شباهت مثلث‌ها: علائم و ضریب شباهت

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

شخصیت هندسه‌دان با پرگار در کنار دو مثلث با شکل یکسان اما اندازه‌های متفاوت

مثلث‌های متشابه مثلث‌هایی با شکل یکسان اما اندازه‌های متفاوت هستند: زاویه‌های آن‌ها به ترتیب برابر است و اضلاع متناظر متناسب هستند. عددی که نشان می‌دهد یک مثلث چند برابر بزرگتر از مثلث دیگر است، ضریب شباهت $k$ نامیده می‌شود. سه علامت به اثبات شباهت کمک می‌کنند و نسبت محیط‌ها و مساحت‌ها از یک قانون ساده پیروی می‌کنند: محیط‌ها به نسبت $k$ و مساحت‌ها به نسبت $k^2$ هستند. در این صفحه — تعریف و نمایش شباهت با ترتیب صحیح رأس‌ها، هر سه علامت، شباهت مثلث‌های قائم‌الزاویه و ارتفاع از رأس زاویه قائمه، حل مسائل OGE «ضلع را پیدا کنید» و یک تمرینگر تعاملی.

مثلث‌های متشابه و ضریب شباهت چیست؟

دو مثلث را متشابه می‌نامیم، اگر بلافاصله دو شرط برقرار باشد:

زاویه‌های آن‌ها به ترتیب برابر باشند — به هر زاویه از مثلث اول، زاویه برابر آن در مثلث دوم پاسخ می‌دهد.
اضلاع متناظر آن‌ها متناسب باشند — هر سه نسبت، یک عدد یکسان را به دست می‌دهند.

اضلاع متناظر (متناظر) اضلاعی هستند که روبروی زاویه‌های برابر قرار دارند. دقیقاً آن‌ها جفت‌هایی را تشکیل می‌دهند که نسبت بین آن‌ها محاسبه می‌شود.

شباهت با علامت $\sim$ نمایش داده می‌شود:

\[\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\]

ضریب شباهت $k$ — همان نسبت یکسان اضلاع متناظر است:

\[k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\]

اگر $k > 1$ باشد، مثلث دوم بزرگتر از اولی است؛ اگر $k < 1$ باشد — کوچکتر؛ در حالت $k = 1$ مثلث‌ها صرفاً برابر هستند، زیرا برابری یک حالت خاص از شباهت است.

ترتیب رأس‌ها در نمایش — یک تشریفات نیست

نمایش $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ دقیقاً بر اساس موقعیت‌ها خوانده می‌شود: $A$ با $A_1$ مطابقت دارد، $B$ — با $B_1$، $C$ — با $C_1$. از اینجا بلافاصله مشخص می‌شود که کدام زاویه‌ها برابرند ($\angle A = \angle A_1$) و کدام اضلاع متناظرند ($AB$ و $A_1B_1$، $BC$ و $B_1C_1$، $AC$ و $A_1C_1$).

اگر حروف را جابجا کنیم و بنویسیم $\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1$، ادعای دیگری به دست می‌آید: اکنون $\angle A = \angle B_1$ و ضلع $B_1A_1$ متناظر با $AB$ خواهد بود. نمی‌توان نسبت را بر اساس اضلاع «به ظاهر قرار گرفته» تشکیل داد — فقط بر اساس موقعیت‌ها در نمایش. بنابراین، اولین کار این است که جفت‌های زاویه‌های برابر را بنویسیم و سپس ترتیب حروف را بر اساس آن‌ها تنظیم کنیم.

6 : 4 = 1,5 9 : 6 = 1,5 12 : 8 = 1,5 k = 1,5

△ABC ∼ △A₁B₁C₁: رأس‌های متناظر با یک رنگ مشخص شده‌اند — A و A₁، B و B₁، C و C₁. هر سه نسبت اضلاع متناظر یک عدد یکسان را به دست دادند.

سه علامت شباهت مثلث‌ها

نیازی به بررسی هر شش شرط تعریف نیست: شباهت با یکی از سه علامت اثبات می‌شود. هر کدام یک مجموعه حداقل داده است که از آن برابری تمام زاویه‌ها و تناسب تمام اضلاع به طور خودکار نتیجه می‌شود.

