¡Hola! Soy tu profesor de matemáticas. Analicemos y resolvamos el problema paso a paso.

El idioma del problema es español, por lo tanto, la respuesta será en español.

Análisis del Problema

El problema nos presenta información sobre pescadores en dos parques diferentes: Clearwater y Mountain View. Nos pide calcular la probabilidad de un evento combinado: que un pescador seleccionado al azar de Clearwater no tenga licencia Y que un pescador seleccionado al azar de Mountain View sí tenga licencia.

Dado que la selección de un pescador de cada parque es independiente, podemos calcular la probabilidad de cada evento por separado y luego multiplicarlas.

Datos del problema:

Parque de Clearwater:
* Personas con licencia: 36
* Personas sin licencia: 4
* Total de personas en Clearwater: $36 + 4 = 40$

Parque de Mountain View:
* Personas con licencia: 35
* Personas sin licencia: 15
* Total de personas en Mountain View: $35 + 15 = 50$

Evento deseado:
1. Pescador de Clearwater no tenga licencia.
2. Pescador de Mountain View sí tenga licencia.

Resolución del Problema

Paso 1: Calcular la probabilidad de que el pescador de Clearwater no tenga licencia.

La probabilidad de un evento se calcula como:
$P(\text{Evento}) = \frac{\text{Número de resultados favorables}}{\text{Número total de resultados posibles}}$

Para Clearwater:
* Número de pescadores sin licencia = 4
* Número total de pescadores en Clearwater = 40

$P(\text{Clearwater sin licencia}) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0.1$

Paso 2: Calcular la probabilidad de que el pescador de Mountain View tenga licencia.

Para Mountain View:
* Número de pescadores con licencia = 35
* Número total de pescadores en Mountain View = 50

$P(\text{Mountain View con licencia}) = \frac{35}{50}$

Para simplificar la fracción, podemos dividir el numerador y el denominador por 5:
$\frac{35 \div 5}{50 \div 5} = \frac{7}{10} = 0.7$

Paso 3: Calcular la probabilidad combinada.

Dado que los eventos son independientes (la selección en un parque no afecta la selección en el otro), la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de sus probabilidades individuales:

$P(\text{A y B}) = P(A) \times P(B)$

En este caso:
$P(\text{Clearwater sin licencia y Mountain View con licencia}) = P(\text{Clearwater sin licencia}) \times P(\text{Mountain View con licencia})$
$P(\text{Ambos eventos}) = 0.1 \times 0.7$
$P(\text{Ambos eventos}) = 0.07$

Respuesta Final

La probabilidad de que el pescador seleccionado de Clearwater no tenga licencia y el pescador seleccionado de Mountain View tenga licencia es 0.07.

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El idioma del ejercicio es español, por lo tanto, la respuesta será en español.

Задание 1

El problema nos pide calcular la probabilidad de seleccionar dos estudiantes de historia de un grupo de 22 alumnos, donde la selección se realiza sin reemplazo.

Datos proporcionados:
* Número total de alumnos: $N = 22$
* Estudiantes de contabilidad: 6
* Estudiantes de historia: 4
* Estudiantes de arte: 12

Verificamos que la suma de los estudiantes por concentración es igual al total: $6 + 4 + 12 = 22$. Esto es correcto.

El profesor selecciona dos alumnos para una demostración. El primer alumno se selecciona al azar, y el segundo alumno se selecciona al azar de entre los alumnos restantes. Esto indica que estamos tratando con eventos dependientes y sin reemplazo.

Queremos encontrar la probabilidad de que ambos estudiantes seleccionados sean de historia.

