¡Hola! Soy tu profesor de matemáticas. Analizaré las tareas y te daré respuestas estructuradas.

El idioma de la tarea es español, así que responderé en español.

Aquí están las soluciones detalladas para cada uno de los problemas presentados:

Задание 1

Problema: Calcula el valor de $x$ ($0^\circ < x < 90^\circ$) si $\csc(3x) \cdot \sin(39^\circ) = 1$.

Análisis:
La ecuación involucra funciones trigonométricas recíprocas. Sabemos que la cosecante ($\csc$) es la recíproca del seno ($\sin$), es decir, $\csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)}$.
Si $\csc(\alpha) \cdot \sin(\beta) = 1$, y sabemos que $\csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)}$, entonces la ecuación se convierte en $\frac{1}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\beta) = 1$.
Esto implica que $\frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} = 1$, lo que a su vez significa que $\sin(\beta) = \sin(\alpha)$.
Para ángulos agudos (entre $0^\circ$ y $90^\circ$), si $\sin(\beta) = \sin(\alpha)$, entonces $\alpha = \beta$.

Solución:
1. Dada la ecuación: $\csc(3x) \cdot \sin(39^\circ) = 1$.
2. Usamos la identidad recíproca: $\csc(3x) = \frac{1}{\sin(3x)}$.
3. Sustituimos en la ecuación original: $\frac{1}{\sin(3x)} \cdot \sin(39^\circ) = 1$.
4. Multiplicamos ambos lados por $\sin(3x)$: $\sin(39^\circ) = \sin(3x)$.
5. Dado que $x$ es un ángulo agudo ($0^\circ < x < 90^\circ$), entonces $3x$ también debe ser un ángulo agudo (o al menos estar en el rango donde el seno es inyectivo, que es $0^\circ < 3x < 270^\circ$). Sin embargo, para que la relación de recíprocas sea directa y los ángulos sean iguales, ambos ángulos deben ser agudos.
Si $\sin(A) = \sin(B)$ y ambos $A, B$ son ángulos agudos, entonces $A = B$.
6. Por lo tanto, igualamos los ángulos: $3x = 39^\circ$.
7. Despejamos $x$: $x = \frac{39^\circ}{3}$.
8. Calculamos el valor de $x$: $x = 13^\circ$.

Verificación:
Si $x = 13^\circ$, entonces $3x = 39^\circ$.
$\csc(39^\circ) \cdot \sin(39^\circ) = 1$. Esto es correcto, ya que $\csc(\alpha) \cdot \sin(\alpha) = 1$.
El valor de $x = 13^\circ$ está dentro del rango $0^\circ < x < 90^\circ$.

Respuesta Final:
El valor de $x$ es $13^\circ$.
La opción correcta es d. 13.

Задание 2

Problema: Halla el valor del ángulo agudo $x$ si $\tan(x + 30^\circ) \cdot \cot(2x + 15^\circ) = 1$.

Análisis:
Similar al problema anterior, este problema involucra funciones trigonométricas recíprocas. Sabemos que la cotangente ($\cot$) es la recíproca de la tangente ($\tan$), es decir, $\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$.
Si $\tan(A) \cdot \cot(B) = 1$, y sabemos que $\cot(B) = \frac{1}{\tan(B)}$, entonces la ecuación se convierte en $\tan(A) \cdot \frac{1}{\tan(B)} = 1$.
Esto implica que $\frac{\tan(A)}{\tan(B)} = 1$, lo que a su vez significa que $\tan(A) = \tan(B)$.
Para ángulos agudos, si $\tan(A) = \tan(B)$, entonces $A = B$.

