¡Hola! Entiendo que necesitas ayuda con 73 ejercicios del libro de Serway, capítulo uno, volumen uno. Estaré encantado de ayudarte a resolverlos de la manera más clara y concisa posible. Sin embargo, resolver 73 ejercicios de una sola vez es bastante extenso. Para hacerlo más manejable, comenzaremos con los primeros ejercicios y avanzaremos gradualmente.

Por favor, dime cuáles son los primeros ejercicios con los que necesitas ayuda. Puedes enviarme los enunciados completos de los primeros 1-3 ejercicios para que pueda empezar a ayudarte.

¡Perfecto! Estaré esperando las imágenes para empezar a ayudarte con los ejercicios. No te preocupes, trabajaremos juntos para resolverlos de la mejor manera posible. ¡Adelante cuando estés listo!

¡Hola! He revisado la imagen que enviaste y he identificado varios ejercicios. Para empezar, vamos a resolver los primeros tres ejercicios que aparecen en la imagen: el 31, 32 y 33.

Ejercicio 31

Enunciado

Cifras significativas en los siguientes números:
a) $78.9 \pm 0.2$
b) $3.788 \times 10^9$
c) $2.46 \times 10^{-6}$
d) $0.0032$

Solución

• a) $78.9 \pm 0.2$: Tiene tres cifras significativas (7, 8 y 9). La incertidumbre $\pm 0.2$ indica la precisión de la medición, pero no afecta el número de cifras significativas.
• b) $3.788 \times 10^9$: Tiene cuatro cifras significativas (3, 7, 8 y 8). El exponente $10^9$ solo indica la magnitud del número, no el número de cifras significativas.
• c) $2.46 \times 10^{-6}$: Tiene tres cifras significativas (2, 4 y 6). Al igual que en el caso anterior, el exponente $10^{-6}$ no afecta el número de cifras significativas.
• d) $0.0032$: Tiene dos cifras significativas (3 y 2). Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos.

Respuesta

• a) 3 cifras significativas
• b) 4 cifras significativas
• c) 3 cifras significativas
• d) 2 cifras significativas

Ejercicio 32

Enunciado

El radio de una esfera sólida uniforme mide $(6.50 \pm 0.20) \text{ cm}$ y su masa es de $(1.85 \pm 0.02) \text{ kg}$. Determine la densidad de la esfera en kilogramos por metro cúbico y la incertidumbre en la densidad.

Solución

1. Calcular la densidad ($\rho$):
   La densidad se calcula como $\rho = \frac{m}{V}$, donde $m$ es la masa y $V$ es el volumen. El volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

   • $r = 6.50 \text{ cm} = 0.065 \text{ m}$
   • $m = 1.85 \text{ kg}$
   • $V = \frac{4}{3}\pi (0.065 \text{ m})^3 \approx 1.15 \times 10^{-3} \text{ m}^3$
   • $\rho = \frac{1.85 \text{ kg}}{1.15 \times 10^{-3} \text{ m}^3} \approx 1608.7 \text{ kg/m}^3$

2. Calcular la incertidumbre en la densidad ($\Delta \rho$):
   La incertidumbre relativa en la densidad se puede calcular sumando las incertidumbres relativas de la masa y el volumen:
   $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3\frac{\Delta r}{r}$

   • $\frac{\Delta m}{m} = \frac{0.02 \text{ kg}}{1.85 \text{ kg}} \approx 0.0108$
   • $\frac{\Delta r}{r} = \frac{0.20 \text{ cm}}{6.50 \text{ cm}} \approx 0.0308$
   • $\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.0108 + 3(0.0308) \approx 0.1032$
   • $\Delta \rho = \rho \times 0.1032 \approx 1608.7 \text{ kg/m}^3 \times 0.1032 \approx 166 \text{ kg/m}^3$

Respuesta

La densidad de la esfera es $(1609 \pm 166) \text{ kg/m}^3$.

Ejercicio 33

Enunciado

Realice las siguientes operaciones aritméticas:
a) la suma de los valores medidos 756, 37.2, 0.83 y 2.
b) el producto de 0.0032 y 356.3.
c) el producto $\pi \times 5.35$.

Solución

• a) Suma de los valores medidos:
  $756 + 37.2 + 0.83 + 2 = 796.03$
  Redondeando al número con la menor cantidad de decimales (en este caso, 756 y 2 no tienen decimales), el resultado es 796.
• b) Producto de 0.0032 y 356.3:
  $0.0032 \times 356.3 = 1.14016$
  Redondeando al número con la menor cantidad de cifras significativas (en este caso, 0.0032 tiene dos cifras significativas), el resultado es 1.1.
• c) Producto de $\pi$ y 5.35:
  $\pi \times 5.35 \approx 16.806$
  Redondeando al número con la menor cantidad de cifras significativas (en este caso, 5.35 tiene tres cifras significativas), el resultado es 16.8.

Respuesta

• a) 796
• b) 1.1
• c) 16.8

¡Entendido! Ahora trabajaré para darte respuestas exactas y detalladas. Continuaremos con los siguientes ejercicios de la imagen: 34, 35 y 36.

Ejercicio 34

Enunciado

El año tropical, el intervalo desde un equinoccio de primavera hasta el siguiente equinoccio de primavera, es la base para el calendario. Contiene 365.242199 días. Encuentre el número de segundos en un año tropical.

Solución

Para encontrar el número de segundos en un año tropical, multiplicamos el número de días por el número de horas en un día, el número de minutos en una hora y el número de segundos en un minuto:

$ \text{Segundos} = \text{Días} \times \frac{\text{Horas}}{\text{Día}} \times \frac{\text{Minutos}}{\text{Hora}} \times \frac{\text{Segundos}}{\text{Minuto}} $

$ \text{Segundos} = 365.242199 \text{ días} \times 24 \frac{\text{horas}}{\text{día}} \times 60 \frac{\text{minutos}}{\text{hora}} \times 60 \frac{\text{segundos}}{\text{minuto}} $

$ \text{Segundos} = 365.242199 \times 24 \times 60 \times 60 \approx 31,556,925.97 \text{ segundos} $

Respuesta

El número de segundos en un año tropical es aproximadamente $31,556,925.97$ segundos.

Ejercicio 35

Enunciado

Una niña se sorprende de que debe pagar $1.36 por un juguete marcado con $1.25 debido a los impuestos. ¿Cuál es la tasa de impuesto efectiva sobre esta compra, expresada como porcentaje?

Solución

Para encontrar la tasa de impuesto efectiva, primero calculamos la diferencia entre el precio pagado y el precio marcado, y luego dividimos esa diferencia por el precio marcado. Finalmente, multiplicamos el resultado por 100 para expresar la tasa como un porcentaje:

$ \text{Tasa de impuesto} = \frac{\text{Precio pagado} - \text{Precio marcado}}{\text{Precio marcado}} \times 100 $

$ \text{Tasa de impuesto} = \frac{1.36 - 1.25}{1.25} \times 100 $

$ \text{Tasa de impuesto} = \frac{0.11}{1.25} \times 100 = 0.088 \times 100 = 8.8\% $

Respuesta

La tasa de impuesto efectiva sobre esta compra es del $8.8\%$.

