را داشته باشیم، می‌توانیم ضلع سوم را پیدا کنیم.

صورت قضیه. مربع هر ضلع مثلث برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر منهای دو برابر حاصل‌ضرب آن دو ضلع در کسینوس زاویه بین آن‌ها.

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

در اینجا $a$، $b$ و $c$ اضلاع مثلث هستند و $C$ زاویه بین اضلاع $a$ و $b$ است؛ ضلع $c$ مقابل این زاویه قرار دارد. می‌توان از هر حرفی استفاده کرد — فرمول متقارن است، بنابراین سه شکل معادل دارد:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

قانون اصلی جایگذاری: زاویه‌ای را انتخاب می‌کنیم که بین دو ضلع موجود در حاصل‌ضرب قرار دارد و ضلعی را پیدا می‌کنیم که مقابل آن است. اگر زاویه «مجاور» را انتخاب کنید، همه اعداد از صورت مسئله استفاده می‌شوند اما پاسخ نادرست خواهد بود.

c² = a² + b² − 2ab · cos C a² = b² + c² − 2bc · cos A b² = a² + c² − 2ac · cos B

زاویه‌ای را انتخاب کنید که بین دو ضلع موجود در حاصل‌ضرب قرار دارد و ضلعی را پیدا کنید که مقابل آن است: زاویه C بین a و b است، ضلع c مقابل آن است.

چرا قضیه فیثاغورس حالت خاصی از قضیه کسینوس‌ها است

اگر زاویه قائمه یعنی $C = 90°$ را در فرمول جایگذاری کنیم، کسینوس زاویه قائمه صفر است، بنابراین جمله سوم کاملاً حذف می‌شود:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90° = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2.\]

دقیقاً قضیه فیثاغورس که در پایه هشتم آموختیم به دست آمد. به همین دلیل قضیه کسینوس‌ها را تعمیم آن می‌نامند: فیثاغورس «حالت خاص در 90 درجه» است، اما قضیه کسینوس‌ها برای همه زوایا کار می‌کند.

جمله $-2ab\cos C$ را می‌توان به عنوان اصلاحیه برای غیرقائمه بودن زاویه در نظر گرفت:

زاویه حاده است، $\cos C > 0$ — اصلاحیه کسر می‌شود، ضلع $c$ کوتاه‌تر از مقداری می‌شود که فیثاغورس می‌داد؛
زاویه قائمه است، $\cos C = 0$ — اصلاحیه‌ای وجود ندارد، $c^2 = a^2 + b^2$ باقی می‌ماند؛
زاویه منفرجه است، $\cos C < 0$ — اصلاحیه جمع می‌شود، ضلع $c$ طولانی‌تر می‌شود.

قضیه کسینوس‌ها را می‌نویسیمc² = a² + b² − 2ab · cos C

زاویه را قائمه می‌کنیمC = 90°, cos 90° = 0 → 2ab · 0 = 0

قضیه فیثاغورس باقی می‌ماندc² = a² + b²

اثبات قضیه کسینوس‌ها

کوتاه‌ترین اثبات در مدرسه، اثبات مختصاتی است. رأس $C$ را در مبدأ مختصات قرار می‌دهیم و ضلع $b = CA$ را روی محور $x$ می‌گیریم. در این صورت مختصات رئوس عبارتند از:

$C(0;\ 0)$ — مبدأ مختصات؛
$A(b;\ 0)$ — نقطه‌ای روی محور $x$ به فاصله $b$ از مبدأ؛
$B(a\cos C;\ a\sin C)$ — رأسی به فاصله $a$ از مبدأ با زاویه $C$ نسبت به محور $x$.

ضلع $c$ — طول پاره‌خط $AB$ است. آن را با فرمول فاصله بین دو نقطه محاسبه می‌کنیم:

\[c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2\]

پرانتزها را باز می‌کنیم:

\[c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C\]

جملات دارای $a^2$ را گروه‌بندی کرده و از اتحاد مثلثاتی اصلی $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ استفاده می‌کنیم:

\[c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

که همان چیزی بود که باید اثبات می‌شد. توجه کنید: هیچ‌جا فرض نکردیم که زاویه $C$ حاده باشد. اگر منفرجه باشد، کسینوس منفی است، مختصات $a\cos C$ به سمت چپ محور $y$ می‌رود، اما تمام محاسبات یکسان باقی می‌مانند — بنابراین قضیه برای هر مثلثی درست است.

