¡Hola! Vamos a resolver el problema paso a paso.
Задание 1
El problema dice: "Si $\tan(A) = 4$, siendo $A$ un ángulo del tercer cuadrante, calcula las demás razones trigonométricas de $A$."
Paso 1: Determinar el signo de las funciones trigonométricas en el tercer cuadrante
En el tercer cuadrante:
* El seno (sen) es negativo.
* El coseno (cos) es negativo.
* La tangente (tan) es positiva (dado en el problema).
* La cosecante (csc) es negativa.
* La secante (sec) es negativa.
* La cotangente (cot) es positiva.
Paso 2: Calcular la cotangente
La cotangente es el inverso de la tangente:
$$\cot(A) = \frac{1}{\tan(A)} = \frac{1}{4}$$
Paso 3: Calcular el seno y el coseno
Usamos la identidad trigonométrica:
$$1 + \tan^2(A) = \sec^2(A)$$
$$1 + 4^2 = \sec^2(A)$$
$$1 + 16 = \sec^2(A)$$
$$\sec^2(A) = 17$$
$$\sec(A) = \pm\sqrt{17}$$
Como estamos en el tercer cuadrante, el coseno y la secante son negativos:
$$\sec(A) = -\sqrt{17}$$
Ahora, calculamos el coseno:
$$\cos(A) = \frac{1}{\sec(A)} = \frac{1}{-\sqrt{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17}$$
Usamos la identidad trigonométrica:
$$\tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)}$$
$$4 = \frac{\sin(A)}{-\frac{\sqrt{17}}{17}}$$
$$\sin(A) = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{17}}{17}\right) = -\frac{4\sqrt{17}}{17}$$
Paso 4: Calcular la cosecante
La cosecante es el inverso del seno:
$$\csc(A) = \frac{1}{\sin(A)} = \frac{1}{-\frac{4\sqrt{17}}{17}} = -\frac{17}{4\sqrt{17}} = -\frac{17\sqrt{17}}{4 \cdot 17} = -\frac{\sqrt{17}}{4}$$
Resumen de las razones trigonométricas:
- $\sin(A) = -\frac{4\sqrt{17}}{17}$
- $\cos(A) = -\frac{\sqrt{17}}{17}$
- $\tan(A) = 4$
- $\csc(A) = -\frac{\sqrt{17}}{4}$
- $\sec(A) = -\sqrt{17}$
- $\cot(A) = \frac{1}{4}$