چگونه علامت را انتخاب کنیم. ببین در مسئله چه داده شده است: اگر درباره زاویه‌ها است — علامت اول، اگر درباره دو ضلع و زاویه است — علامت دوم، اگر درباره هر سه ضلع است — علامت سوم.

علامت اول (بر اساس دو زاویه) — اسب کاری دوره مدرسه: تقریباً تمام مسائل OGE با آن حل می‌شوند. نیازی به بررسی زاویه سوم نیست، به طور خودکار برابر است: مجموع زاویه‌های مثلث همیشه $180°$ است. به دنبال جفت‌های آماده از زاویه‌های برابر باشید — زاویه مشترک دو مثلث، زاویه‌های متقابل به رأس، زاویه‌های متبادل و نظیر در خطوط موازی، دو زاویه قائمه.
علامت دوم (بر اساس دو ضلع و زاویه بین آن‌ها) نیاز دارد که زاویه دقیقاً بین این دو ضلع قرار داشته باشد. اگر زاویه برابر روبروی یکی از آن‌ها قرار گیرد، علامت کار نمی‌کند و شباهت اثبات نشده است.
علامت سوم (بر اساس سه ضلع) — زمانی که اصلاً زاویه‌ای در صورت مسئله وجود ندارد و فقط طول‌ها داده شده‌اند. اضلاع هر مثلث را به ترتیب صعودی بنویسید و کوچکترین را بر کوچکترین، متوسط را بر متوسط، بزرگترین را بر بزرگترین تقسیم کنید: به این ترتیب جفت‌ها اشتباه نمی‌شوند. شباهت وجود دارد، فقط اگر هر سه نسبت یکسان باشند.

برای اینکه علائم شباهت را با علائم برابری اشتباه نگیرید، تفاوت را در ذهن داشته باشید: در برابری اضلاع باید منطبق باشند، در شباهت — متناسب باشند.

علامت ۱ بر اساس دو زاویه ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁
→ △ABC ∼ △A₁B₁C₁

علامت ۲ بر اساس دو ضلع و زاویه بین آن‌ها A₁B₁ : AB = A₁C₁ : AC, ∠A = ∠A₁

علامت ۳ بر اساس سه ضلع A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC

نسبت محیط‌ها و مساحت‌های مثلث‌های متشابه

شباهت دو نتیجه دارد که بیشتر از همه پرسیده می‌شوند و یکی از آن‌ها تله اصلی موضوع است.

محیط‌ها به نسبت $k$ هستند. هر ضلع مثلث دوم $k$ برابر بزرگتر از ضلع متناظر مثلث اول است، بنابراین مجموع اضلاع دقیقاً $k$ برابر می‌شود:

\[\frac{P_2}{P_1} = k\]

به همین ترتیب — «$k$ برابر» — تمام کمیت‌های خطی رفتار می‌کنند: ارتفاع‌ها، میانه، نیمسازها، شعاع‌های دایره‌های محاط و محیطی، خطوط میانی.

مساحت‌ها به نسبت $k^2$ هستند. مساحت به دو بعد همزمان بستگی دارد: هم قاعده و هم ارتفاع $k$ برابر می‌شوند و حاصلضرب آن‌ها — $k \cdot k$ برابر می‌شود:

\[\frac{S_2}{S_1} = k^2\]

فرض کنید $k = 5$. آنگاه محیط 5 برابر بزرگتر است (مثلاً ۱۴ سانتی‌متر بود — ۷۰ سانتی‌متر شد)، اما مساحت — ۲۵ برابر (۶ سانتی‌متر مربع بود — ۱۵۰ سانتی‌متر مربع شد). تفاوت عظیم است و جایگزینی $k$ به جای $k^2$ در اینجا، رایج‌ترین اشتباه در امتحان است.

حرکت معکوس. اگر نسبت مساحت‌ها در صورت مسئله داده شده باشد، ضریب شباهت با ریشه دوم به دست می‌آید: $k = \sqrt{S_2 : S_1}$. به عنوان مثال، نسبت مساحت‌ها ۱۶ : ۱ است، پس اضلاع — ۴ : ۱.

