¡Hola! La pregunta es: "En el método gráfico, la región factible se obtiene al:". La respuesta correcta es:

• graficar todas las restricciones y sombrear la zona que las cumple

La región factible en el método gráfico se encuentra al graficar todas las restricciones (inecuaciones) del problema y sombrear el área donde todas estas restricciones se cumplen simultáneamente. Esta área sombreada representa el conjunto de todas las soluciones posibles que satisfacen todas las condiciones del problema.

¡Claro! Aquí te explico paso a paso cómo resolver problemas utilizando el método gráfico en programación lineal:

1. Definir el problema:

• Identificar las variables de decisión: Estas son las variables que puedes controlar y cuyos valores quieres determinar para optimizar tu objetivo (por ejemplo, cantidad de producto A y cantidad de producto B a producir).

• Establecer la función objetivo: Define qué quieres maximizar o minimizar (por ejemplo, maximizar ganancias o minimizar costos). La función objetivo se expresa como una ecuación lineal en términos de las variables de decisión. Por ejemplo:

  • Maximizar: $Z = 3x + 2y$ (donde $x$ e $y$ son las variables de decisión)

• Identificar las restricciones: Son las limitaciones que tienes en el problema (por ejemplo, recursos limitados, demandas mínimas, etc.). Las restricciones se expresan como inecuaciones lineales en términos de las variables de decisión. Por ejemplo:

  • $x + y \leq 10$ (restricción de capacidad)
  • $2x + y \leq 16$ (restricción de recursos)
  • $x \geq 0, y \geq 0$ (restricciones de no negatividad)

2. Graficar las restricciones:

• Convertir cada inecuación en una ecuación: Reemplaza el signo de desigualdad ($\leq$, $\geq$) por un signo de igualdad (=).
• Graficar cada ecuación como una línea recta: Para graficar una línea, necesitas encontrar al menos dos puntos que satisfagan la ecuación. Puedes hacerlo asignando valores a una variable y resolviendo para la otra.
• Determinar el área factible para cada restricción: Para cada línea, decide qué lado de la línea representa las soluciones que satisfacen la inecuación original. Puedes hacerlo probando un punto (como el origen (0,0)) en la inecuación. Si el punto satisface la inecuación, entonces el área que contiene ese punto es el área factible para esa restricción. Si no, el área del otro lado de la línea es el área factible.
• Sombrear el área factible para cada restricción.

3. Identificar la región factible:

• Encontrar la intersección de todas las áreas factibles: La región factible es el área donde todas las áreas sombreadas de cada restricción se superponen. Esta región representa todas las combinaciones posibles de las variables de decisión que satisfacen todas las restricciones del problema.

4. Encontrar la solución óptima:

• Método de los vértices:
  • Identificar los vértices (esquinas) de la región factible.
  • Evaluar la función objetivo en cada vértice.
  • El vértice que proporcione el valor más alto (si estás maximizando) o el valor más bajo (si estás minimizando) de la función objetivo es la solución óptima.
• Método de la línea isocosto/isoganancia:
  • Graficar la función objetivo para un valor arbitrario (por ejemplo, si la función objetivo es $Z = 3x + 2y$, puedes graficar la línea $3x + 2y = 6$).
  • Mover la línea de la función objetivo paralelamente a sí misma en la dirección de mejora (aumentando el valor si estás maximizando, disminuyendo si estás minimizando) hasta que toque el último punto de la región factible.
  • El punto donde la línea toca la región factible es la solución óptima.

5. Interpretar la solución:

• Determinar los valores óptimos de las variables de decisión: Estos son los valores de las variables que maximizan o minimizan la función objetivo, respetando todas las restricciones.
• Calcular el valor óptimo de la función objetivo: Sustituye los valores óptimos de las variables de decisión en la función objetivo para obtener el valor máximo o mínimo que se puede alcanzar.

Ejemplo:

Supongamos que queremos maximizar la función $Z = 5x + 3y$ sujeta a las siguientes restricciones:

• $x + y \leq 6$
• $2x + y \leq 10$
• $x \geq 0, y \geq 0$

1. Graficamos las restricciones:
   • $x + y = 6$
   • $2x + y = 10$
2. Identificamos la región factible: Es el área delimitada por las líneas y los ejes $x$ e $y$.
3. Encontramos los vértices: Los vértices de la región factible son (0,0), (5,0), (4,2) y (0,6).
4. Evaluamos la función objetivo en cada vértice:
   • (0,0): $Z = 5(0) + 3(0) = 0$
   • (5,0): $Z = 5(5) + 3(0) = 25$
   • (4,2): $Z = 5(4) + 3(2) = 26$
   • (0,6): $Z = 5(0) + 3(6) = 18$
5. La solución óptima es (4,2) con un valor de $Z = 26$.

Esto significa que para maximizar la función objetivo, debemos establecer $x = 4$ e $y = 2$, lo que nos dará un valor máximo de 26.

¡Entendido! Aquí tienes las respuestas a tus preguntas basadas en las imágenes que proporcionaste:

Pregunta 1: En el método gráfico, la región factible se obtiene al:

• Respuesta correcta: graficar todas las restricciones y sombrear la zona que las cumple

Pregunta 2: Las restricciones de un problema de programación lineal representan:

• Respuesta correcta: los límites o condiciones que restringen el uso de recursos

Espero que esto te ayude con tu lección. ¡Si tienes más preguntas, no dudes en hacerlas!

¡Por supuesto! Aquí tienes la respuesta a la pregunta que falta, basada en la imagen que proporcionaste:

Pregunta 3: El propósito principal de la programación lineal es:

• Respuesta correcta: optimizar una función objetivo sujeta a restricciones lineales

La programación lineal se utiliza para encontrar la mejor solución (óptima) para un problema, donde "mejor" significa maximizar o minimizar una función objetivo, teniendo en cuenta una serie de limitaciones o restricciones que se expresan como ecuaciones o inecuaciones lineales.