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Задание 1

El problema pide hallar la longitud del lado recto (LR) de la hipérbola dada por la ecuación:

$\frac{x^2}{16} - \frac{(y+2)^2}{9} = 1$

El lado recto de una hipérbola se calcula con la fórmula:

$LR = \frac{2b^2}{a}$

Donde:
* $a^2$ es el denominador del término positivo (en este caso, $x^2$).
* $b^2$ es el denominador del término negativo (en este caso, $(y+2)^2$).

De la ecuación dada, podemos identificar que:
* $a^2 = 16$, por lo tanto, $a = \sqrt{16} = 4$
* $b^2 = 9$

Sustituyendo estos valores en la fórmula del lado recto:

$LR = \frac{2 \cdot 9}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$

Por lo tanto, el lado recto de la hipérbola es 4.5.

Respuesta: D) 4.5

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Задание 2

El problema pide determinar la ecuación de la hipérbola a partir de su gráfica.

Para determinar la ecuación de la hipérbola, necesitamos identificar los siguientes elementos de la gráfica:

1. Centro (C): El centro de la hipérbola es el punto medio entre los vértices. En la gráfica, el centro parece estar en el punto $(3, 1)$.

2. Vértices (V1, V2): Los vértices son los puntos donde la hipérbola cruza su eje principal. En la gráfica, los vértices parecen estar en $V_1(-4, 1)$ y $V_2(10, 1)$.

3. Distancia del centro a un vértice (a): Esta distancia es la longitud del semieje mayor. La distancia entre el centro $(3, 1)$ y el vértice $V_1(-4, 1)$ es $a = |3 - (-4)| = 7$. Por lo tanto, $a^2 = 49$.

4. Distancia del centro a un foco (c): Los focos son los puntos $F_1$ y $F_2$. En la gráfica, los focos parecen estar en $F_1(-7, 1)$ y $F_2(13, 1)$. La distancia entre el centro $(3, 1)$ y el foco $F_1(-7, 1)$ es $c = |3 - (-7)| = 10$. Por lo tanto, $c^2 = 100$.

5. Distancia b: Usamos la relación $c^2 = a^2 + b^2$ para encontrar $b^2$.
   $b^2 = c^2 - a^2 = 100 - 49 = 51$.

Como los vértices están en una línea horizontal, la ecuación de la hipérbola tiene la forma:

$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Donde $(h, k)$ son las coordenadas del centro. En este caso, $(h, k) = (3, 1)$.

Sustituyendo los valores de $a^2$ y $b^2$, obtenemos la ecuación de la hipérbola:

$\frac{(x-3)^2}{49} - \frac{(y-1)^2}{51} = 1$

Respuesta: La ecuación de la hipérbola es $\frac{(x-3)^2}{49} - \frac{(y-1)^2}{51} = 1$.

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Задание 3

Dada la ecuación de una hipérbola:

$\frac{(x+1)^2}{25} - \frac{(y-2)^2}{11} = 1$

Vamos a determinar si las siguientes afirmaciones son "VERDADERO" o "FALSO":

a) La coordenada del centro de la hipérbola es (1; -2).

En la ecuación general de una hipérbola $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$, el centro está en el punto $(h, k)$. En nuestra ecuación, tenemos $(x+1)$ y $(y-2)$, lo que significa que $h = -1$ y $k = 2$. Por lo tanto, el centro de la hipérbola es $(-1, 2)$.

La afirmación "La coordenada del centro de la hipérbola es (1; -2)" es FALSA.

b) La hipérbola tiene un eje focal vertical.

El eje focal es la línea que pasa por los vértices y los focos de la hipérbola. En la ecuación dada, el término con $x$ es positivo y el término con $y$ es negativo. Esto significa que el eje focal es horizontal, paralelo al eje x.

La afirmación "La hipérbola tiene un eje focal vertical" es FALSA.

Respuesta:
a) FALSO
b) FALSO

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Задание 4

El problema pide determinar la ecuación de la hipérbola a partir de su gráfica.

Para determinar la ecuación de la hipérbola, necesitamos identificar los siguientes elementos de la gráfica:

1. Centro (C): El centro de la hipérbola es el punto medio entre los vértices. En la gráfica, el centro parece estar en el punto $(1, -1)$.

2. Vértices (V1, V2): Los vértices son los puntos donde la hipérbola cruza su eje principal. En la gráfica, los vértices parecen estar en $V_1(1, -5)$ y $V_2(1, 3)$.