رأس C در مبدأ مختصات، ضلع b روی محور x قرار دارد. در این صورت مختصات رأس B برحسب ضلع a و زاویه C بیان می‌شود.

نتیجه‌گیری: چگونه زاویه را با سه ضلع پیدا کنیم

از قضیه کسینوس‌ها، خود کسینوس را استخراج می‌کنند — این مهم‌ترین نتیجه آن است. با استفاده از آن، وقتی هر سه ضلع معلوم باشند، زاویه را پیدا می‌کنیم:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

در صورت کسر، مجموع مربعات دو ضلعی که به زاویه مجاور هستند، منهای مربع ضلعی که مقابل آن است قرار دارد. در مخرج، دو برابر حاصل‌ضرب اضلاع مجاور است. برای زوایای دیگر فرمول‌ها به همین صورت هستند:

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

مراحل حل:

زاویه مورد نظر را انتخاب کرده و مشخص کنید کدام ضلع مقابل آن است — مربع آن با علامت منفی در صورت کسر قرار می‌گیرد؛
کسر را محاسبه کنید (مخرج همیشه مثبت است، علامت فقط توسط صورت کسر تعیین می‌شود)؛
با استفاده از جدول مقادیر یا آرک‌کسینوس، خود زاویه را پیدا کنید.

نکته مفید: با بزرگترین ضلع شروع کنید. بزرگترین زاویه مقابل آن قرار دارد و فقط آن می‌تواند قائمه یا منفرجه باشد — دو زاویه دیگر در مثلث همیشه حاده هستند.

کسینوس زوایای منفرجه منفی هستند: جدول مقادیر

در مسائل مدرسه، زوایا تقریباً همیشه «استاندارد» هستند: 30°، 45°، 60°، 90°، 120°، 135°، 150°. برای زوایای حاده کسینوس مثبت، برای زاویه قائمه صفر و برای زوایای منفرجه — منفی است. مقادیر زوایای منفرجه از مقادیر زوایای حاده با استفاده از قاعده کاهش $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$ به دست می‌آیند: مثلاً $\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5$.

این در عمل به چه معناست: در زاویه منفرجه، عبارت $-2ab\cos C$ به مثبت تبدیل می‌شود — منفی در منفی. برای زاویه $120°$ فرمول به این شکل است:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-0{,}5) = a^2 + b^2 + ab.\]

دقیقاً در اینجا بیشترین نمره از دست می‌رود: به جای $-0{,}5$ از $0{,}5$ استفاده می‌کنند و ضلعی کوتاه‌تر از هر دو ضلع داده شده به دست می‌آورند. این قطعاً غیرممکن است — مقابل زاویه منفرجه طولانی‌ترین ضلع مثلث قرار دارد.

زاویه	کسینوس
30°	√3/2 ≈ 0,87
45°	√2/2 ≈ 0,71
60°	1/2 = 0,5
90°	0
120°	−1/2 = −0,5
135°	−√2/2 ≈ −0,71
150°	−√3/2 ≈ −0,87

قاعده تبدیل: cos(180° − α) = −cos α. مقادیر سبز زاویه حاده، صورتی — زاویه منفرجه می‌دهند.

چگونه نوع مثلث را با سه ضلع تعیین کنیم

قضیه کسینوس‌ها اجازه می‌دهد بدون اندازه‌گیری زوایا با نقاله، نوع مثلث را تشخیص دهیم. علامت کسر $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ فقط به صورت کسر بستگی دارد: مخرج $2ab$ همیشه مثبت است. بنابراین کافی است مربع بزرگترین ضلع را با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مقایسه کنیم.

فرض کنید $c$ بزرگترین ضلع باشد، در این صورت بزرگترین زاویه $C$ مقابل آن قرار دارد:

$a^2 + b^2 > c^2$ → $\cos C > 0$ → زاویه $C$ حاده است. زوایای دیگر از آن کوچکترند، بنابراین هر سه زاویه حاده هستند — مثلث حاده‌الزاویه است؛
$a^2 + b^2 = c^2$ → $\cos C = 0$ → $C = 90°$ — مثلث قائم‌الزاویه است (این همان عکس قضیه فیثاغورس است)؛
$a^2 + b^2 < c^2$ → $\cos C < 0$ → زاویه $C$ منفرجه است — مثلث منفرجه‌الزاویه است.