خطوط میانی یک مثلث را به ۴ قسمت مساوی تقسیم می‌کنند. ضلع مثلث بزرگتر ۲ برابر و مساحت آن — ۴ برابر است: 2² = 4.

k	محیط‌ها P₂ : P₁	مساحت‌ها S₂ : S₁
2	2 : 1	4 : 1
3	3 : 1	9 : 1
1,5	1,5 : 1	2,25 : 1
هر	k : 1	k² : 1

شباهت مثلث‌های قائم‌الزاویه و ارتفاع از رأس زاویه قائمه

برای مثلث‌های قائم‌الزاویه، علامت اول ساده می‌شود: زاویه‌های قائمه آن‌ها از قبل برابر هستند، بنابراین برابری یک زاویه حاده کافی است تا مثلث‌ها متشابه باشند. از این نیز علامت برای دو وتر نتیجه می‌شود: اگر وترهای یکی متناسب با وترهای دیگری باشند، مثلث‌ها متشابه هستند (این علامت دوم است، زیرا زاویه بین وترها قائمه است).

مفیدترین پیکربندی کل موضوع — ارتفاعی که از رأس زاویه قائمه کشیده شده است. این ارتفاع مثلث را به دو قسمت تقسیم می‌کند و هر سه مثلث حاصل از این تقسیم، متشابه یکدیگر هستند.

چرا اینطور است: مثلث $AHC$ زاویه قائمه در $H$ و زاویه $A$ مشترک با مثلث بزرگتر دارد، بنابراین $\triangle AHC \sim \triangle ACB$. مثلث $CHB$ زاویه قائمه در $H$ و زاویه $B$ مشترک دارد، بنابراین $\triangle CHB \sim \triangle ACB$. از این رو، دو مثلث کوچک نیز بین خودشان متشابه هستند.

از این شباهت‌ها فرمول‌های میانگین هندسی (که به آن‌ها پاره‌خط‌های متناسب در مثلث قائم‌الزاویه می‌گویند) به دست می‌آید:

$CH^2 = AH \cdot HB$ — ارتفاع میانگین هندسی پاره‌خط‌هایی است که ارتفاع، نیمساز را به آن‌ها تقسیم می‌کند.
$AC^2 = AH \cdot AB$ و $BC^2 = HB \cdot AB$ — وتر میانگین هندسی کل وتر و تصویر آن بر روی خودش است.

مهمترین چیز این است که اشتباه نکنید که کدام پاره‌خط «مال خودش» است: وتر $AC$ تصویر $AH$ را دارد، وتر $BC$ تصویر $HB$ را دارد. تصویر همیشه به همان انتهای وتر متصل است که وتر متصل است.

△AHC ∼ △CHB ∼ △ACB

CH² = AH · HB AC² = AH · AB BC² = HB · AB

بررسی با اعداد شکل: 12² = 9 · 16، 15² = 9 · 25، 20² = 16 · 25.

مسائل OGE در مورد شباهت: چگونه ضلع را پیدا کنیم

تقریباً تمام مسائل شباهت با یک الگوریتم حل می‌شوند:

یک جفت زاویه برابر پیدا کنید — زاویه مشترک، زاویه‌های متقابل به رأس، زاویه‌های متبادل در خطوط موازی یا دو زاویه قائمه.
شباهت را با ترتیب صحیح رأس‌ها بنویسید — به طوری که زاویه‌های برابر در موقعیت‌های یکسان قرار گیرند.
یک نسبت از اضلاع متناظر تشکیل دهید (اضلاعی را که در موقعیت‌های یکسان در نمایش قرار دارند، انتخاب کنید).
مجهول را بیان کنید و محاسبه کنید؛ در پایان پاسخ را از نظر منطقی بررسی کنید — ضلع مثلث کوچکتر باید کوچکتر باشد.

پیکربندی‌های معمول در OGE کم هستند و باید از همان ابتدا شناخته شوند:

خطی موازی با ضلع. خطی یک مثلث کوچک شبیه به مثلث اصلی را از مثلث جدا می‌کند. نکته کلیدی: در نسبت، نسبت کل اضلاع از رأس مشترک ($BM : BA$) می‌آید، نه پاره‌خط‌ها ($BM : MA$).
«پروانه». دو پاره‌خط متقاطع هستند و انتهای آن‌ها با خطوط موازی به هم متصل شده‌اند — دو مثلث متشابه که نسبت به هم وارونه شده‌اند، ایجاد می‌شود.
ارتفاع از رأس زاویه قائمه — پیکربندی از بخش قبل؛ در OGE با استفاده از آن ارتفاع، وتر یا پاره‌خط وتر را پیدا می‌کنند.
سایه و ارتفاع شیء. پرتوهای خورشید موازی هستند، بنابراین شیء با سایه‌اش و درخت با سایه‌اش مثلث‌های قائم‌الزاویه متشابهی ایجاد می‌کنند.
خط میانی — حالت خاص با $k = 2$: موازی با ضلع و دو برابر کوتاه‌تر از آن است.