Paso 1: Probabilidad de que el primer estudiante seleccionado sea de historia.
Hay 4 estudiantes de historia de un total de 22 alumnos.
La probabilidad de que el primer estudiante sea de historia ($P(H_1)$) es:
$P(H_1) = \frac{\text{Número de estudiantes de historia}}{\text{Número total de estudiantes}} = \frac{4}{22}$

Paso 2: Probabilidad de que el segundo estudiante seleccionado sea de historia, dado que el primero fue de historia.
Después de seleccionar un estudiante de historia, quedan 3 estudiantes de historia y un total de 21 alumnos restantes.
La probabilidad de que el segundo estudiante sea de historia, dado que el primero fue de historia ($P(H_2|H_1)$), es:
$P(H_2|H_1) = \frac{\text{Número de estudiantes de historia restantes}}{\text{Número total de estudiantes restantes}} = \frac{3}{21}$

Paso 3: Probabilidad de que ambos estudiantes seleccionados sean de historia.
Para encontrar la probabilidad de que ambos eventos ocurran, multiplicamos las probabilidades individuales:
$P(H_1 \text{ y } H_2) = P(H_1) \times P(H_2|H_1)$
$P(H_1 \text{ y } H_2) = \frac{4}{22} \times \frac{3}{21}$

Paso 4: Realizar los cálculos.
$P(H_1 \text{ y } H_2) = \frac{4 \times 3}{22 \times 21} = \frac{12}{462}$

Paso 5: Simplificar la fracción (opcional, pero útil para verificar).
Podemos dividir tanto el numerador como el denominador por 6:
$\frac{12 \div 6}{462 \div 6} = \frac{2}{77}$

Paso 6: Redondear la respuesta final a tres posiciones decimales.
$\frac{2}{77} \approx 0.025974...$
Redondeando a tres posiciones decimales, obtenemos $0.026$.

Respuesta final:
La probabilidad de que sean seleccionados dos estudiantes de historia es aproximadamente 0.026.

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El idioma del ejercicio es español, por lo tanto, la respuesta será en español.

El problema nos pide calcular los valores de la función de distribución de probabilidad $p_X$ para una variable aleatoria $X$. Para ello, primero debemos identificar los posibles valores de $X$ y luego calcular sus probabilidades.

Análisis del problema:

1. Lanzamiento de una moneda: Una moneda se lanza 3 veces. Esto significa que hay $2^3 = 8$ posibles resultados.
2. Variable aleatoria N: $N$ es la variable aleatoria que cuenta el número de "cruces" (t) en cada resultado.
3. Variable aleatoria X: $X$ se define en términos de $N$ como $X = N - 4$.
4. Tabla dada: Se nos proporciona una tabla con algunos resultados y los valores correspondientes de $X$.

Paso 1: Listar todos los posibles resultados y calcular N y X para cada uno.

Los 8 posibles resultados al lanzar una moneda 3 veces son:
* HHH (Cara, Cara, Cara)
* HHT (Cara, Cara, Cruz)
* HTH (Cara, Cruz, Cara)
* THH (Cruz, Cara, Cara)
* HTT (Cara, Cruz, Cruz)
* THT (Cruz, Cara, Cruz)
* TTH (Cruz, Cruz, Cara)
* TTT (Cruz, Cruz, Cruz)

Ahora, calcularemos $N$ (número de cruces) y $X = N - 4$ para cada resultado:

La tabla proporcionada en el problema ya nos da algunos de estos valores de $X$:
* htt: $N=2 \implies X = 2-4 = -2$ (Coincide)
* ttt: $N=3 \implies X = 3-4 = -1$ (Coincide)
* thh: $N=1 \implies X = 1-4 = -3$ (Coincide)
* tht: $N=2 \implies X = 2-4 = -2$ (Coincide)
* hhh: $N=0 \implies X = 0-4 = -4$ (Coincide)
* hth: $N=1 \implies X = 1-4 = -3$ (Coincide)
* tth: $N=2 \implies X = 2-4 = -2$ (Coincide)
* hht: $N=1 \implies X = 1-4 = -3$ (Coincide)

Paso 2: Identificar los valores únicos de X.

De la tabla anterior, los valores únicos que toma $X$ son: $-4, -3, -2, -1$.

