¡Claro! Continuemos con la resolución de los ejercicios.
Задание 15
El límite a calcular es:
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x) - \sin x}{1 - \cos^2 x}$
Primero, simplificamos el denominador usando la identidad trigonométrica $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$:
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x) - \sin x}{\sin^2 x}$
Este límite es indeterminado de la forma $\frac{0}{0}$. Podemos usar la regla de L'Hôpital. Derivamos el numerador y el denominador con respecto a $x$:
$\frac{d}{dx}(\ln(1-x) - \sin x) = \frac{-1}{1-x} - \cos x$
$\frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2\sin x \cos x$
Entonces, el límite se convierte en:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-1}{1-x} - \cos x}{2\sin x \cos x}$
Este límite sigue siendo indeterminado. Aplicamos la regla de L'Hôpital nuevamente:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{-1}{1-x} - \cos x\right) = \frac{-1}{(1-x)^2} - (-\sin x) = \frac{-1}{(1-x)^2} + \sin x$
$\frac{d}{dx}(2\sin x \cos x) = 2(\cos^2 x - \sin^2 x) = 2\cos(2x)$
Entonces, el límite se convierte en:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-1}{(1-x)^2} + \sin x}{2\cos(2x)}$
Sustituimos $x = 0$:
$\frac{\frac{-1}{(1-0)^2} + \sin 0}{2\cos(2 \cdot 0)} = \frac{-1 + 0}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$
Por lo tanto, el límite es -1/2. Sin embargo, esta opción no está disponible. Revisemos el desarrollo.
Otra forma de resolverlo es usando series de Taylor:
$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...$
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$
$\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{3!} + ...)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + ...$
$\lim_{x \to 0} \frac{-x - \frac{x^2}{2} - x + \frac{x^3}{6}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x - \frac{x^2}{2}}{x^2}$
Este límite tiende a infinito.
Respuesta: b) infinito
Задание 16
¿Qué describe el modelo del Big Bang?
El modelo del Big Bang describe:
b) La expansión del universo desde un estado inicial denso y caliente.
Respuesta: b)
Задание 17
La inflación cósmica se refiere a:
a) Un periodo de expansión acelerada en los primeros momentos del universo.
Respuesta: a)