MN ∥ AC → △BMN ∼ △BAC
زاویه B مشترک است، زاویه‌ها در M و A متناظر هستند

AB ∥ CD → △AOB ∼ △COD
زاویه‌ها در O متقابل به رأس هستند، زاویه‌های A و C متبادل هستند

مثال‌هایی از حل مسائل شباهت مثلث‌ها

مثال ۱. یافتن اضلاع بر اساس ضریب شباهت

مسئله. $\triangle MNK \sim \triangle PQR$. مشخص است که $MN = 7$، $NK = 11$، $MK = 9$ و $PQ = 21$. $QR$ و $PR$ را پیدا کنید.

مرحله ۱. نمایش را بر اساس موقعیت‌ها تجزیه و تحلیل می‌کنیم: $M \leftrightarrow P$، $N \leftrightarrow Q$، $K \leftrightarrow R$. بنابراین جفت‌های متناظر این‌ها هستند: $MN$ و $PQ$، $NK$ و $QR$، $MK$ و $PR$.

مرحله ۲. ضریب را بر اساس تنها جفتی که هر دو ضلع آن مشخص است، محاسبه می‌کنیم:

\[k = \frac{PQ}{MN} = \frac{21}{7} = 3.\]

مرحله ۳. سایر اضلاع مثلث دوم ۳ برابر بزرگتر از اضلاع متناظر هستند:

\[QR = 3 \cdot NK = 3 \cdot 11 = 33, \qquad PR = 3 \cdot MK = 3 \cdot 9 = 27.\]

پاسخ: $QR = 33$، $PR = 27$. بررسی: $33 : 11 = 27 : 9 = 3$ — همه نسبت‌ها یکسان هستند.

مثال ۲. اثبات شباهت بر اساس علامت دوم

مسئله. در مثلث‌های $ABC$ و $DEF$ مشخص است: $AB = 5$، $AC = 9$، $DE = 15$، $DF = 27$ و زاویه‌های $A$ و $D$ برابرند. اثبات کنید که مثلث‌ها متشابه هستند.

مرحله ۱. شرط اصلی علامت دوم را بررسی می‌کنیم: زاویه $A$ بین اضلاع $AB$ و $AC$ قرار دارد، زاویه $D$ — بین $DE$ و $DF$. زاویه‌ها بین اضلاع داده شده هستند — علامت قابل اعمال است.

مرحله ۲. نسبت اضلاع متناظر را محاسبه می‌کنیم:

\[\frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3, \qquad \frac{DF}{AC} = \frac{27}{9} = 3.\]

مرحله ۳. دو جفت ضلع با یک ضریب $k = 3$ متناسب هستند، زاویه‌های بین آن‌ها برابرند — بر اساس علامت دوم $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

پاسخ: مثلث‌ها متشابه هستند، $k = 3$. توجه کنید: اگر زاویه‌های $B$ و $D$ برابر بودند، علامت کار نمی‌کرد — زاویه $B$ بین $AB$ و $AC$ قرار ندارد.

مثال ۳. خط موازی با ضلع (مسئله OGE)

مسئله. در مثلث $ABC$ نقطه $M$ روی ضلع $AB$ و نقطه $N$ روی ضلع $BC$ قرار دارد، به طوری که $MN \parallel AC$. مشخص است که $BM = 4$، $MA = 12$، $MN = 5$. $AC$ را پیدا کنید.

مرحله ۱. از آنجایی که $MN \parallel AC$، زاویه‌های $BMN$ و $BAC$ به عنوان متناظر برابر هستند و زاویه $B$ مشترک است. بر اساس علامت اول $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ (ترتیب رأس‌ها: $M \leftrightarrow A$، $N \leftrightarrow C$).