Paso 3: Calcular la probabilidad para cada valor único de X.

Dado que la moneda es "justa", cada uno de los 8 resultados posibles tiene una probabilidad de $\frac{1}{8}$.

• Para $X = -4$:
  Solo hay un resultado donde $X = -4$: HHH.
  $P(X = -4) = P(\text{HHH}) = \frac{1}{8}$

• Para $X = -3$:
  Hay tres resultados donde $X = -3$: HHT, HTH, THH.
  $P(X = -3) = P(\text{HHT}) + P(\text{HTH}) + P(\text{THH}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

• Para $X = -2$:
  Hay tres resultados donde $X = -2$: HTT, THT, TTH.
  $P(X = -2) = P(\text{HTT}) + P(\text{THT}) + P(\text{TTH}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

• Para $X = -1$:
  Solo hay un resultado donde $X = -1$: TTT.
  $P(X = -1) = P(\text{TTT}) = \frac{1}{8}$

Paso 4: Completar la tabla de la función de distribución de probabilidad.

La función de distribución de probabilidad $p_X(x)$ se define como $P(X=x)$.

Verificación: La suma de todas las probabilidades debe ser 1.
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1+3+3+1}{8} = \frac{8}{8} = 1$. Esto es correcto.

Solución

La tabla de la función de distribución de probabilidad $p_X$ es la siguiente:

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El idioma del problema es español, por lo tanto, la respuesta será en español.

Análisis del Problema 1

El primer problema nos pide calcular la probabilidad de un evento combinado: que un pescador seleccionado al azar de Clearwater no tenga licencia Y que un pescador seleccionado al azar de Mountain View sí tenga licencia.

Dado que la selección de un pescador de cada parque es independiente, podemos calcular la probabilidad de cada evento por separado y luego multiplicarlas.

Datos del problema 1:

Parque de Clearwater:
* Personas con licencia: 36
* Personas sin licencia: 4
* Total de personas en Clearwater: $36 + 4 = 40$

Parque de Mountain View:
* Personas con licencia: 35
* Personas sin licencia: 15
* Total de personas en Mountain View: $35 + 15 = 50$

Evento deseado:
1. Pescador de Clearwater no tenga licencia.
2. Pescador de Mountain View sí tenga licencia.

Resolución del Problema 1

Paso 1: Calcular la probabilidad de que el pescador de Clearwater no tenga licencia.

La probabilidad de un evento se calcula como:
$P(\text{Evento}) = \frac{\text{Número de resultados favorables}}{\text{Número total de resultados posibles}}$

Para Clearwater:
* Número de pescadores sin licencia = 4
* Número total de pescadores en Clearwater = 40

$P(\text{Clearwater sin licencia}) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0.1$

Paso 2: Calcular la probabilidad de que el pescador de Mountain View tenga licencia.

Para Mountain View:
* Número de pescadores con licencia = 35
* Número total de pescadores en Mountain View = 50

$P(\text{Mountain View con licencia}) = \frac{35}{50}$

Para simplificar la fracción, podemos dividir el numerador y el denominador por 5:
$\frac{35 \div 5}{50 \div 5} = \frac{7}{10} = 0.7$

Paso 3: Calcular la probabilidad combinada.

Dado que los eventos son independientes (la selección en un parque no afecta la selección en el otro), la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de sus probabilidades individuales:

$P(\text{A y B}) = P(A) \times P(B)$

En este caso:
$P(\text{Clearwater sin licencia y Mountain View con licencia}) = P(\text{Clearwater sin licencia}) \times P(\text{Mountain View con licencia})$
$P(\text{Ambos eventos}) = 0.1 \times 0.7$
$P(\text{Ambos eventos}) = 0.07$

Respuesta Final del Problema 1

La probabilidad de que el pescador seleccionado de Clearwater no tenga licencia y el pescador seleccionado de Mountain View tenga licencia es 0.07.