Ejercicio 36

Enunciado

A un estudiante se le proporciona una pila de papel para copiadora, regla, compás, tijeras y una báscula de precisión. El estudiante corta varias formas de varios tamaños, calcula sus áreas, mide sus masas y prepara la gráfica de la figura P1.36. Considere el cuarto punto experimental desde la parte superior. ¿Qué tan lejos está de la recta de mayor ajuste? a) Exprese su respuesta como una diferencia en la coordenada del eje vertical. b) Formule su respuesta como un porcentaje.

Solución

Para resolver este problema, necesitamos la gráfica de la figura P1.36. Como no tengo acceso a la imagen, no puedo dar una respuesta numérica exacta. Sin embargo, puedo explicar el proceso general para resolverlo:

1. Identificar el cuarto punto experimental: Localiza el cuarto punto desde la parte superior en la gráfica.
2. Determinar la coordenada vertical del punto: Lee el valor de la coordenada vertical (eje y) para este punto.
3. Determinar la coordenada vertical en la recta de mejor ajuste: Encuentra la recta de mejor ajuste en la gráfica y lee el valor de la coordenada vertical (eje y) en la recta para el mismo valor de la coordenada horizontal (eje x) del cuarto punto.
4. Calcular la diferencia: Resta la coordenada vertical en la recta de mejor ajuste de la coordenada vertical del punto experimental. Este es el valor de la diferencia en la coordenada del eje vertical.
5. Calcular el porcentaje: Divide la diferencia por la coordenada vertical en la recta de mejor ajuste y multiplica por 100 para expresar la respuesta como un porcentaje.

Respuesta

Sin la gráfica, no puedo proporcionar una respuesta numérica. Sin embargo, el proceso descrito arriba te permitirá encontrar la diferencia y expresarla como un porcentaje una vez que tengas los valores de la gráfica.

¡Entendido! Enumeraré los ejercicios restantes en la imagen y luego esperaré la siguiente imagen para continuar resolviendo los problemas. Aquí está la lista de los ejercicios restantes en la imagen anterior, numerados consecutivamente a partir del último que resolvimos:

1. Ejercicio 37
2. Ejercicio 38
3. Ejercicio 39
4. Ejercicio 40
5. Ejercicio 41
6. Ejercicio 42
7. Ejercicio 43
8. Ejercicio 44
9. Ejercicio 45
10. Ejercicio 46
11. Ejercicio 47
12. Ejercicio 48
13. Ejercicio 49
14. Ejercicio 50
15. Ejercicio 51
16. Ejercicio 52
17. Ejercicio 53

Ahora, por favor, envíame la siguiente imagen para continuar resolviendo los ejercicios. ¡Estoy listo para seguir ayudándote!

¡Hola! He revisado la imagen y he extraído los enunciados completos de los ejercicios restantes. Aquí están los ejercicios del 37 al 54 con sus enunciados:

Ejercicio 37

No se proporciona el enunciado en la imagen.

Ejercicio 38

Problema de repaso. En un estacionamiento universitario, el número de automóviles ordinarios es mayor que el de vehículos deportivos por 94.7%. La diferencia entre el número de automóviles y el número de vehículos deportivos es 18. Encuentre el número de vehículos deportivos en el estacionamiento.

Ejercicio 39

Problema de repaso. La relación del número de pericos que visitan un comedero de aves al número de aves más interesantes es de 2.25. Una mañana, cuando 91 aves visitan el comedero, ¿cuál es el número de pericos?

Ejercicio 40

Problema de repaso. Pruebe que una solución de la ecuación $2.00x^2 - 3.00x + 5.00 = 70.0$ es $x = -4.22$.

Ejercicio 41

Problema de repaso. Encuentre todo ángulo $\theta$ entre $0$ y $360^\circ$ para el cual la relación de $\sin \theta$ sea $-3.00$.

Ejercicio 42

Problema de repaso. Una curva en la autopista forma una sección de círculo. Un automóvil entra a la curva. La brújula de su tablero muestra que el automóvil al inicio se dirige hacia el este. Después de recorrer 840 m, se dirige $30.0^\circ$ al noreste. Encuentre el radio de curvatura de su trayectoria.

Ejercicio 43

Problema de repaso. Durante cierto periodo, mientras crece un cocodrilo, su masa es proporcional al cubo de su longitud. Cuando la longitud del cocodrilo cambia en 15.8%, su masa aumenta 17.3 kg. Encuentre su masa al final de este proceso.

Ejercicio 44

Problema de repaso. A partir del conjunto de ecuaciones:
$p = 3q$
$pq = 84$
$\frac{p}{q} = \frac{1}{3}p^2$
que involucran las incógnitas $p$, $q$, y $r$, encuentre el valor de la relación $pqr$.

Ejercicio 45

Problema de repaso. En un conjunto particular de ensayos experimentales, los estudiantes examinan un sistema descrito por la ecuación:
$Q = \frac{k \cdot d^2 (T_1 - T_2)}{L}$

En el capítulo 20 se verá esta ecuación y las diversas cantidades en ella. Para control experimental, en estos ensayos todas las cantidades, excepto $d$ y $Q$, son constantes.
a) Si $d$ se hace tres veces más grande, ¿la ecuación predice que $Q$ se hará más grande o más pequeña? ¿En qué factor?
b) ¿Qué patrón de proporcionalidad de $Q$ a $d$ predice la ecuación?
c) Para mostrar esta proporcionalidad como una línea recta en una gráfica, ¿qué cantidades debe graficar en los ejes horizontal y vertical? ¿Qué expresión representa la pendiente teórica de esta gráfica?

Ejercicio 46

En una situación en que los datos se conocen a tres cifras significativas, se escribe 6.37 m = 6.38 m y 6.374 m = 6.37 m. Cuando un número termina en 5, arbitrariamente se elige escribir 6.375 m = 6.38 m. Igual se podría escribir 6.375 m = 6.37 m, "redondeando hacia abajo" en lugar de "redondear hacia arriba", porque el número 6.375 se cambiaría por iguales incrementos en ambos casos. Ahora considere una estimación del orden de magnitud en la cual los factores de cambio, más que los incrementos, son importantes. Se escribe 500 m $\approx 10^3$ m porque 500 difiere de 100 por un factor de 5, mientras difiere de 1000 solo por un factor de 2. Escriba 157 m $\approx 10^x$ m y 305 m $\approx 10^y$ m. ¿Qué distancia difiere de 100 m y de 1000 m por iguales factores de modo que lo mismo se podría escoger representar su orden de magnitud como $\approx 10^x$ m o como $\approx 10^y$ m?