نیازی به بررسی زوایای دیگر نیست: زاویه قائمه یا منفرجه در مثلث فقط یکی می‌تواند باشد. و نامساوی مثلث را فراموش نکنید — اگر بزرگترین ضلع از مجموع دو ضلع دیگر کمتر نباشد، مثلثی با چنین اضلاعی اصلاً وجود ندارد.

a² + b² > c²cos C > 0, زاویه C حادهحاده‌الزاویهمثال: 5, 6, 7

a² + b² = c²cos C = 0, زاویه C قائمهقائم‌الزاویهمثال: 8, 15, 17

a² + b² < c²cos C < 0, زاویه C منفرجهمنفرجه‌الزاویهمثال: 4, 7, 9

در هر سه سطر c — بزرگترین ضلع مثلث است: فقط مقابل آن می‌تواند زاویه قائمه یا منفرجه قرار گیرد.

قضیه سینوس‌ها یا کسینوس‌ها: چگونه انتخاب کنیم

هر دو قضیه یک مسئله را حل می‌کنند — یافتن اضلاع و زوایای مجهول مثلث — اما بر اساس مجموعه‌های مختلف داده‌ها فعال می‌شوند. قضیه سینوس‌ها ضلع و زاویه مقابل آن را مرتبط می‌کند:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

از اینجا قاعده انتخاب به دست می‌آید: اگر در صورت مسئله از قبل یک جفت «ضلع و زاویه مقابل آن» وجود دارد — قضیه سینوس‌ها کار می‌کند؛ اگر چنین جفتی وجود ندارد — با قضیه کسینوس‌ها شروع می‌کنیم. راهنمای چهار مجموعه داده مدرسه — در جدول.

اغلب مسئله در دو مرحله حل می‌شود: ابتدا قضیه کسینوس‌ها ضلع سوم را می‌دهد و سپس قضیه سینوس‌ها به سرعت زوایای باقی‌مانده را پیدا می‌کند.

چه چیزی معلوم است	چه چیزی استفاده می‌کنیم
ض-ز-ضدو ضلع و زاویه بین آن‌ها	قضیه کسینوس‌هایافتن ضلع سوم
ض-ض-ضهر سه ضلع	قضیه کسینوس‌هایافتن هر زاویه و نوع مثلث
ز-ض-زیک ضلع و دو زاویه	قضیه سینوس‌هایافتن دو ضلع دیگر
ض-ض-زدو ضلع و زاویه مقابل یکی از آن‌ها	قضیه سینوس‌هایافتن زاویه مقابل

در مورد ض-ض-ز، گاهی دو پاسخ وجود دارد: سینوس زاویه حاده و منفرجه را تشخیص نمی‌دهد، بنابراین هر دو گزینه باید طبق صورت مسئله بررسی شوند.

قضیه کسینوس‌ها در مسائل OGE

در آزمون OGE ریاضی، قضیه کسینوس‌ها در مسائل هندسه مسطحه — هم در بخش اول و هم در مسائل با پاسخ تشریحی — دیده می‌شود. موضوعات معمول عبارتند از:

یافتن ضلع با داشتن دو ضلع و زاویه بین آن‌ها — کاربرد مستقیم فرمول، اغلب با زوایای 60° یا 120°.
یافتن زاویه یا کسینوس آن با داشتن سه ضلع — نتیجه‌گیری $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. اگر در مسئله نوشته شده «$\cos\angle A$ را بیابید»، نیازی به گرفتن آرک‌کسینوس نیست: پاسخ همان کسر است، آن را یادداشت کنید.
قطرهای متوازی‌الاضلاع. قطر، مثلثی را از دو ضلع و زاویه بین آن‌ها جدا می‌کند. زوایای مجاور متوازی‌الاضلاع مجموعاً 180° می‌شوند، بنابراین کسینوس‌های آن‌ها قرینه یکدیگرند: مقابل زاویه حاده قطر کوچکتر و مقابل زاویه منفرجه قطر بزرگتر قرار دارد.
نوع مثلث با سه عدد — مقایسه $a^2 + b^2$ با $c^2$.
میانه مثلث. فرمول $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ با دو بار استفاده از قضیه کسینوس‌ها برای دو زاویه مجاور در قاعده به دست می‌آید.