Análisis del Problema 2

El segundo problema nos presenta una tabla de distribución de probabilidad para la calificación de restaurantes (número de estrellas de 1 a 5). Nos pide calcular la probabilidad de que la calificación seleccionada al azar tenga un número de estrellas "Más de 3" y "Menos de 3".

Datos del problema 2:

La tabla de distribución de probabilidad es:

Recordemos que la suma de todas las probabilidades en una distribución de probabilidad debe ser igual a 1.
$0.21 + 0.20 + 0.11 + 0.24 + 0.24 = 1.00$ (Esto confirma que la distribución es válida).

Resolución del Problema 2

(a) Calcular la probabilidad de que la calificación seleccionada al azar tenga "Más de 3" estrellas.

"Más de 3" estrellas significa 4 o 5 estrellas.
Para encontrar esta probabilidad, sumamos las probabilidades de X=4 y X=5.

$P(X > 3) = P(X=4) + P(X=5)$
$P(X > 3) = 0.24 + 0.24$
$P(X > 3) = 0.48$

(b) Calcular la probabilidad de que la calificación seleccionada al azar tenga "Menos de 3" estrellas.

"Menos de 3" estrellas significa 1 o 2 estrellas.
Para encontrar esta probabilidad, sumamos las probabilidades de X=1 y X=2.

$P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2)$
$P(X < 3) = 0.21 + 0.20$
$P(X < 3) = 0.41$

Respuesta Final del Problema 2

(a) La probabilidad de que la calificación seleccionada al azar tenga "Más de 3" estrellas es 0.48.
(b) La probabilidad de que la calificación seleccionada al azar tenga "Menos de 3" estrellas es 0.41.

¡Hola! Soy tu profesor de matemáticas. Analicemos y resolvamos los problemas paso a paso.

El idioma del problema es español, por lo tanto, la respuesta será en español.

Análisis del Problema 1

El primer problema nos pide calcular la probabilidad de un evento combinado: que un pescador seleccionado al azar de Clearwater no tenga licencia Y que un pescador seleccionado al azar de Mountain View sí tenga licencia.

Dado que la selección de un pescador de cada parque es independiente, podemos calcular la probabilidad de cada evento por separado y luego multiplicarlas.

Datos del problema 1:

Parque de Clearwater:
* Personas con licencia: 36
* Personas sin licencia: 4
* Total de personas en Clearwater: $36 + 4 = 40$

Parque de Mountain View:
* Personas con licencia: 35
* Personas sin licencia: 15
* Total de personas en Mountain View: $35 + 15 = 50$

Evento deseado:
1. Pescador de Clearwater no tenga licencia.
2. Pescador de Mountain View sí tenga licencia.

Resolución del Problema 1

Paso 1: Calcular la probabilidad de que el pescador de Clearwater no tenga licencia.

La probabilidad de un evento se calcula como:
$P(\text{Evento}) = \frac{\text{Número de resultados favorables}}{\text{Número total de resultados posibles}}$

Para Clearwater:
* Número de pescadores sin licencia = 4
* Número total de pescadores en Clearwater = 40

$P(\text{Clearwater sin licencia}) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0.1$

Paso 2: Calcular la probabilidad de que el pescador de Mountain View tenga licencia.

Para Mountain View:
* Número de pescadores con licencia = 35
* Número total de pescadores en Mountain View = 50

$P(\text{Mountain View con licencia}) = \frac{35}{50}$

Para simplificar la fracción, podemos dividir el numerador y el denominador por 5:
$\frac{35 \div 5}{50 \div 5} = \frac{7}{10} = 0.7$

Paso 3: Calcular la probabilidad combinada.