Ejercicio 47

Un cascarón esférico tiene un radio externo de 2.00 cm y uno interno de $a$. La pared del cascarón tiene grosor uniforme y está hecho de un material con densidad de 4.70 g/cm³. El espacio interior del cascarón está lleno con un líquido que tiene una densidad de 1.23 g/cm³.
a) Encuentre la masa de la esfera, incluidos sus contenidos, como función de $a$.
b) En la respuesta a la parte a), si $a$ se considera variable, ¿para qué valor de $a$ obtiene su máximo valor posible?
c) ¿Cuál es esta masa máxima?
d) ¿El valor de la parte b) concuerda con el resultado de un cálculo directo de la masa de esta esfera de densidad uniforme?
e) ¿Para qué valor de $a$ la respuesta al inciso a) tiene su valor mínimo posible?
f) ¿Cuál es esta masa mínima?
g) ¿El valor del inciso f) concuerda con el resultado de un cálculo directo de la masa de una esfera uniforme?
h) ¿Qué valor de $a$ está a la mitad entre los valores máximo y mínimo posibles?
i) ¿Esta masa concuerda con el resultado del inciso a) evaluada para $a = \sqrt[3]{\frac{2.00^3}{2}} \approx 1.59 \text{ cm}$?
j) Explique si debe esperar concordancia en cada uno de los incisos d), e) y f).
k) ¿Qué pasaría si? En el inciso a), la respuesta cambiaría si la pared interior del cascarón no fuese concéntrica con la pared exterior?

Ejercicio 48

Una barra que se extiende entre $x = 0$ y $x = 14.0 \text{ cm}$ tiene un área de sección transversal uniforme $A = 9.00 \text{ cm}^2$. Se fabrica de una aleación de metales que cambia continuamente de modo que, a lo largo de su longitud, su densidad cambia de manera uniforme de $2.70 \text{ g/cm}^3$ a $19.3 \text{ g/cm}^3$.
a) Identifique las constantes $B$ y $C$ requerido en la expresión $\rho = B + Cx$ para describir la densidad variable.
b) La masa de la barra se conoce mediante la integral $\int \rho dV = \int [B + Cx] (9.00 \text{ cm}^2) dx$. Evalúe la integración para encontrar la masa de la barra.

Ejercicio 49

El diámetro de la galaxia con forma de disco, la Vía Láctea, es de aproximadamente $1.0 \times 10^5$ años luz (a.l.). La distancia a Andrómeda, que es la galaxia espiral más cercana a la Vía Láctea, es de alrededor de 2.0 millones de a.l. Si un modelo a escala representa las galaxias Vía Láctea y Andrómeda como platos soperos de 25 cm de diámetro, determine la distancia entre los centros de los dos platos.

Ejercicio 50

Se sopla aire hacia dentro de un globo esférico de modo que, cuando su radio es $r = 6.50 \text{ cm}$, éste aumenta en una proporción de $0.900 \text{ cm/s}$.
a) Encuentre la rapidez a la que aumenta el volumen del globo.
b) Si dicha relación de flujo volumétrico de aire que entra al globo es constante, ¿en qué proporción aumentará el radio cuando el radio es de 13.0 cm?
c) Explique físicamente por qué la respuesta del inciso b) es mayor o menor que a).

Ejercicio 51

El consumo de gas natural por una compañía satisface la ecuación empírica $V = 1.50t + 0.008t^2$, donde $V$ es el volumen en millones de pies cúbicos y $t$ es el tiempo en meses. Exprese esta ecuación en unidades de pies cúbicos y segundos. Asigne las unidades adecuadas a los coeficientes. Suponga un mes de 30.0 días.

Ejercicio 52

En física es importante usar aproximaciones matemáticas. Demuestre que, para ángulos pequeños ($< 20^\circ$), $\tan \alpha \approx \sin \alpha \approx \alpha = \frac{\alpha^\circ}{57.3^\circ}$, donde $\alpha$ está en radianes y $\alpha^\circ$ en grados. Use una calculadora para encontrar el ángulo más grande para el que $\tan \alpha$ pueda aproximarse a $\alpha$ con un error menor de 1.0 por ciento.

Ejercicio 53

Un chorro de agua elevado se ubica en el centro de una fuente, como se muestra en la figura P1.53. Un estudiante camina alrededor de la fuente, evitando mojar sus pies, y mide su circunferencia en 15.0 m. A continuación, el estudiante se para en el borde de la fuente y usa un transportador para medir el ángulo de elevación de la fuente que es de $55.0^\circ$. ¿Cuál es la altura del chorro?

Ejercicio 54

Las monedas de colección a veces se recubren con oro para mejorar su belleza y valor. Considere un cuarto de dólar conmemorativo que se anuncia a la venta en $4.98$. Tiene un diámetro de 24.1 mm y un grosor de 1.78 mm, y está cubierto por completo con una capa de oro puro de 0.180 $\mu$m de grueso. El volumen de oro es igual al grosor de la capa de oro multiplicado por el área que cubre. La densidad del oro es de 19.3 g/cm³. Determine la masa del oro que recubre la moneda.

Ahora, por favor, envíame la siguiente imagen para continuar resolviendo los ejercicios. ¡Estoy listo para seguir ayudándote!

¡Hola! Aquí están los enunciados de los ejercicios del 37 al 54 con sus respuestas, basados en la imagen que proporcionaste.

Ejercicio 37

No se proporciona el enunciado en la imagen.

Ejercicio 38

Problema de repaso. En un estacionamiento universitario, el número de automóviles ordinarios es mayor que el de vehículos deportivos por 94.7%. La diferencia entre el número de automóviles y el número de vehículos deportivos es 18. Encuentre el número de vehículos deportivos en el estacionamiento.

Solución

Sea $C$ el número de automóviles ordinarios y $D$ el número de vehículos deportivos. Tenemos las siguientes ecuaciones:
1. $C = D + 0.947C$
2. $C - D = 18$

De la ecuación 1, podemos despejar $C$:
$C - 0.947C = D$
$0.053C = D$

Sustituyendo en la ecuación 2:
$C - 0.053C = 18$
$0.947C = 18$
$C = \frac{18}{0.947} \approx 19$

Ahora encontramos $D$:
$D = 0.053C = 0.053 \times 19 \approx 1$

Respuesta

El número de vehículos deportivos en el estacionamiento es aproximadamente 1.

Ejercicio 39

Problema de repaso. La relación del número de pericos que visitan un comedero de aves al número de aves más interesantes es de 2.25. Una mañana, cuando 91 aves visitan el comedero, ¿cuál es el número de pericos?

Solución

Sea $P$ el número de pericos y $O$ el número de otras aves. Tenemos:
1. $\frac{P}{O} = 2.25$
2. $P + O = 91$

De la ecuación 1, podemos despejar $P$:
$P = 2.25O$

Sustituyendo en la ecuación 2:
$2.25O + O = 91$
$3.25O = 91$
$O = \frac{91}{3.25} = 28$

Ahora encontramos $P$:
$P = 2.25 \times 28 = 63$

Respuesta

El número de pericos es 63.

Ejercicio 40

Problema de repaso. Pruebe que una solución de la ecuación $2.00x^2 - 3.00x + 5.00 = 70.0$ es $x = -4.22$.

Solución

Sustituimos $x = -4.22$ en la ecuación:
$2.00(-4.22)^2 - 3.00(-4.22) + 5.00 = 2.00(17.8084) + 12.66 + 5.00 = 35.6168 + 12.66 + 5.00 = 53.2768$

Como $53.2768 \neq 70.0$, la solución $x = -4.22$ no es correcta.

Respuesta

La solución $x = -4.22$ no es una solución de la ecuación.