Solución:
1. Dada la ecuación: $\tan(x + 30^\circ) \cdot \cot(2x + 15^\circ) = 1$.
2. Usamos la identidad recíproca: $\cot(2x + 15^\circ) = \frac{1}{\tan(2x + 15^\circ)}$.
3. Sustituimos en la ecuación original: $\tan(x + 30^\circ) \cdot \frac{1}{\tan(2x + 15^\circ)} = 1$.
4. Multiplicamos ambos lados por $\tan(2x + 15^\circ)$: $\tan(x + 30^\circ) = \tan(2x + 15^\circ)$.
5. Dado que $x$ es un ángulo agudo, los ángulos $(x + 30^\circ)$ y $(2x + 15^\circ)$ también deben ser agudos o estar en el rango donde la tangente es inyectiva. Para que la igualdad de tangentes implique la igualdad de ángulos directamente, asumimos que ambos ángulos son agudos.
Si $\tan(A) = \tan(B)$ y ambos $A, B$ son ángulos agudos, entonces $A = B$.
6. Por lo tanto, igualamos los ángulos: $x + 30^\circ = 2x + 15^\circ$.
7. Resolvemos para $x$:
Restamos $x$ de ambos lados: $30^\circ = x + 15^\circ$.
Restamos $15^\circ$ de ambos lados: $30^\circ - 15^\circ = x$.
$x = 15^\circ$.

Verificación:
Si $x = 15^\circ$:
Ángulo 1: $x + 30^\circ = 15^\circ + 30^\circ = 45^\circ$.
Ángulo 2: $2x + 15^\circ = 2(15^\circ) + 15^\circ = 30^\circ + 15^\circ = 45^\circ$.
La ecuación se convierte en $\tan(45^\circ) \cdot \cot(45^\circ) = 1$.
Sabemos que $\tan(45^\circ) = 1$ y $\cot(45^\circ) = 1$.
Entonces, $1 \cdot 1 = 1$, lo cual es correcto.
El valor de $x = 15^\circ$ es un ángulo agudo.

Respuesta Final:
El valor de $x$ es $15^\circ$.
La opción correcta es c. 15.

Задание 3

Problema: Si $x$ es un ángulo agudo, efectúa la operación: $C = \frac{1 + \cos x \cdot \sec x}{2 - \tan x \cdot \cot x}$.

Análisis:
Este problema requiere simplificar una expresión trigonométrica utilizando identidades fundamentales.
Recordemos las identidades recíprocas:
* $\sec x = \frac{1}{\cos x}$
* $\cot x = \frac{1}{\tan x}$

Solución:
1. Analizamos el numerador: $1 + \cos x \cdot \sec x$.
Sustituimos $\sec x = \frac{1}{\cos x}$:
$1 + \cos x \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 + 1 = 2$.
(Nota: Esto es válido siempre que $\cos x \neq 0$, lo cual es cierto para un ángulo agudo $x$ ya que $0^\circ < x < 90^\circ$).

2. Analizamos el denominador: $2 - \tan x \cdot \cot x$.
   Sustituimos $\cot x = \frac{1}{\tan x}$:
   $2 - \tan x \cdot \frac{1}{\tan x} = 2 - 1 = 1$.
   (Nota: Esto es válido siempre que $\tan x \neq 0$, lo cual es cierto para un ángulo agudo $x$ ya que $0^\circ < x < 90^\circ$).

3. Sustituimos los valores simplificados en la expresión original para $C$:
   $C = \frac{\text{Numerador}}{\text{Denominador}} = \frac{2}{1}$.

4. Calculamos el valor de $C$:
   $C = 2$.

Respuesta Final:
El valor de la operación es $2$.
La opción correcta es c. 2.

¡Claro! Entiendo. Haré mi mejor esfuerzo para que las explicaciones sean claras, concisas y parezcan escritas por una persona.

Analicemos las tareas que me has proporcionado. Veo una imagen con varios ejercicios de matemáticas. Procederé a resolverlos uno por uno, siguiendo tus indicaciones.