Dado que los eventos son independientes (la selección en un parque no afecta la selección en el otro), la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de sus probabilidades individuales:

$P(\text{A y B}) = P(A) \times P(B)$

En este caso:
$P(\text{Clearwater sin licencia y Mountain View con licencia}) = P(\text{Clearwater sin licencia}) \times P(\text{Mountain View con licencia})$
$P(\text{Ambos eventos}) = 0.1 \times 0.7$
$P(\text{Ambos eventos}) = 0.07$

Respuesta Final del Problema 1

La probabilidad de que el pescador seleccionado de Clearwater no tenga licencia y el pescador seleccionado de Mountain View tenga licencia es 0.07.

Análisis del Problema 2

El segundo problema nos presenta una tabla de distribución de probabilidad para la calificación de restaurantes (número de estrellas de 1 a 5). Nos pide calcular la probabilidad de que la calificación seleccionada al azar tenga un número de estrellas "Más de 3" y "Menos de 3".

Datos del problema 2:

La tabla de distribución de probabilidad es:

Recordemos que la suma de todas las probabilidades en una distribución de probabilidad debe ser igual a 1.
$0.21 + 0.20 + 0.11 + 0.24 + 0.24 = 1.00$ (Esto confirma que la distribución es válida).

Resolución del Problema 2

(a) Calcular la probabilidad de que la calificación seleccionada al azar tenga "Más de 3" estrellas.

"Más de 3" estrellas significa 4 o 5 estrellas.
Para encontrar esta probabilidad, sumamos las probabilidades de X=4 y X=5.

$P(X > 3) = P(X=4) + P(X=5)$
$P(X > 3) = 0.24 + 0.24$
$P(X > 3) = 0.48$

(b) Calcular la probabilidad de que la calificación seleccionada al azar tenga "Menos de 3" estrellas.

"Menos de 3" estrellas significa 1 o 2 estrellas.
Para encontrar esta probabilidad, sumamos las probabilidades de X=1 y X=2.

$P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2)$
$P(X < 3) = 0.21 + 0.20$
$P(X < 3) = 0.41$

Respuesta Final del Problema 2

(a) La probabilidad de que la calificación seleccionada al azar tenga "Más de 3" estrellas es 0.48.
(b) La probabilidad de que la calificación seleccionada al azar tenga "Menos de 3" estrellas es 0.41.

Análisis del Problema 3

El tercer problema trata sobre el lanzamiento de un dado de 6 caras. Nos pide identificar los resultados de varios sucesos, calcular sus probabilidades y luego aplicar la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos.

Datos del problema 3:

• Se lanza un dado de 6 lados.
• Los 6 posibles resultados son: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Cada resultado tiene la misma probabilidad (dado justo).
• La probabilidad de cada resultado es $\frac{1}{6}$.

Sucesos definidos:
* Suceso A: Cae un número impar.
* Suceso B: Cae un número menor que 3.
* Suceso A o B: Cae un número impar O cae un número menor que 3.
* Suceso A y B: Cae un número impar Y cae un número menor que 3.

Resolución del Problema 3

(a) Marcar los resultados de cada suceso y calcular su probabilidad.

Suceso A: Cae un número impar
* Resultados: {1, 3, 5}
* Número de resultados favorables = 3
* Probabilidad: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Suceso B: Cae un número menor que 3
* Resultados: {1, 2}
* Número de resultados favorables = 2
* Probabilidad: $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Suceso A o B: Cae un número impar O cae un número menor que 3
Este suceso incluye todos los resultados que están en A, en B, o en ambos.
* Resultados de A: {1, 3, 5}
* Resultados de B: {1, 2}
* Resultados de A o B (unión): {1, 2, 3, 5}
* Número de resultados favorables = 4
* Probabilidad: $P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Suceso A y B: Cae un número impar Y cae un número menor que 3
Este suceso incluye solo los resultados que están tanto en A como en B (intersección).
* Resultados de A: {1, 3, 5}
* Resultados de B: {1, 2}
* Resultados de A y B (intersección): {1}
* Número de resultados favorables = 1
* Probabilidad: $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

(b) Calcular lo siguiente: $P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Usando las probabilidades calculadas en la parte (a):
$P(A) = \frac{1}{2}$
$P(B) = \frac{1}{3}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

Sustituimos estos valores en la expresión:
$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}$

Para sumar y restar fracciones, necesitamos un denominador común. El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 6 es 6.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$

Ahora, sustituimos las fracciones equivalentes:
$\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 - 1}{6} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6}$

Simplificamos la fracción:
$\frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$

El valor de $P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ es $\frac{2}{3}$.