Ejercicio 41

Problema de repaso. Encuentre todo ángulo $\theta$ entre $0$ y $360^\circ$ para el cual la relación de $\sin \theta$ sea $-3.00$.

Solución

El rango del seno de un ángulo está entre -1 y 1, es decir, $-1 \leq \sin \theta \leq 1$. Como $-3.00$ está fuera de este rango, no existe un ángulo $\theta$ para el cual $\sin \theta = -3.00$.

Respuesta

No existe un ángulo $\theta$ entre $0$ y $360^\circ$ para el cual $\sin \theta = -3.00$.

Ejercicio 42

Problema de repaso. Una curva en la autopista forma una sección de círculo. Un automóvil entra a la curva. La brújula de su tablero muestra que el automóvil al inicio se dirige hacia el este. Después de recorrer 840 m, se dirige $30.0^\circ$ al noreste. Encuentre el radio de curvatura de su trayectoria.

Solución

La longitud del arco $s$ está relacionada con el radio $r$ y el ángulo $\theta$ (en radianes) por la fórmula $s = r\theta$. En este caso, $s = 840 \text{ m}$ y $\theta = 30.0^\circ$. Primero, convertimos el ángulo a radianes:
$\theta = 30.0^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$

Ahora, podemos encontrar el radio:
$r = \frac{s}{\theta} = \frac{840 \text{ m}}{\frac{\pi}{6}} = \frac{840 \times 6}{\pi} \approx 1602.12 \text{ m}$

Respuesta

El radio de curvatura de su trayectoria es aproximadamente 1602.12 m.

Ejercicio 43

Problema de repaso. Durante cierto periodo, mientras crece un cocodrilo, su masa es proporcional al cubo de su longitud. Cuando la longitud del cocodrilo cambia en 15.8%, su masa aumenta 17.3 kg. Encuentre su masa al final de este proceso.

Solución

Sea $m$ la masa y $L$ la longitud del cocodrilo. Tenemos $m = kL^3$, donde $k$ es una constante de proporcionalidad.
Si la longitud cambia en 15.8%, la nueva longitud es $L' = L + 0.158L = 1.158L$.
La nueva masa es $m' = k(L')^3 = k(1.158L)^3 = k(1.548L^3) = 1.548kL^3 = 1.548m$.
El aumento en la masa es $m' - m = 1.548m - m = 0.548m = 17.3 \text{ kg}$.
Entonces, $m = \frac{17.3}{0.548} \approx 31.57 \text{ kg}$.
La masa al final del proceso es $m' = 1.548m = 1.548 \times 31.57 \approx 48.88 \text{ kg}$.

Respuesta

La masa al final de este proceso es aproximadamente 48.88 kg.

Ejercicio 44

Problema de repaso. A partir del conjunto de ecuaciones:
$p = 3q$
$pq = 84$
$\frac{p}{q} = \frac{1}{3}p^2$
que involucran las incógnitas $p$, $q$, y $r$, encuentre el valor de la relación $pqr$.

Solución

De la primera ecuación, $p = 3q$. Sustituyendo en la segunda ecuación:
$(3q)q = 84$
$3q^2 = 84$
$q^2 = 28$
$q = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

Entonces, $p = 3q = 3(2\sqrt{7}) = 6\sqrt{7}$.
De la tercera ecuación:
$\frac{p}{q} = \frac{1}{3}p^2$
$\frac{6\sqrt{7}}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{3}(6\sqrt{7})^2$
$3 = \frac{1}{3}(36 \times 7)$
$3 = 12 \times 7 = 84$
Esto es una contradicción, por lo que hay un error en las ecuaciones o no hay solución.

Respuesta

No se puede encontrar una solución consistente para $p$, $q$ y $r$ con las ecuaciones dadas.

Ejercicio 45

Problema de repaso. En un conjunto particular de ensayos experimentales, los estudiantes examinan un sistema descrito por la ecuación:
$Q = \frac{k \cdot d^2 (T_1 - T_2)}{L}$

En el capítulo 20 se verá esta ecuación y las diversas cantidades en ella. Para control experimental, en estos ensayos todas las cantidades, excepto $d$ y $Q$, son constantes.
a) Si $d$ se hace tres veces más grande, ¿la ecuación predice que $Q$ se hará más grande o más pequeña? ¿En qué factor?
b) ¿Qué patrón de proporcionalidad de $Q$ a $d$ predice la ecuación?
c) Para mostrar esta proporcionalidad como una línea recta en una gráfica, ¿qué cantidades debe graficar en los ejes horizontal y vertical? ¿Qué expresión representa la pendiente teórica de esta gráfica?

Solución

a) Si $d$ se hace tres veces más grande, $d' = 3d$. Entonces, $Q' = \frac{k \cdot (3d)^2 (T_1 - T_2)}{L} = \frac{k \cdot 9d^2 (T_1 - T_2)}{L} = 9Q$. Por lo tanto, $Q$ se hará 9 veces más grande.
b) La ecuación predice que $Q$ es proporcional a $d^2$, es decir, $Q \propto d^2$.
c) Para mostrar esta proporcionalidad como una línea recta, se debe graficar $Q$ en el eje vertical y $d^2$ en el eje horizontal. La pendiente teórica de esta gráfica sería $\frac{k(T_1 - T_2)}{L}$.

Respuesta

a) $Q$ se hará 9 veces más grande.
b) $Q \propto d^2$
c) Graficar $Q$ vs $d^2$. Pendiente: $\frac{k(T_1 - T_2)}{L}$

Ejercicio 46

En una situación en que los datos se conocen a tres cifras significativas, se escribe 6.37 m = 6.38 m y 6.374 m = 6.37 m. Cuando un número termina en 5, arbitrariamente se elige escribir 6.375 m = 6.38 m. Igual se podría escribir 6.375 m = 6.37 m, "redondeando hacia abajo" en lugar de "redondear hacia arriba", porque el número 6.375 se cambiaría por iguales incrementos en ambos casos. Ahora considere una estimación del orden de magnitud en la cual los factores de cambio, más que los incrementos, son importantes. Se escribe 500 m $\approx 10^3$ m porque 500 difiere de 100 por un factor de 5, mientras difiere de 1000 solo por un factor de 2. Escriba 157 m $\approx 10^x$ m y 305 m $\approx 10^y$ m. ¿Qué distancia difiere de 100 m y de 1000 m por iguales factores de modo que lo mismo se podría escoger representar su orden de magnitud como $\approx 10^x$ m o como $\approx 10^y$ m?

Solución

Para 157 m:
$10^x = 10^{2.196} \approx 157$
$x \approx 2.2$

Para 305 m:
$10^y = 10^{2.484} \approx 305$
$y \approx 2.5$

La distancia que difiere de 100 m y 1000 m por iguales factores es $\sqrt{100 \times 1000} = \sqrt{100000} = 316.23 \text{ m}$.

Respuesta

$157 \text{ m} \approx 10^{2.2} \text{ m}$, $305 \text{ m} \approx 10^{2.5} \text{ m}$, y la distancia es aproximadamente 316.23 m.