3. Distancia del centro a un vértice (a): Esta distancia es la longitud del semieje mayor. La distancia entre el centro $(1, -1)$ y el vértice $V_1(1, -5)$ es $a = |-1 - (-5)| = 4$. Por lo tanto, $a^2 = 16$.

4. Distancia del centro a un foco (c): Los focos son los puntos $F_1$ y $F_2$. En la gráfica, los focos parecen estar en $F_1(1, -6)$ y $F_2(1, 4)$. La distancia entre el centro $(1, -1)$ y el foco $F_1(1, -6)$ es $c = |-1 - (-6)| = 5$. Por lo tanto, $c^2 = 25$.

5. Distancia b: Usamos la relación $c^2 = a^2 + b^2$ para encontrar $b^2$.
   $b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 16 = 9$.

Como los vértices están en una línea vertical, la ecuación de la hipérbola tiene la forma:

$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$

Donde $(h, k)$ son las coordenadas del centro. En este caso, $(h, k) = (1, -1)$.

Sustituyendo los valores de $a^2$ y $b^2$, obtenemos la ecuación de la hipérbola:

$\frac{(y+1)^2}{16} - \frac{(x-1)^2}{9} = 1$

Respuesta: La ecuación de la hipérbola es $\frac{(y+1)^2}{16} - \frac{(x-1)^2}{9} = 1$.

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Задание 5

Para determinar la ecuación de la hipérbola a partir de su gráfica, necesitamos identificar los siguientes elementos:

1. Centro (C): El centro de la hipérbola es el punto medio entre los vértices. En la gráfica, el centro parece estar en el punto $(0, 0)$.

2. Vértices (V1, V2): Los vértices son los puntos donde la hipérbola cruza su eje principal. En la gráfica, los vértices parecen estar en $V_1(0, -5)$ y $V_2(0, 5)$.

3. Distancia del centro a un vértice (a): Esta distancia es la longitud del semieje mayor. La distancia entre el centro $(0, 0)$ y el vértice $V_1(0, -5)$ es $a = |0 - (-5)| = 5$. Por lo tanto, $a^2 = 25$.

4. Distancia del centro a un punto en la hipérbola: Necesitamos encontrar un punto en la hipérbola para determinar $b$. Podemos observar que cuando $y = 6$, $x$ parece ser aproximadamente $\pm \sqrt{11}$.

5. Distancia b: Usamos la ecuación de la hipérbola $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ y sustituimos los valores conocidos:
   $\frac{6^2}{25} - \frac{(\sqrt{11})^2}{b^2} = 1$
   $\frac{36}{25} - \frac{11}{b^2} = 1$
   $\frac{11}{b^2} = \frac{36}{25} - 1 = \frac{11}{25}$
   $b^2 = 25$
   Por lo tanto, $b = \sqrt{11}$.

Como los vértices están en una línea vertical, la ecuación de la hipérbola tiene la forma:

$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$

Sustituyendo los valores de $a^2$ y $b^2$, obtenemos la ecuación de la hipérbola:

$\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{11} = 1$

Respuesta: La ecuación de la hipérbola es $\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{11} = 1$.

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Задание 6

Para relacionar los componentes de la regulación emocional con sus respuestas correspondientes, vamos a analizar cada componente y la respuesta que mejor se ajusta:

1. Identificación emocional: Este componente se refiere a la capacidad de reconocer y comprender las propias emociones. La respuesta que mejor se ajusta es "Reconocer patrones emocionales propios".

2. Técnicas de relajación: Este componente se refiere a las estrategias utilizadas para reducir el estrés y la ansiedad. La respuesta que mejor se ajusta es "Practicar respiración profunda o meditación".

3. Comunicación asertiva: Este componente se refiere a la habilidad de expresar las propias ideas y necesidades de manera clara y respetuosa. La respuesta que mejor se ajusta es "Expresar ideas con claridad y respeto".

4. Autoevaluación: Este componente se refiere a la capacidad de reflexionar sobre el propio comportamiento y manejo de las emociones en diferentes situaciones. La respuesta que mejor se ajusta es "Analizar el manejo de emociones en situaciones".

Respuesta:

1. Identificación emocional: Reconocer patrones emocionales propios
2. Técnicas de relajación: Practicar respiración profunda o meditación
3. Comunicación asertiva: Expresar ideas con claridad y respeto
4. Autoevaluación: Analizar el manejo de emociones en situaciones