(c) Seleccionar la respuesta que hace que la ecuación sea verdadera.

La ecuación es: $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \text{Seleccione}$

De la parte (b), sabemos que $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3}$.
De la parte (a), sabemos que $P(A \cup B) = \frac{2}{3}$.

Por lo tanto, la ecuación verdadera es:
$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A \cup B)$

Esta es la Regla General de la Adición para Probabilidades, que establece que la probabilidad de la unión de dos eventos es la suma de sus probabilidades individuales menos la probabilidad de su intersección.

Respuesta Final del Problema 3

(a)

(b)

$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3}$

(c)

$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A \cup B)$

¡Hola! Soy tu profesor de matemáticas. Analicemos y resolvamos este problema paso a paso.

El problema nos pide calcular los valores de la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$, es decir, la función $p_X$. Para ello, primero debemos identificar los valores únicos que toma $X$ y luego calcular la probabilidad de cada uno de esos valores.

Análisis del problema:

1. Experimento: Se lanza un dado justo 3 veces.
2. Resultados: Cada lanzamiento puede ser par (e) o impar (o). Un resultado se representa como una cadena de 3 caracteres (ej. oee).
3. Variable aleatoria $N$: Cuenta el número de lanzamientos pares en cada resultado. Por ejemplo, para eee, $N=3$.
4. Variable aleatoria $X$: Se define en términos de $N$ como $X = N^2 - 3N - 2$.
5. Tabla dada: Nos proporciona algunos resultados y los valores correspondientes de $X$.

Paso 1: Determinar todos los posibles resultados y los valores de $N$ y $X$.

Dado que se lanza un dado 3 veces y cada lanzamiento puede ser par (e) o impar (o), hay $2^3 = 8$ posibles resultados en el espacio muestral. Asumimos que el dado es justo, por lo que la probabilidad de obtener un número par es $1/2$ y la probabilidad de obtener un número impar es $1/2$. Cada resultado individual (ej. ooe) tiene una probabilidad de $(1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/8$.

Vamos a listar todos los resultados posibles, el número de pares ($N$) y el valor de $X = N^2 - 3N - 2$:

Paso 2: Identificar los valores únicos que toma la variable aleatoria $X$.

Observando la tabla anterior, los valores únicos que toma $X$ son -4 y -2.

Paso 3: Calcular la probabilidad para cada valor único de $X$.

La probabilidad de que $X$ tome un cierto valor $x$ es la suma de las probabilidades de todos los resultados elementales para los cuales $X$ es igual a $x$. Como cada resultado elemental tiene una probabilidad de $1/8$:

• Para $X = -4$:
  Los resultados que dan $X = -4$ son: ooe, oeo, eoo, oee, eoe, eeo.
  Hay 6 de estos resultados.
  $P(X = -4) = \text{Número de resultados con } X=-4 \times \text{Probabilidad de cada resultado}$
  $P(X = -4) = 6 \times \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

• Para $X = -2$:
  Los resultados que dan $X = -2$ son: ooo, eee.
  Hay 2 de estos resultados.
  $P(X = -2) = \text{Número de resultados con } X=-2 \times \text{Probabilidad de cada resultado}$
  $P(X = -2) = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Paso 4: Completar la tabla de la función de distribución de probabilidad.

La tabla de la función de distribución de probabilidad $p_X$ se construye con los valores únicos de $X$ en la primera fila y sus probabilidades correspondientes en la segunda fila.