Ejercicio 1: Simplificación de expresiones algebraicas

El primer ejercicio es:
$$(x^2 - 3x + 2) - (x^2 - 5x - 6)$$

Para simplificar esta expresión, debemos eliminar los paréntesis y combinar los términos semejantes.

1. Eliminar paréntesis: Cuando hay un signo menos delante de un paréntesis, cambiamos el signo de cada término dentro de ese paréntesis.
   $$x^2 - 3x + 2 - x^2 + 5x + 6$$

2. Agrupar términos semejantes: Identificamos los términos que tienen la misma variable elevada a la misma potencia.

   • Términos con $x^2$: $x^2 - x^2$
   • Términos con $x$: $-3x + 5x$
   • Términos constantes: $2 + 6$

3. Combinar términos semejantes:

   • $x^2 - x^2 = 0$
   • $-3x + 5x = 2x$
   • $2 + 6 = 8$

4. Escribir la expresión simplificada:
   $$0 + 2x + 8 = 2x + 8$$

Respuesta:
La expresión simplificada es $2x + 8$.

Ejercicio 2: Multiplicación de monomios

El segundo ejercicio es:
$$(3x^2y)(4xy^2)$$

Para multiplicar estos monomios, debemos multiplicar los coeficientes (los números) y luego multiplicar las variables.

1. Multiplicar los coeficientes:
   $$3 \times 4 = 12$$

2. Multiplicar las variables: Cuando multiplicamos variables con la misma base, sumamos sus exponentes.

   • Para $x$: $x^2 \times x^1 = x^{2+1} = x^3$
   • Para $y$: $y^1 \times y^2 = y^{1+2} = y^3$

3. Combinar los resultados:
   $$12x^3y^3$$

Respuesta:
El producto es $12x^3y^3$.

Ejercicio 3: Multiplicación de binomios (Producto notable)

El tercer ejercicio es:
$$(x+3)(x-3)$$

Este es un caso especial de multiplicación de binomios conocido como diferencia de cuadrados. La fórmula general es $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Aquí, $a = x$ y $b = 3$.

1. Aplicar la fórmula de diferencia de cuadrados:
   $$x^2 - 3^2$$

2. Calcular el cuadrado del segundo término:
   $$3^2 = 9$$

3. Escribir el resultado final:
   $$x^2 - 9$$

También se puede resolver usando el método FOIL (First, Outer, Inner, Last - Primero, Exterior, Interior, Último):

• First (Primeros términos): $x \times x = x^2$
• Outer (Términos exteriores): $x \times (-3) = -3x$
• Inner (Términos interiores): $3 \times x = 3x$
• Last (Últimos términos): $3 \times (-3) = -9$

Sumando todos los términos:
$$x^2 - 3x + 3x - 9$$
$$x^2 + 0x - 9$$
$$x^2 - 9$$

Respuesta:
El producto es $x^2 - 9$.

¡Entendido! Gracias por la aclaración. Procederé a resolver los ejercicios utilizando las razones trigonométricas de ángulos notables, que son un tema fundamental en matemáticas de secundaria.

Analizaré la imagen para identificar los ejercicios y los resolveré uno por uno.

Análisis de la imagen

La imagen contiene un ejercicio de geometría que involucra un triángulo rectángulo y el uso de razones trigonométricas. Parece que se pide calcular la longitud de un lado desconocido (x) utilizando un ángulo notable.

Задание 1: Calcular el valor de 'x'

Descripción del problema:
Se presenta un triángulo rectángulo con un ángulo de $30^\circ$. La hipotenusa mide 10 unidades. Se pide calcular la longitud del cateto opuesto al ángulo de $30^\circ$, que está denotado como 'x'.

Conceptos clave:
Para resolver este problema, utilizaremos las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) y las propiedades de los ángulos notables. En este caso, el ángulo de $30^\circ$ es un ángulo notable.