توصیه در امتحان: قبل از محاسبه، زاویه‌ای را که «بین» اضلاع معلوم قرار دارد، روی شکل مشخص کنید. اگر چنین زاویه‌ای وجود ندارد — قضیه کسینوس‌ها هنوز قابل استفاده نیست، باید راه دیگری جستجو کرد.

نمونه‌های حل مسائل قضیه کسینوس‌ها

نمونه 1. یافتن ضلع با دو ضلع و زاویه 60°

مسئله. در مثلث $ABC$ اضلاع $a = 7$ و $b = 15$ و زاویه بین آن‌ها $C = 60°$ است. ضلع $c$ را بیابید.

مرحله 1. زاویه $C$ بین اضلاع $a$ و $b$ قرار دارد — این دقیقاً همان موردی است که قضیه برای آن ابداع شده است:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

مرحله 2. اعداد را جایگذاری می‌کنیم، $\cos 60° = 0{,}5$:

\[c^2 = 7^2 + 15^2 - 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0{,}5 = 49 + 225 - 105 = 169.\]

مرحله 3. جذر می‌گیریم: $c = \sqrt{169} = 13$.

پاسخ: $13$. بررسی منطقی: زاویه $60°$ حاده است، بنابراین ضلع مقابل آن طولانی‌ترین نیست — و واقعاً، $13 < 15$.

نمونه 2. زاویه منفرجه: منفی در منفی

مسئله. در مثلث $ABC$ معلوم است: $AB = 6$، $BC = 10$، زاویه $B = 120°$. ضلع $AC$ را بیابید.

مرحله 1. زاویه $B$ بین اضلاع $AB$ و $BC$ قرار دارد و ضلع $AC$ مقابل آن است:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]

مرحله 2. زاویه منفرجه است، بنابراین $\cos 120° = -0{,}5$. منفی قبل از حاصل‌ضرب و منفی کسینوس، مثبت می‌دهند:

\[AC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196.\]

مرحله 3. $AC = \sqrt{196} = 14$.

پاسخ: $14$. بررسی: مقابل زاویه منفرجه طولانی‌ترین ضلع قرار دارد — $14$ از $6$ و $10$ بزرگتر است.

نمونه 3. یافتن زاویه با سه ضلع

مسئله. اضلاع مثلث $3$، $5$ و $7$ هستند. بزرگترین زاویه آن را بیابید.

مرحله 1. بزرگترین زاویه مقابل بزرگترین ضلع قرار دارد، یعنی مقابل ضلع $7$. آن را $C$ می‌نامیم، در این صورت $c = 7$ و اضلاع مجاور $a = 3$ و $b = 5$ هستند.

مرحله 2. از نتیجه‌گیری استفاده می‌کنیم:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -0{,}5.\]

مرحله 3. کسینوس منفی است — زاویه منفرجه است. طبق جدول مقادیر $\cos 120° = -0{,}5$، بنابراین $C = 120°$.

پاسخ: $120°$. در ضمن مشخص شد که مثلث منفرجه‌الزاویه است.

نمونه 4. تعیین نوع مثلث

مسئله. نوع مثلث با اضلاع $6$، $7$ و $10$ را تعیین کنید.

مرحله 1. نامساوی مثلث را بررسی می‌کنیم: $6 + 7 = 13 > 10$ — مثلث وجود دارد. بزرگترین ضلع — $10$ است.

مرحله 2. مجموع مربعات دو ضلع کوچکتر را با مربع بزرگترین ضلع مقایسه می‌کنیم:

\[6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, \qquad 10^2 = 100.\]

مرحله 3. $85 < 100$، بنابراین صورت کسر منفی است و $\cos C < 0$ — زاویه مقابل ضلع $10$ منفرجه است. در صورت تمایل می‌توان خود زاویه را نیز یافت:

\[\cos C = \frac{85 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{-15}{84} \approx -0{,}18 \Rightarrow C \approx 100°.\]

پاسخ: مثلث منفرجه‌الزاویه است. توجه کنید: «با چشم» این دیده نمی‌شود — اضلاع تقریباً برابرند، اما زاویه از $90°$ گذشته است.