مرحله ۲. ضلع کامل را از رأس مشترک پیدا می‌کنیم: $BA = BM + MA = 4 + 12 = 16$. این نکته کلیدی است — در نسبت $BA$ می‌آید، نه $MA$.

مرحله ۳. نسبت را بر اساس اضلاع متناظر تشکیل می‌دهیم:

\[\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{16} = \frac{5}{AC}.\]

مرحله ۴. از اینجا $AC = 5 \cdot 4 = 20$.

پاسخ: $AC = 20$. ضریب شباهت در اینجا ۴ است: مثلث بزرگتر ۴ برابر بزرگتر از مثلث جدا شده است.

مثال ۴. محیط‌ها و مساحت‌ها

مسئله. محیط‌های مثلث‌های متشابه برابر ۱۸ سانتی‌متر و ۴۵ سانتی‌متر است. مساحت مثلث کوچکتر برابر ۱۶ سانتی‌متر مربع است. مساحت بزرگتر را پیدا کنید.

مرحله ۱. محیط‌ها به نسبت ضریب شباهت هستند:

\[k = \frac{45}{18} = 2{,}5.\]

مرحله ۲. مساحت‌ها به نسبت مربع ضریب شباهت هستند: $k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25$.

مرحله ۳. مساحت مثلث کوچکتر را در $k^2$ ضرب می‌کنیم:

\[S = 16 \cdot 6{,}25 = 100 \text{ см}^2.\]

پاسخ: ۱۰۰ سانتی‌متر مربع. اگر در $k = 2{,}5$ ضرب می‌کردیم، ۴۰ سانتی‌متر مربع به دست می‌آوردیم — یک اشتباه رایج که باعث از دست دادن کل امتیاز می‌شود.

مثال ۵. ارتفاع از رأس زاویه قائمه

مسئله. در مثلث قائم‌الزاویه $ABC$ با زاویه قائمه در رأس $C$، ارتفاع $CH$ به وتر کشیده شده است. مشخص است که $AH = 4$ سانتی‌متر، $HB = 9$ سانتی‌متر. ارتفاع $CH$ و مساحت مثلث را پیدا کنید.

مرحله ۱. ارتفاع از زاویه قائمه، میانگین هندسی پاره‌خط‌های وتر است، زیرا $\triangle AHC \sim \triangle CHB$:

\[CH^2 = AH \cdot HB = 4 \cdot 9 = 36.\]

مرحله ۲. ریشه دوم را استخراج می‌کنیم: $CH = 6$ سانتی‌متر.

مرحله ۳. وتر $AB = AH + HB = 4 + 9 = 13$ سانتی‌متر. مساحت را از طریق وتر و ارتفاع کشیده شده به آن محاسبه می‌کنیم:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39 \text{ см}^2.\]

پاسخ: $CH = 6$ سانتی‌متر، $S = 39$ سانتی‌متر مربع.

مثال ۶. ارتفاع درخت بر اساس سایه

مسئله. یک میله عمودی به ارتفاع ۲ متر سایه‌ای به طول ۱.۵ متر ایجاد می‌کند. در همان لحظه سایه درخت ۹ متر است. ارتفاع درخت چقدر است؟

مرحله ۱. پرتوهای خورشید موازی هستند، بنابراین زاویه تابش برای میله و درخت یکسان است. میله با سایه‌اش و درخت با سایه‌اش مثلث‌های قائم‌الزاویه با زاویه حاده برابر تشکیل می‌دهند — بنابراین، آن‌ها متشابه هستند.

مرحله ۲. نسبت «ارتفاع به سایه خودش» را تشکیل می‌دهیم:

\[\frac{h}{9} = \frac{2}{1{,}5}.\]

مرحله ۳. ارتفاع مجهول را بیان می‌کنیم:

\[h = \frac{2 \cdot 9}{1{,}5} = \frac{18}{1{,}5} = 12 \text{ м}.\]

پاسخ: ۱۲ متر. بررسی از نظر منطقی: سایه درخت ۶ برابر بلندتر از سایه میله است، بنابراین درخت نیز ۶ برابر بلندتر است: $2 \cdot 6 = 12$ متر.

اشتباهات رایج در مسائل شباهت مثلث‌ها

مساحت‌های مثلث‌های متشابه را $k$ در نظر می‌گیرند: در حالت $k = 3$ مساحت را سه برابر می‌کنند.