Las razones trigonométricas se definen para un ángulo agudo $\theta$ en un triángulo rectángulo de la siguiente manera:
* Seno ($\sin \theta$) = $\frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$
* Coseno ($\cos \theta$) = $\frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}$
* Tangente ($\tan \theta$) = $\frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}}$

Para el ángulo notable de $30^\circ$, sabemos que:
* $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
* $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
* $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Pasos para la solución:

1. Identificar los datos conocidos y la incógnita:

   • Ángulo ($\theta$) = $30^\circ$
   • Hipotenusa (H) = 10
   • Cateto Opuesto (CO) = x (incógnita)

2. Seleccionar la razón trigonométrica adecuada:
   Dado que conocemos el ángulo, la hipotenusa y queremos encontrar el cateto opuesto, la razón trigonométrica que relaciona estos tres elementos es el seno.
   $\sin \theta = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$

3. Sustituir los valores en la fórmula:
   $\sin 30^\circ = \frac{x}{10}$

4. Sustituir el valor conocido de $\sin 30^\circ$:
   Sabemos que $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
   Entonces, $\frac{1}{2} = \frac{x}{10}$

5. Despejar la incógnita 'x':
   Para despejar 'x', multiplicamos ambos lados de la ecuación por 10:
   $x = 10 \times \frac{1}{2}$
   $x = \frac{10}{2}$
   $x = 5$

Respuesta final:
El valor de 'x' es 5.

¡Excelente! Has identificado correctamente que hay 5 ejercicios en la imagen. Ya hemos resuelto el primero.

Procedamos con el siguiente ejercicio.

Задание 2: Calcular el valor de 'x'

Descripción del problema:
Se presenta un triángulo rectángulo con un ángulo de $60^\circ$. El cateto adyacente a este ángulo mide 8 unidades. Se pide calcular la longitud de la hipotenusa, que está denotada como 'x'.

Conceptos clave:
Al igual que en el ejercicio anterior, utilizaremos las razones trigonométricas y las propiedades de los ángulos notables. En este caso, el ángulo de $60^\circ$ es un ángulo notable.

Para el ángulo notable de $60^\circ$, sabemos que:
* $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
* $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
* $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

Pasos para la solución:

1. Identificar los datos conocidos y la incógnita:

   • Ángulo ($\theta$) = $60^\circ$
   • Cateto Adyacente (CA) = 8
   • Hipotenusa (H) = x (incógnita)

2. Seleccionar la razón trigonométrica adecuada:
   Dado que conocemos el ángulo, el cateto adyacente y queremos encontrar la hipotenusa, la razón trigonométrica que relaciona estos tres elementos es el coseno.
   $\cos \theta = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}$

3. Sustituir los valores en la fórmula:
   $\cos 60^\circ = \frac{8}{x}$

4. Sustituir el valor conocido de $\cos 60^\circ$:
   Sabemos que $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
   Entonces, $\frac{1}{2} = \frac{8}{x}$

5. Despejar la incógnita 'x':
   Para despejar 'x', podemos multiplicar en cruz o invertir ambos lados de la ecuación:
   $1 \cdot x = 2 \cdot 8$
   $x = 16$

Respuesta final:
El valor de 'x' es 16.

¡Mil disculpas! Parece que no he captado bien tu intención.

Mi objetivo es que las explicaciones sean:
1. Entendibles: Claras y fáciles de seguir.
2. Pequeñas: Concisas, sin rodeos innecesarios.
3. Que no se note que fue con IA: Con un lenguaje natural y un estilo que parezca humano.

Si el problema es que mis respuestas anteriores no cumplieron con estos criterios, por favor, dime qué aspecto específico te gustaría que mejorara.

¿Quizás las explicaciones fueron demasiado largas? ¿O el lenguaje no fue lo suficientemente natural? ¿O tal vez el formato no fue el adecuado?

Por favor, dame más detalles sobre lo que necesitas para que pueda ajustar mi enfoque. Estoy aquí para ayudarte de la mejor manera posible.