نمونه 5. مسئله سطح OGE: قطر متوازی‌الاضلاع

مسئله. اضلاع متوازی‌الاضلاع $5$ و $8$ و زاویه حاده $60°$ است. قطر کوچکتر را بیابید.

مرحله 1. قطر، مثلثی را جدا می‌کند که دو ضلع ($5$ و $8$) و زاویه بین آن‌ها معلوم است. قطر کوچکتر مقابل زاویه حاده $60°$ قرار دارد.

مرحله 2. محاسبه می‌کنیم:

\[d^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7.\]

مرحله 3. بررسی. قطر دوم مقابل زاویه $120°$ قرار دارد (زوایای مجاور متوازی‌الاضلاع مجموعاً $180°$ می‌شوند): $D^2 = 89 + 40 = 129$، یعنی $D = \sqrt{129} \approx 11{,}4$. مجموع مربعات قطرها برابر $49 + 129 = 178$ و دو برابر مجموع مربعات اضلاع — $2(25 + 64) = 178$ است. مطابقت دارد، یعنی محاسبه درست است.

پاسخ: $7$.

اشتباهات رایج در مسائل قضیه کسینوس‌ها

کسینوس زاویه منفرجه را با علامت مثبت می‌گیرند. برای اضلاع $4$ و $9$ با زاویه $120°$ بین آن‌ها، $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ می‌نویسند و $c \approx 7{,}8$ به دست می‌آورند.

$\cos 120° = -0{,}5$ است و منفی در منفی مثبت می‌دهد: $c^2 = 97 + 36 = 133$، یعنی $c = \sqrt{133} \approx 11{,}5$. بررسی سریع: مقابل زاویه منفرجه طولانی‌ترین ضلع قرار دارد، بنابراین پاسخ باید بزرگتر از $9$ باشد.
زاویه‌ای را جایگذاری می‌کنند که بین اضلاع داده شده نیست: در صورت مسئله یک زاویه داده شده و آن را «همان‌طور که هست» بدون نگاه کردن به شکل استفاده می‌کنند.

در عبارت $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ اضلاع $a$ و $b$ زاویه $C$ را می‌سازند و ضلع $c$ مقابل آن است. اگر زاویه معلوم به ضلع مورد نظر مجاور باشد، این عبارت مناسب نیست — یکی دیگر از سه شکل یا قضیه سینوس‌ها مورد نیاز است.
فراموش می‌کنند جذر بگیرند و مربع ضلع را به عنوان پاسخ می‌نویسند: $c^2 = 225$ به دست آورده‌اند و می‌نویسند «ضلع برابر 225 است».

فرمول همیشه مربع ضلع را می‌دهد. مرحله آخر الزامی است: $c = \sqrt{225} = 15$. قبل از نوشتن پاسخ، سوال مسئله را دوباره بخوانید.
ترتیب جملات در نتیجه‌گیری را اشتباه می‌کنند و می‌نویسند $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.

صورت کسر درست — $a^2 + b^2 - c^2$ است: مجموع مربعات اضلاع مجاور منهای مربع ضلع مقابل. با جابجایی، علامت کسر تغییر می‌کند و به جای زاویه منفرجه $120°$، زاویه حاده $60°$ به دست می‌آید.
زاویه را با قدر مطلق کسینوس پیدا می‌کنند: −0,25 به دست آورده‌اند، اما در پاسخ زاویه حاده می‌نویسند، انگار کسینوس +0,25 بوده است.

کسینوس منفی همیشه به معنای زاویه منفرجه است. علامت را نمی‌توان از دست داد: cos 60° = 0,5 و cos 120° = −0,5؛ آرک‌کسینوس عدد منفی بزرگتر از 90° است.
تلاش می‌کنند مسئله «دو ضلع و زاویه بین آن‌ها» را با قضیه سینوس‌ها حل کنند و در سطر اول گیر می‌کنند.

قضیه سینوس‌ها به یک جفت آماده «ضلع و زاویه مقابل» نیاز دارد. با دو ضلع و زاویه بین آن‌ها چنین جفتی وجود ندارد — ابتدا قضیه کسینوس‌ها ضلع سوم را می‌دهد و فقط بعد از آن قضیه سینوس‌ها وارد عمل می‌شود.