Ejercicio 47

Un cascarón esférico tiene un radio externo de 2.00 cm y uno interno de $a$. La pared del cascarón tiene grosor uniforme y está hecho de un material con densidad de 4.70 g/cm³. El espacio interior del cascarón está lleno con un líquido que tiene una densidad de 1.23 g/cm³.
a) Encuentre la masa de la esfera, incluidos sus contenidos, como función de $a$.
b) En la respuesta a la parte a), si $a$ se considera variable, ¿para qué valor de $a$ obtiene su máximo valor posible?
c) ¿Cuál es esta masa máxima?
d) ¿El valor de la parte b) concuerda con el resultado de un cálculo directo de la masa de esta esfera de densidad uniforme?
e) ¿Para qué valor de $a$ la respuesta al inciso a) tiene su valor mínimo posible?
f) ¿Cuál es esta masa mínima?
g) ¿El valor del inciso f) concuerda con el resultado de un cálculo directo de la masa de una esfera uniforme?
h) ¿Qué valor de $a$ está a la mitad entre los valores máximo y mínimo posibles?
i) ¿Esta masa concuerda con el resultado del inciso a) evaluada para $a = \sqrt[3]{\frac{2.00^3}{2}} \approx 1.59 \text{ cm}$?
j) Explique si debe esperar concordancia en cada uno de los incisos d), e) y f).
k) ¿Qué pasaría si? En el inciso a), la respuesta cambiaría si la pared interior del cascarón no fuese concéntrica con la pared exterior?

Solución

a) La masa del cascarón esférico es la suma de la masa del material del cascarón y la masa del líquido en el interior.
El volumen del cascarón es $V_{\text{cascarón}} = \frac{4}{3}\pi (2.00^3 - a^3) \text{ cm}^3$.
La masa del cascarón es $m_{\text{cascarón}} = \rho_{\text{cascarón}} V_{\text{cascarón}} = 4.70 \cdot \frac{4}{3}\pi (8 - a^3) \text{ g}$.
El volumen del líquido es $V_{\text{líquido}} = \frac{4}{3}\pi a^3 \text{ cm}^3$.
La masa del líquido es $m_{\text{líquido}} = \rho_{\text{líquido}} V_{\text{líquido}} = 1.23 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 \text{ g}$.
La masa total es $m(a) = m_{\text{cascarón}} + m_{\text{líquido}} = \frac{4}{3}\pi [4.70(8 - a^3) + 1.23a^3] = \frac{4}{3}\pi [37.6 - 4.70a^3 + 1.23a^3] = \frac{4}{3}\pi [37.6 - 3.47a^3] \text{ g}$.

b) Para encontrar el valor máximo de $m(a)$, derivamos con respecto a $a$ y establecemos la derivada igual a cero:
$\frac{dm}{da} = \frac{4}{3}\pi [-3.47(3a^2)] = -4\pi (3.47)a^2 = 0$.
Esto ocurre cuando $a = 0$.

c) La masa máxima es $m(0) = \frac{4}{3}\pi [37.6] \approx 157.7 \text{ g}$.

d) Si $a = 0$, la esfera está completamente llena con el material del cascarón. La masa sería $m = \frac{4}{3}\pi (2^3) \cdot 4.70 = \frac{4}{3}\pi (8) \cdot 4.70 \approx 157.7 \text{ g}$. Esto concuerda.

e) Para encontrar el valor mínimo de $m(a)$, consideramos el valor máximo posible de $a$, que es $a = 2.00 \text{ cm}$.

f) La masa mínima es $m(2) = \frac{4}{3}\pi [37.6 - 3.47(2^3)] = \frac{4}{3}\pi [37.6 - 3.47(8)] = \frac{4}{3}\pi [37.6 - 27.76] = \frac{4}{3}\pi [9.84] \approx 41.2 \text{ g}$.

g) Si $a = 2$, la esfera está completamente llena con el líquido. La masa sería $m = \frac{4}{3}\pi (2^3) \cdot 1.23 = \frac{4}{3}\pi (8) \cdot 1.23 \approx 41.2 \text{ g}$. Esto concuerda.

h) El valor de $a$ a la mitad entre los valores máximo y mínimo posibles es $a = \frac{0 + 2}{2} = 1 \text{ cm}$.

i) $m(1) = \frac{4}{3}\pi [37.6 - 3.47(1^3)] = \frac{4}{3}\pi [37.6 - 3.47] = \frac{4}{3}\pi [34.13] \approx 143.2 \text{ g}$.
$a = \sqrt[3]{\frac{2.00^3}{2}} \approx 1.59 \text{ cm}$.
$m(1.59) = \frac{4}{3}\pi [37.6 - 3.47(1.59^3)] \approx \frac{4}{3}\pi [37.6 - 3.47(4.019)] \approx \frac{4}{3}\pi [37.6 - 13.946] \approx \frac{4}{3}\pi [23.654] \approx 99.1 \text{ g}$.

j) Esperamos concordancia en d) y g) porque estamos calculando la masa de una esfera uniforme en esos casos.

k) Si la pared interior no fuese concéntrica, el volumen del cascarón y del líquido cambiaría, pero la masa total seguiría siendo la misma, siempre y cuando el volumen total del material del cascarón y del líquido se mantenga constante.

Respuesta

a) $m(a) = \frac{4}{3}\pi [37.6 - 3.47a^3] \text{ g}$
b) $a = 0 \text{ cm}$
c) $m_{\text{max}} \approx 157.7 \text{ g}$
d) Sí
e) $a = 2 \text{ cm}$
f) $m_{\text{min}} \approx 41.2 \text{ g}$
g) Sí
h) $a = 1 \text{ cm}$
i) No
j) Esperamos concordancia en d) y g)
k) No cambiaría

Ejercicio 48

Una barra que se extiende entre $x = 0$ y $x = 14.0 \text{ cm}$ tiene un área de sección transversal uniforme $A = 9.00 \text{ cm}^2$. Se fabrica de una aleación de metales que cambia continuamente de modo que, a lo largo de su longitud, su densidad cambia de manera uniforme de $2.70 \text{ g/cm}^3$ a $19.3 \text{ g/cm}^3$.
a) Identifique las constantes $B$ y $C$ requerido en la expresión $\rho = B + Cx$ para describir la densidad variable.
b) La masa de la barra se conoce mediante la integral $\int \rho dV = \int [B + Cx] (9.00 \text{ cm}^2) dx$. Evalúe la integración para encontrar la masa de la barra.

Solución

a) Tenemos $\rho(x) = B + Cx$. En $x = 0$, $\rho = 2.70 \text{ g/cm}^3$, y en $x = 14.0 \text{ cm}$, $\rho = 19.3 \text{ g/cm}^3$.
Entonces, $B = 2.70 \text{ g/cm}^3$.
$19.3 = 2.70 + C(14.0)$
$C = \frac{19.3 - 2.70}{14.0} = \frac{16.6}{14.0} \approx 1.186 \text{ g/cm}^4$.

b) La masa de la barra es:
$m = \int_0^{14} (B + Cx) A dx = A \int_0^{14} (B + Cx) dx = A [Bx + \frac{1}{2}Cx^2]_0^{14} = A [B(14) + \frac{1}{2}C(14^2)] = 9.00 [2.70(14) + \frac{1}{2}(1.186)(196)] = 9.00 [37.8 + 116.248] = 9.00 [154.048] \approx 1386.43 \text{ g}$.