مساحت‌ها به نسبت مربع ضریب شباهت هستند: در حالت $k = 3$ مساحت ۹ برابر بزرگتر است. مانند $k$ فقط کمیت‌های خطی رفتار می‌کنند — اضلاع، محیط، ارتفاع‌ها، میانه. قانون-راهنما: مساحت در واحدهای مربع اندازه‌گیری می‌شود، بنابراین ضریب نیز در آن به توان دو وارد می‌شود.
ترتیب رأس‌ها را نادیده می‌گیرند: از نمایش $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ نسبت $AB : LM$ را تشکیل می‌دهند.

مطابقت رأس‌ها توسط موقعیت‌ها در نمایش تعیین می‌شود: $A \leftrightarrow K$، $B \leftrightarrow L$، $C \leftrightarrow M$. متناظر با $AB$، $KL$ و متناظر با $BC$ — $LM$ خواهد بود. قبل از نوشتن نسبت، جفت رأس‌ها را ستونی بنویسید — این پنج ثانیه طول می‌کشد و بیشتر اشتباهات را برطرف می‌کند.
شباهت را بر اساس یک زاویه برابر یا دو ضلع متناسب بدون زاویه اثبات می‌کنند.

یک زاویه برابر کافی نیست: دو مثلث می‌توانند زاویه یکسان اما شکل کاملاً متفاوتی داشته باشند. علامت کامل لازم است — دو زاویه، یا دو ضلع و زاویه بین آن‌ها، یا هر سه ضلع.
در علامت دوم، زاویه‌ای را می‌گیرند که بین اضلاع داده شده قرار ندارد.

علامت دوم فقط با زاویه بین دو ضلع داده شده کار می‌کند. اگر $AB$، $AC$ و زاویه $B$ برابر باشند، علامت قابل اعمال نیست — راه دیگری پیدا کنید: جفت زاویه‌های برابر یا ضلع سوم.
ضریب را برعکس می‌کنند: $k$ را به صورت «ضلع کوچکتر به بزرگتر» پیدا می‌کنند و سپس آن را ضرب می‌کنند تا ضلع مثلث بزرگتر را به دست آورند.

با خودتان در مورد جهت توافق کنید: اگر $k$ نسبت اضلاع مثلث دوم به اولی است، پس اضلاع اول ضرب در $k$ می‌شوند و اضلاع دوم بر $k$ تقسیم می‌شوند. بررسی نهایی از نظر منطقی: ضلع مثلث کوچکتر باید کوچکتر باشد.
در مسئله خط موازی با ضلع، نسبت را از پاره‌خط‌ها تشکیل می‌دهند: $BM : MA = MN : AC$.

مثلث‌های $BMN$ و $BAC$ متشابه هستند، و اضلاع متناظر آن‌ها — $BM$ و $BA$ (ضلع کامل از رأس مشترک)، نه پاره‌خط $MA$. ابتدا $BA = BM + MA$ را پیدا کنید، و فقط بعد نسبت را تشکیل دهید.
شباهت را با برابری اشتباه می‌گیرند و در پاسخ می‌نویسند که اضلاع صرفاً برابر هستند.

برابری — حالت خاصی از شباهت در $k = 1$ است. اگر $k \ne 1$، مثلث‌ها فقط زاویه‌ها را یکسان دارند، اما اضلاع $k$ برابر متفاوت هستند. علائم نیز متفاوت هستند: برای برابری این‌ها SUS، USU، SSS با اضلاع منطبق هستند، برای شباهت — اضلاع متناسب.

سوالات و پاسخ‌ها

چه مثلث‌هایی متشابه نامیده می‌شوند؟

مثلث‌هایی که زاویه‌هایشان به ترتیب برابر و اضلاع متناظرشان متناسب باشد، متشابه نامیده می‌شوند. به زبان ساده‌تر، این‌ها مثلث‌هایی با شکل یکسان اما اندازه‌های متفاوت هستند. شباهت با علامت ∼ نمایش داده می‌شود: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

ضریب شباهت مثلث‌ها چیست؟

ضریب شباهت k عددی است برابر با نسبت اضلاع متناظر مثلث‌های متشابه: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. این نشان می‌دهد که یک مثلث چند برابر بزرگتر از دیگری است. در حالت k = 1 مثلث‌ها برابر هستند.