پرسش و پاسخ

قضیه کسینوس‌ها چگونه بیان می‌شود؟

مربع هر ضلع مثلث برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر منهای دو برابر حاصل‌ضرب آن دو ضلع در کسینوس زاویه بین آن‌ها: c² = a² + b² − 2ab·cos C. قضیه برای هر مثلثی درست است، نه فقط برای مثلث قائم‌الزاویه.

چگونه ضلع مثلث را با دو ضلع و زاویه بین آن‌ها پیدا کنیم؟

داده‌ها را در فرمول c² = a² + b² − 2ab·cos C جایگذاری کرده و جذر بگیرید. مثلاً با اضلاع 4 و 6 و زاویه 60° بین آن‌ها: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28، یعنی c = √28 ≈ 5,3.

چگونه زاویه مثلث را با داشتن سه ضلع پیدا کنیم؟

با نتیجه‌گیری از قضیه کسینوس‌ها: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)، که در آن c ضلع مقابل زاویه مورد نظر است. مثلاً برای اضلاع 2، 3 و 4 کسینوس بزرگترین زاویه برابر (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25 است، یعنی زاویه منفرجه است، تقریباً 104°.

چرا قضیه فیثاغورس حالت خاصی از قضیه کسینوس‌ها است؟

زیرا در زاویه قائمه cos 90° = 0 است و جمله −2ab·cos C حذف می‌شود. از فرمول c² = a² + b² باقی می‌ماند — این همان قضیه فیثاغورس برای مثلث قائم‌الزاویه است.

آیا قضیه کسینوس‌ها در مثلث منفرجه‌الزاویه کار می‌کند؟

بله، و بدون تغییر کار می‌کند. کسینوس زاویه منفرجه منفی است، بنابراین جمله −2ab·cos C مثبت شده و به مجموع مربعات اضافه می‌شود. دقیقاً به همین دلیل است که ضلع مقابل زاویه منفرجه طولانی‌ترین ضلع می‌شود.

چه زمانی از قضیه سینوس‌ها و چه زمانی از قضیه کسینوس‌ها استفاده کنیم؟

قضیه سینوس‌ها زمانی مورد نیاز است که در صورت مسئله از قبل یک جفت «ضلع و زاویه مقابل آن» وجود داشته باشد — مثلاً یک ضلع و دو زاویه داده شده باشد. قضیه کسینوس‌ها — زمانی که چنین جفتی وجود ندارد: دو ضلع و زاویه بین آن‌ها یا هر سه ضلع داده شده باشد. اغلب مسئله در دو مرحله حل می‌شود: ابتدا کسینوس‌ها، سپس سینوس‌ها.

چگونه نوع مثلث را با سه ضلع تعیین کنیم؟

مربع بزرگترین ضلع c² را با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مقایسه کنید. اگر a² + b² > c² — مثلث حاده‌الزاویه است، اگر a² + b² = c² — قائم‌الزاویه است، اگر a² + b² < c² — منفرجه‌الزاویه است. علامت این تفاضل با علامت کسینوس بزرگترین زاویه مطابقت دارد.

قضیه کسینوس‌ها در چه پایه‌ای تدریس می‌شود؟

در پایه نهم در کلاس‌های هندسه، در مبحث «روابط بین اضلاع و زوایای مثلث» — همراه با قضیه سینوس‌ها. پس از آن دائماً در مسائل OGE و ЕГЭ هندسه مسطحه و هندسه فضایی استفاده می‌شود.

هنوز سوالی دارید؟ در چت ادامه دهید

مسئله مرا حل کن راه‌حل مرا بررسی کن ضلع مثلث را پیدا کن زاویه را با سه ضلع پیدا کن سینوس‌ها یا کسینوس‌ها؟ مسائلی برای تمرین بده

کاربر #4365351

من واقعاً ویرایشگر متن روی عکس را دوست داشتم — نتیجه یک شاهکار تمام‌عیار شد.

Web · مه 2026

کاربر #4383661

ممنونم، عملکرد این هوش مصنوعی واقعاً مرا تحت تأثیر قرار داد. عالی بود!

کاربر #4279467

خیلی دوستش دارم — عالی می‌شد اگر چند تلاش رایگان دیگر هم داشت.

Google Play · مه 2026

کاربر #4160129

یک برنامه فوق‌العاده با قیمت‌های مناسب.