Respuesta

a) $B = 2.70 \text{ g/cm}^3$, $C \approx 1.186 \text{ g/cm}^4$
b) $m \approx 1386.43 \text{ g}$

Ejercicio 49

El diámetro de la galaxia con forma de disco, la Vía Láctea, es de aproximadamente $1.0 \times 10^5$ años luz (a.l.). La distancia a Andrómeda, que es la galaxia espiral más cercana a la Vía Láctea, es de alrededor de 2.0 millones de a.l. Si un modelo a escala representa las galaxias Vía Láctea y Andrómeda como platos soperos de 25 cm de diámetro, determine la distancia entre los centros de los dos platos.

Solución

La escala es $\frac{25 \text{ cm}}{1.0 \times 10^5 \text{ a.l.}} = 2.5 \times 10^{-4} \text{ cm/a.l.}$
La distancia a Andrómeda es $2.0 \times 10^6 \text{ a.l.}$
La distancia en el modelo es $2.0 \times 10^6 \text{ a.l.} \times 2.5 \times 10^{-4} \text{ cm/a.l.} = 500 \text{ cm} = 5 \text{ m}$.

Respuesta

La distancia entre los centros de los dos platos es de 5 metros.

Ejercicio 50

Se sopla aire hacia dentro de un globo esférico de modo que, cuando su radio es $r = 6.50 \text{ cm}$, éste aumenta en una proporción de $0.900 \text{ cm/s}$.
a) Encuentre la rapidez a la que aumenta el volumen del globo.
b) Si dicha relación de flujo volumétrico de aire que entra al globo es constante, ¿en qué proporción aumentará el radio cuando el radio es de 13.0 cm?
c) Explique físicamente por qué la respuesta del inciso b) es mayor o menor que a).

Solución

a) El volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
La rapidez a la que aumenta el volumen es $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
Dado que $r = 6.50 \text{ cm}$ y $\frac{dr}{dt} = 0.900 \text{ cm/s}$,
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (6.50)^2 (0.900) \approx 477.84 \text{ cm}^3/\text{s}$.

b) Si $\frac{dV}{dt}$ es constante, entonces $4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = \text{constante}$.
Cuando $r = 13.0 \text{ cm}$, $\frac{dV}{dt} = 477.84 \text{ cm}^3/\text{s}$.
$477.84 = 4\pi (13.0)^2 \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{477.84}{4\pi (169)} \approx 0.225 \text{ cm/s}$.

c) La respuesta del inciso b) es menor que a) porque, a medida que el radio aumenta, la misma cantidad de aire se distribuye sobre una superficie mayor, lo que resulta en un aumento más lento del radio.

Respuesta

a) $\frac{dV}{dt} \approx 477.84 \text{ cm}^3/\text{s}$
b) $\frac{dr}{dt} \approx 0.225 \text{ cm/s}$
c) La respuesta del inciso b) es menor que a) debido a la distribución del aire sobre una superficie mayor.

Ejercicio 51

El consumo de gas natural por una compañía satisface la ecuación empírica $V = 1.50t + 0.008t^2$, donde $V$ es el volumen en millones de pies cúbicos y $t$ es el tiempo en meses. Exprese esta ecuación en unidades de pies cúbicos y segundos. Asigne las unidades adecuadas a los coeficientes. Suponga un mes de 30.0 días.

Solución

Primero, convertimos el volumen de millones de pies cúbicos a pies cúbicos:
$V \text{ (pies cúbicos)} = V \text{ (millones de pies cúbicos)} \times 10^6$.
Luego, convertimos el tiempo de meses a segundos:
$t \text{ (segundos)} = t \text{ (meses)} \times 30 \frac{\text{días}}{\text{mes}} \times 24 \frac{\text{horas}}{\text{día}} \times 60 \frac{\text{minutos}}{\text{hora}} \times 60 \frac{\text{segundos}}{\text{minuto}} = t \text{ (meses)} \times 2592000 \frac{\text{segundos}}{\text{mes}}$.
Entonces, $t \text{ (meses)} = \frac{t \text{ (segundos)}}{2592000}$.
Sustituyendo en la ecuación original:
$V \times 10^6 = 1.50 \times \frac{t}{2592000} + 0.008 \times (\frac{t}{2592000})^2$
$V = \frac{1.50}{2592000 \times 10^6}t + \frac{0.008}{(2592000)^2 \times 10^6}t^2$
$V = 5.787 \times 10^{-13}t + 1.19 \times 10^{-18}t^2$

Respuesta

$V = (5.787 \times 10^{-7} \frac{\text{pies}^3}{\text{s}})t + (1.19 \times 10^{-12} \frac{\text{pies}^3}{\text{s}^2})t^2$

Ejercicio 52

En física es importante usar aproximaciones matemáticas. Demuestre que, para ángulos pequeños ($< 20^\circ$), $\tan \alpha \approx \sin \alpha \approx \alpha = \frac{\alpha^\circ}{57.3^\circ}$, donde $\alpha$ está en radianes y $\alpha^\circ$ en grados. Use una calculadora para encontrar el ángulo más grande para el que $\tan \alpha$ pueda aproximarse a $\alpha$ con un error menor de 1.0 por ciento.

Solución

Para ángulos pequeños, $\sin \alpha \approx \alpha$ y $\tan \alpha \approx \alpha$ (en radianes).
$\alpha \text{ (radianes)} = \frac{\alpha^\circ}{57.3^\circ}$.
Para encontrar el ángulo más grande para el que $\tan \alpha$ pueda aproximarse a $\alpha$ con un error menor de 1.0 por ciento, necesitamos encontrar $\alpha$ tal que $\frac{|\tan \alpha - \alpha|}{\alpha} < 0.01$.
Probando diferentes valores de $\alpha$:
Para $\alpha = 0.1 \text{ rad} \approx 5.73^\circ$, $\frac{|\tan 0.1 - 0.1|}{0.1} \approx 0.0033 < 0.01$.
Para $\alpha = 0.2 \text{ rad} \approx 11.46^\circ$, $\frac{|\tan 0.2 - 0.2|}{0.2} \approx 0.0133 > 0.01$.
Por lo tanto, el ángulo más grande es aproximadamente $0.1 \text{ rad}$ o $5.73^\circ$.

Respuesta

El ángulo más grande para el que $\tan \alpha$ pueda aproximarse a $\alpha$ con un error menor de 1.0 por ciento es aproximadamente $5.73^\circ$.

Ejercicio 53

Un chorro de agua elevado se ubica en el centro de una fuente, como se muestra en la figura P1.53. Un estudiante camina alrededor de la fuente, evitando mojar sus pies, y mide su circunferencia en 15.0 m. A continuación, el estudiante se para en el borde de la fuente y usa un transportador para medir el ángulo de elevación de la fuente que es de $55.0^\circ$. ¿Cuál es la altura del chorro?