Solución

La tabla de la función de distribución de probabilidad $p_X$ es la siguiente:

¡Hola! Soy tu profesor de matemáticas. Analicemos y resolvamos este problema paso a paso.

El problema nos pide calcular los valores de la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$, es decir, la función $p_X$. Para ello, primero debemos identificar los valores únicos que toma $X$ y luego calcular la probabilidad de cada uno de esos valores.

Análisis del problema:

1. Experimento: Se lanza un dado justo 3 veces.
2. Resultados: Cada lanzamiento puede ser par (e) o impar (o). Un resultado se representa como una cadena de 3 caracteres (ej. oee).
3. Variable aleatoria $N$: Cuenta el número de lanzamientos pares en cada resultado. Por ejemplo, para eee, $N=3$.
4. Variable aleatoria $X$: Se define en términos de $N$ como $X = N^2 - 3N - 2$.
5. Tabla dada: Nos proporciona algunos resultados y los valores correspondientes de $X$.

Paso 1: Determinar todos los posibles resultados y los valores de $N$ y $X$.

Dado que se lanza un dado 3 veces y cada lanzamiento puede ser par (e) o impar (o), hay $2^3 = 8$ posibles resultados en el espacio muestral. Asumimos que el dado es justo, por lo que la probabilidad de obtener un número par es $1/2$ y la probabilidad de obtener un número impar es $1/2$. Cada resultado individual (ej. ooe) tiene una probabilidad de $(1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/8$.

Vamos a listar todos los resultados posibles, el número de pares ($N$) y el valor de $X = N^2 - 3N - 2$:

Paso 2: Identificar los valores únicos que toma la variable aleatoria $X$.

Observando la tabla anterior, los valores únicos que toma $X$ son -4 y -2.

Paso 3: Calcular la probabilidad para cada valor único de $X$.

La probabilidad de que $X$ tome un cierto valor $x$ es la suma de las probabilidades de todos los resultados elementales para los cuales $X$ es igual a $x$. Como cada resultado elemental tiene una probabilidad de $1/8$:

• Para $X = -4$:
  Los resultados que dan $X = -4$ son: ooe, oeo, eoo, oee, eoe, eeo.
  Hay 6 de estos resultados.
  $P(X = -4) = \text{Número de resultados con } X=-4 \times \text{Probabilidad de cada resultado}$
  $P(X = -4) = 6 \times \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

• Para $X = -2$:
  Los resultados que dan $X = -2$ son: ooo, eee.
  Hay 2 de estos resultados.
  $P(X = -2) = \text{Número de resultados con } X=-2 \times \text{Probabilidad de cada resultado}$
  $P(X = -2) = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Paso 4: Completar la tabla de la función de distribución de probabilidad.

La tabla de la función de distribución de probabilidad $p_X$ se construye con los valores únicos de $X$ en la primera fila y sus probabilidades correspondientes en la segunda fila.

Solución

La tabla de la función de distribución de probabilidad $p_X$ es la siguiente:

El usuario ha solicitado la elaboración de un cuadro sinóptico extenso que contenga los 17 temas presentes en el documento. Sin embargo, no se ha proporcionado ningún documento ni imagen con los temas.

Para poder cumplir con la solicitud, necesito que me proporciones el documento o la lista de los 17 temas.

Una vez que tenga la información, procederé a crear el cuadro sinóptico siguiendo las siguientes pautas:

1. Identificación de los temas principales y subtemas: Analizaré la estructura del documento para determinar la jerarquía de los temas.
2. Organización lógica: Agruparé los temas relacionados y los presentaré de manera coherente.
3. Uso de llaves y sangrías: Utilizaré la estructura clásica de un cuadro sinóptico para mostrar las relaciones entre los temas.
4. Brevedad y claridad: Resumiré la información de cada tema en frases concisas para facilitar la comprensión.

Por favor, proporciona los 17 temas para que pueda comenzar a elaborar el cuadro sinóptico.