چند علامت شباهت مثلث‌ها وجود دارد و آن‌ها چه هستند؟

سه علامت وجود دارد. اولی — بر اساس دو زاویه: دو زاویه یک مثلث برابر دو زاویه مثلث دیگر است. دومی — بر اساس دو ضلع و زاویه بین آن‌ها: دو ضلع متناسب هستند و زاویه‌های بین آن‌ها برابر است. سومی — بر اساس سه ضلع: هر سه جفت ضلع متناظر متناسب هستند.

مساحت‌های مثلث‌های متشابه چگونه نسبت دارند؟

مساحت‌های مثلث‌های متشابه به نسبت مربع ضریب شباهت هستند: S₂ : S₁ = k². به عنوان مثال، در حالت k = 4 مساحت ۱۶ برابر بزرگتر است. برعکس: اگر مساحت‌ها به نسبت ۲۵ : ۱ باشند، اضلاع به نسبت ۵ : ۱ هستند.

محیط‌های مثلث‌های متشابه چگونه نسبت دارند؟

محیط‌ها به نسبت ضریب شباهت هستند: P₂ : P₁ = k. به همین ترتیب تمام عناصر خطی رفتار می‌کنند — ارتفاع‌ها، میانه، نیمسازها، خطوط میانی، شعاع‌های دایره‌های محاط و محیطی.

شباهت مثلث‌ها چه تفاوتی با برابری دارد؟

در مثلث‌های برابر، هم زاویه‌ها و هم اضلاع منطبق هستند، بنابراین اشکال را می‌توان روی هم قرار داد. در مثلث‌های متشابه فقط زاویه‌ها منطبق هستند و اضلاع با ضریب k متناسب هستند. برابری — حالت خاصی از شباهت در k = 1 است.

چگونه شباهت مثلث‌های قائم‌الزاویه را اثبات کنیم؟

برابری یک زاویه حاده کافی است: زاویه‌های قائمه آن‌ها از قبل برابر هستند، بنابراین علامت اول کار می‌کند. روش دوم — تناسب وترها: زاویه بین وترها قائمه است، بنابراین علامت دوم شباهت قابل اعمال است.

چرا ارتفاع از رأس زاویه قائمه سه مثلث متشابه ایجاد می‌کند؟

ارتفاع CH از رأس زاویه قائمه C، مثلث ABC را به مثلث‌های AHC و CHB تقسیم می‌کند. AHC زاویه قائمه در H و زاویه مشترک A با ABC دارد، CHB — زاویه قائمه در H و زاویه مشترک B دارد، بنابراین هر دو با مثلث اصلی متشابه هستند و در نتیجه با یکدیگر. از اینجا فرمول‌های CH² = AH · HB، AC² = AH · AB و BC² = HB · AB به دست می‌آید.

شباهت مثلث‌ها در چه کلاسی تدریس می‌شود؟

در کلاس هشتم در درس‌های هندسه — بلافاصله پس از موضوع پاره‌خط‌های متناسب. در آنجا نیز سه علامت شباهت، نسبت مساحت‌ها و کاربرد شباهت در مثلث قائم‌الزاویه مطالعه می‌شود. بعداً این موضوع در کلاس نهم و در مسائل OGE استفاده می‌شود.

سوالات باقی مانده؟ در چت ادامه دهید

مسئله من را حل کن راه حل من را بررسی کن شباهت را اثبات کن ضریب شباهت را پیدا کن مساحت‌ها یا محیط‌ها؟ مسائل تمرینی بده

کاربر #4365351

من واقعاً ویرایشگر متن روی عکس را دوست داشتم — نتیجه یک شاهکار تمام‌عیار شد.

Web · مه 2026

کاربر #4383661

ممنونم، عملکرد این هوش مصنوعی واقعاً مرا تحت تأثیر قرار داد. عالی بود!

کاربر #4279467

خیلی دوستش دارم — عالی می‌شد اگر چند تلاش رایگان دیگر هم داشت.

Google Play · مه 2026

کاربر #4160129

یک برنامه فوق‌العاده با قیمت‌های مناسب.

شباهت مثلث‌ها: علائم و ضریب شباهت