Solución

La circunferencia de la fuente es $C = 15.0 \text{ m}$. El radio de la fuente es $r = \frac{C}{2\pi} = \frac{15.0}{2\pi} \approx 2.387 \text{ m}$.
El ángulo de elevación es $55.0^\circ$. La altura del chorro se puede encontrar usando la tangente del ángulo:
$\tan(55.0^\circ) = \frac{h}{r}$
$h = r \tan(55.0^\circ) = 2.387 \times \tan(55.0^\circ) \approx 2.387 \times 1.428 \approx 3.41 \text{ m

¡Claro! Aquí tienes las soluciones detalladas para los ejercicios 54, 55 y 56, que son los siguientes en la imagen.

Ejercicio 54

Enunciado

Las monedas de colección a veces se recubren con oro para mejorar su belleza y valor. Considere un cuarto de dólar conmemorativo que se anuncia a la venta en $4.98. Tiene un diámetro de 24.1 mm y un grosor de 1.78 mm, y está cubierto por completo con una capa de oro puro de 0.180 $\mu$m de grueso. El volumen de oro es igual al grosor de la capa de oro multiplicado por el área que cubre. La densidad del oro es de 19.3 g/cm³. Determine la masa del oro que recubre la moneda.

Solución

Para determinar la masa del oro, necesitamos calcular el volumen de la capa de oro y luego multiplicarlo por la densidad del oro.

1. Convertir unidades a centímetros:

   • Diámetro de la moneda: $D = 24.1 \text{ mm} = 2.41 \text{ cm}$
   • Radio de la moneda: $r = D/2 = 2.41 \text{ cm} / 2 = 1.205 \text{ cm}$
   • Grosor de la moneda: $h = 1.78 \text{ mm} = 0.178 \text{ cm}$
   • Grosor de la capa de oro: $t = 0.180 \text{ µm} = 0.180 \times 10^{-4} \text{ cm}$

2. Calcular el área superficial de la moneda:
   La moneda es un cilindro. El área superficial total de un cilindro es el área de las dos bases circulares más el área lateral.

   • Área de las dos caras (bases): $2 \times \pi r^2 = 2 \times \pi \times (1.205 \text{ cm})^2 \approx 2 \times \pi \times 1.452025 \text{ cm}^2 \approx 9.123 \text{ cm}^2$
   • Área del borde (lateral): $2 \pi r h = 2 \times \pi \times (1.205 \text{ cm}) \times (0.178 \text{ cm}) \approx 1.348 \text{ cm}^2$
   • Área total de la superficie: $A_{\text{total}} = 9.123 \text{ cm}^2 + 1.348 \text{ cm}^2 = 10.471 \text{ cm}^2$

3. Calcular el volumen de oro:
   El volumen de oro es el área total de la superficie multiplicada por el grosor de la capa de oro.
   $V_{\text{oro}} = A_{\text{total}} \times t = 10.471 \text{ cm}^2 \times (0.180 \times 10^{-4} \text{ cm}) \approx 1.88478 \times 10^{-4} \text{ cm}^3$

4. Calcular la masa del oro:
   La masa es el volumen multiplicado por la densidad.
   $m_{\text{oro}} = V_{\text{oro}} \times \rho_{\text{oro}} = (1.88478 \times 10^{-4} \text{ cm}^3) \times (19.3 \text{ g/cm}^3) \approx 0.003636 \text{ g}$

Respuesta

La masa del oro que recubre la moneda es aproximadamente $0.00364 \text{ g}$.

Ejercicio 55

Enunciado

En la siguiente tabla la información representa observaciones de las masas y dimensiones de cilindros sólidos de aluminio, cobre, latón, estaño y hierro. Use tales datos para calcular las densidades de dichas sustancias. Establezca como sus resultados para aluminio, cobre y hierro se comparan con los conocidos en la tabla 14.1.

Solución

Para cada sustancia, calcularemos su densidad utilizando la fórmula $\rho = \frac{m}{V}$, donde $V = \pi r^2 L = \pi (\frac{D}{2})^2 L$.

1. Aluminio:

   • Masa ($m$): $51.5 \text{ g}$
   • Diámetro ($D$): $2.52 \text{ cm} \implies r = 1.26 \text{ cm}$
   • Longitud ($L$): $5.75 \text{ cm}$
   • Volumen ($V$): $\pi (1.26 \text{ cm})^2 (5.75 \text{ cm}) \approx \pi (1.5876 \text{ cm}^2) (5.75 \text{ cm}) \approx 28.67 \text{ cm}^3$
   • Densidad ($\rho$): $\frac{51.5 \text{ g}}{28.67 \text{ cm}^3} \approx 1.796 \text{ g/cm}^3$

2. Cobre:

   • Masa ($m$): $56.3 \text{ g}$
   • Diámetro ($D$): $1.23 \text{ cm} \implies r = 0.615 \text{ cm}$
   • Longitud ($L$): $5.06 \text{ cm}$
   • Volumen ($V$): $\pi (0.615 \text{ cm})^2 (5.06 \text{ cm}) \approx \pi (0.378225 \text{ cm}^2) (5.06 \text{ cm}) \approx 6.01 \text{ cm}^3$
   • Densidad ($\rho$): $\frac{56.3 \text{ g}}{6.01 \text{ cm}^3} \approx 9.368 \text{ g/cm}^3$

3. Latón:

   • Masa ($m$): $94.4 \text{ g}$
   • Diámetro ($D$): $1.54 \text{ cm} \implies r = 0.77 \text{ cm}$
   • Longitud ($L$): $5.69 \text{ cm}$
   • Volumen ($V$): $\pi (0.77 \text{ cm})^2 (5.69 \text{ cm}) \approx \pi (0.5929 \text{ cm}^2) (5.69 \text{ cm}) \approx 10.59 \text{ cm}^3$
   • Densidad ($\rho$): $\frac{94.4 \text{ g}}{10.59 \text{ cm}^3} \approx 8.914 \text{ g/cm}^3$

4. Estaño:

   • Masa ($m$): $65.1 \text{ g}$
   • Diámetro ($D$): $1.75 \text{ cm} \implies r = 0.875 \text{ cm}$
   • Longitud ($L$): $3.74 \text{ cm}$
   • Volumen ($V$): $\pi (0.875 \text{ cm})^2 (3.74 \text{ cm}) \approx \pi (0.765625 \text{ cm}^2) (3.74 \text{ cm}) \approx 8.99 \text{ cm}^3$
   • Densidad ($\rho$): $\frac{65.1 \text{ g}}{8.99 \text{ cm}^3} \approx 7.241 \text{ g/cm}^3$

5. Hierro:

   • Masa ($m$): $216.1 \text{ g}$
   • Diámetro ($D$): $1.89 \text{ cm} \implies r = 0.945 \text{ cm}$
   • Longitud ($L$): $9.77 \text{ cm}$
   • Volumen ($V$): $\pi (0.945 \text{ cm})^2 (9.77 \text{ cm}) \approx \pi (0.893025 \text{ cm}^2) (9.77 \text{ cm}) \approx 27.44 \text{ cm}^3$
   • Densidad ($\rho$): $\frac{216.1 \text{ g}}{27.44 \text{ cm}^3} \approx 7.875 \text{ g/cm}^3$

Comparación con valores conocidos (Tabla 14.1 - valores típicos):
* Aluminio: Densidad calculada $\approx 1.796 \text{ g/cm}^3$. El valor conocido para el aluminio es aproximadamente $2.70 \text{ g/cm}^3$. Hay una diferencia significativa, lo que podría indicar un error en la medición o que el "aluminio" es una aleación ligera.
* Cobre: Densidad calculada $\approx 9.368 \text{ g/cm}^3$. El valor conocido para el cobre es aproximadamente $8.96 \text{ g/cm}^3$. Este valor está relativamente cerca del valor conocido.
* Hierro: Densidad calculada $\approx 7.875 \text{ g/cm}^3$. El valor conocido para el hierro es aproximadamente $7.87 \text{ g/cm}^3$. Este valor está muy cerca del valor conocido.

Respuesta

Las densidades calculadas son:
* Aluminio: $1.80 \text{ g/cm}^3$ (redondeado a 3 cifras significativas)
* Cobre: $9.37 \text{ g/cm}^3$
* Latón: $8.91 \text{ g/cm}^3$
* Estaño: $7.24 \text{ g/cm}^3$
* Hierro: $7.88 \text{ g/cm}^3$

Comparación:
* La densidad calculada para el aluminio ($1.80 \text{ g/cm}^3$) es considerablemente menor que el valor conocido ($2.70 \text{ g/cm}^3$).
* La densidad calculada para el cobre ($9.37 \text{ g/cm}^3$) es ligeramente mayor que el valor conocido ($8.96 \text{ g/cm}^3$).
* La densidad calculada para el hierro ($7.88 \text{ g/cm}^3$) es muy cercana al valor conocido ($7.87 \text{ g/cm}^3$).

Ejercicio 56

Enunciado

Suponga que hay 100 millones de automóviles de pasajeros en Estados Unidos y que el consumo promedio de combustible es de 20 mi/gal de gasolina. Si la distancia promedio que recorre cada automóvil es de 10 000 mi/año, ¿cuánta gasolina se ahorraría al año si el consumo promedio de combustible pudiera aumentarse a 25 mi/gal?

Solución

1. Consumo actual de gasolina por automóvil al año:

   • Distancia recorrida por automóvil: $10,000 \text{ mi/año}$
   • Consumo actual: $20 \text{ mi/gal}$
   • Gasolina consumida por automóvil al año: $\frac{10,000 \text{ mi/año}}{20 \text{ mi/gal}} = 500 \text{ gal/año}$

2. Consumo total actual de gasolina en Estados Unidos al año:

   • Número de automóviles: $100 \text{ millones} = 100 \times 10^6$
   • Consumo total actual: $500 \text{ gal/año/automóvil} \times 100 \times 10^6 \text{ automóviles} = 50 \times 10^9 \text{ gal/año}$

3. Consumo de gasolina por automóvil al año si se mejora la eficiencia:

   • Distancia recorrida por automóvil: $10,000 \text{ mi/año}$
   • Consumo mejorado: $25 \text{ mi/gal}$
   • Gasolina consumida por automóvil al año (mejorado): $\frac{10,000 \text{ mi/año}}{25 \text{ mi/gal}} = 400 \text{ gal/año}$

4. Consumo total de gasolina en Estados Unidos al año si se mejora la eficiencia:

   • Consumo total mejorado: $400 \text{ gal/año/automóvil} \times 100 \times 10^6 \text{ automóviles} = 40 \times 10^9 \text{ gal/año}$

5. Ahorro total de gasolina al año:

   • Ahorro = Consumo total actual - Consumo total mejorado
   • Ahorro = $50 \times 10^9 \text{ gal/año} - 40 \times 10^9 \text{ gal/año} = 10 \times 10^9 \text{ gal/año}$

Respuesta

Se ahorrarían $10 \times 10^9$ galones de gasolina al año.

¡Claro! Continuemos resolviendo los siguientes ejercicios en la imagen.

Ejercicio 57

Enunciado

Una criatura se mueve con una rapidez de 5.00 furlongs por dos semanas (una unidad de rapidez no muy común). Dado que 1 furlong = 220 yardas, y 2 semanas = 14 días, determine la rapidez de la criatura en metros por segundo. Explique qué tipo de criatura cree que podría ser.

Solución

1. Convertir furlongs a yardas:

   • Rapidez = 5.00 furlongs / 2 semanas
   • 1 furlong = 220 yardas
   • Rapidez = 5.00 furlongs / 2 semanas * 220 yardas / 1 furlong = 1100 yardas / 2 semanas

2. Convertir yardas a metros:

   • 1 yarda = 0.9144 metros
   • Rapidez = 1100 yardas / 2 semanas * 0.9144 metros / 1 yarda = 1005.84 metros / 2 semanas

3. Convertir semanas a segundos:

   • 2 semanas = 14 días
   • 1 día = 24 horas
   • 1 hora = 60 minutos
   • 1 minuto = 60 segundos
   • 2 semanas = 14 días * 24 horas/día * 60 minutos/hora * 60 segundos/minuto = 1209600 segundos

4. Calcular la rapidez en metros por segundo:

   • Rapidez = 1005.84 metros / 1209600 segundos = 0.0008315 metros/segundo

Respuesta

La rapidez de la criatura es aproximadamente 0.0008315 metros por segundo. Esta criatura podría ser un caracol o una tortuga, ya que se mueven muy lentamente.

Ejercicio 58

Enunciado

Un niño adora verter vino llena una botella de plástico transparente con champú. Las secciones transversales horizontales de la botella son círculos con diámetros variables porque la botella es mucho más ancha en algunos lugares que en otros. Usted vierte champú verde brillante con una relación de flujo volumétrico constante de 16.5 cm³/s. ¿En qué cantidad el nivel de la botella se eleva a) a un punto donde el diámetro de la botella es de 6.30 cm y b) a un punto donde el diámetro es de 1.50 cm?

Solución

El flujo volumétrico $Q$ se relaciona con el área de la sección transversal $A$ y la velocidad del fluido $v$ mediante la ecuación $Q = Av$. En este caso, el área de la sección transversal es un círculo, por lo que $A = \pi r^2 = \pi (\frac{D}{2})^2$, donde $D$ es el diámetro. La velocidad a la que se eleva el nivel del champú es $v = \frac{Q}{A}$.

a) Diámetro = 6.30 cm:
* Radio $r = \frac{6.30 \text{ cm}}{2} = 3.15 \text{ cm}$
* Área $A = \pi (3.15 \text{ cm})^2 \approx 31.17 \text{ cm}^2$
* Velocidad $v = \frac{16.5 \text{ cm}^3/\text{s}}{31.17 \text{ cm}^2} \approx 0.529 \text{ cm/s}$

b) Diámetro = 1.50 cm:
* Radio $r = \frac{1.50 \text{ cm}}{2} = 0.75 \text{ cm}$
* Área $A = \pi (0.75 \text{ cm})^2 \approx 1.77 \text{ cm}^2$
* Velocidad $v = \frac{16.5 \text{ cm}^3/\text{s}}{1.77 \text{ cm}^2} \approx 9.32 \text{ cm/s}$

Respuesta

a) El nivel se eleva a aproximadamente 0.529 cm/s cuando el diámetro es de 6.30 cm.
b) El nivel se eleva a aproximadamente 9.32 cm/s cuando el diámetro es de 1.50 cm.