¡Hola! Vamos a resolver los ejercicios de factorización de trinomios cuadrados perfectos.

Задание 1

El trinomio es $9x^2 - 30x + 25$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{9x^2} = 3x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{25} = 5$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (3x) \cdot (5) = 30x$. Como el término del medio es $-30x$, necesitamos un signo negativo en uno de los términos de la raíz.

Por lo tanto, la factorización es:

$(3x - 5)^2$

Respuesta: $(3x - 5)^2$

Задание 2

El trinomio es $4x^2 - 4x + 1$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{4x^2} = 2x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{1} = 1$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (2x) \cdot (1) = 4x$. Como el término del medio es $-4x$, necesitamos un signo negativo en uno de los términos de la raíz.

Por lo tanto, la factorización es:

$(2x - 1)^2$

Respuesta: $(2x - 1)^2$

Задание 3

El trinomio es $16x^2 + 72x + 81$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{16x^2} = 4x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{81} = 9$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (4x) \cdot (9) = 72x$.

Por lo tanto, la factorización es:

$(4x + 9)^2$

Respuesta: $(4x + 9)^2$

¡Hola! Con gusto te explicaré paso a paso cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos.

Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que puede ser factorizado como el cuadrado de un binomio. La forma general de un trinomio cuadrado perfecto es:

$a^2 \pm 2ab + b^2$

Y su factorización es:

$(a \pm b)^2$

Aquí están los pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:

1. Verificar si el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto:

   • El primer y el tercer término deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíces cuadradas exactas).
   • El término del medio debe ser el doble del producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término.

2. Encontrar las raíces cuadradas del primer y tercer término:

   • Sea $a$ la raíz cuadrada del primer término.
   • Sea $b$ la raíz cuadrada del tercer término.

3. Verificar el término del medio:

   • El término del medio debe ser igual a $2ab$ o $-2ab$. Si es igual a $2ab$, entonces el binomio será $(a + b)^2$. Si es igual a $-2ab$, entonces el binomio será $(a - b)^2$.

4. Escribir la factorización:

   • Si el término del medio es positivo, la factorización es $(a + b)^2$.
   • Si el término del medio es negativo, la factorización es $(a - b)^2$.

Ejemplo:

Factorizar el trinomio $x^2 + 6x + 9$.

1. Verificar si es un trinomio cuadrado perfecto:

   • $x^2$ es un cuadrado perfecto (su raíz cuadrada es $x$).
   • $9$ es un cuadrado perfecto (su raíz cuadrada es $3$).

2. Encontrar las raíces cuadradas:

   • $a = \sqrt{x^2} = x$
   • $b = \sqrt{9} = 3$

3. Verificar el término del medio:

   • $2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x$. El término del medio es $6x$, que coincide.

4. Escribir la factorización:

   • Como el término del medio es positivo, la factorización es $(x + 3)^2$.

Por lo tanto, $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.

Ассистент: ¡Hola! Aquí tienes más ejemplos de trinomios cuadrados perfectos y cómo factorizarlos paso a paso.

Задание 4

El trinomio es $x^2 - 4x + 4$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{x^2} = x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{4} = 2$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (x) \cdot (2) = 4x$. Como el término del medio es $-4x$, necesitamos un signo negativo en uno de los términos de la raíz.

Por lo tanto, la factorización es:

$(x - 2)^2$

Respuesta: $(x - 2)^2$

Ассистент: ¡Hola! Veo que necesitas ayuda con el ejercicio número 4. Vamos a resolverlo.

Задание 4

El trinomio es $x^2 - 4x + 1$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{x^2} = x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{1} = 1$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (x) \cdot (1) = 2x$.

En este caso, el término del medio del trinomio original es $-4x$, pero el doble del producto de las raíces cuadradas es $2x$. Esto significa que $x^2 - 4x + 1$ no es un trinomio cuadrado perfecto. Por lo tanto, no se puede factorizar como $(x - 1)^2$.

Este trinomio no se puede factorizar fácilmente usando números enteros. Para encontrar las raíces, se puede usar la fórmula cuadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

En este caso, $a = 1$, $b = -4$, y $c = 1$. Sustituyendo estos valores:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$
$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Por lo tanto, las raíces son $2 + \sqrt{3}$ y $2 - \sqrt{3}$. La factorización sería:

$(x - (2 + \sqrt{3}))(x - (2 - \sqrt{3}))$

Sin embargo, como el ejercicio parece enfocado en trinomios cuadrados perfectos, es posible que haya un error en el enunciado. Si el trinomio fuera $x^2 - 2x + 1$, entonces sí sería un trinomio cuadrado perfecto y se factorizaría como $(x - 1)^2$.

Respuesta: No es un trinomio cuadrado perfecto.

Ассистент: ¡Hola! Vamos a resolver los ejercicios de factorización de trinomios cuadrados perfectos.

Задание 1

El trinomio es $9x^2 - 30x + 25$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{9x^2} = 3x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{25} = 5$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (3x) \cdot (5) = 30x$. Como el término del medio es $-30x$, necesitamos un signo negativo en uno de los términos de la raíz.

Por lo tanto, la factorización es:

$(3x - 5)^2$

Respuesta: $(3x - 5)^2$

Задание 2

El trinomio es $4x^2 - 4x + 1$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{4x^2} = 2x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{1} = 1$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (2x) \cdot (1) = 4x$. Como el término del medio es $-4x$, necesitamos un signo negativo en uno de los términos de la raíz.

Por lo tanto, la factorización es:

$(2x - 1)^2$

Respuesta: $(2x - 1)^2$

Задание 3

El trinomio es $16x^2 + 72x + 81$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{16x^2} = 4x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{81} = 9$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (4x) \cdot (9) = 72x$.

Por lo tanto, la factorización es:

$(4x + 9)^2$

Respuesta: $(4x + 9)^2$

Задание 4

El trinomio es $x^2 - 4x + 1$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{x^2} = x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{1} = 1$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (x) \cdot (1) = 2x$.

En este caso, el término del medio del trinomio original es $-4x$, pero el doble del producto de las raíces cuadradas es $2x$. Esto significa que $x^2 - 4x + 1$ no es un trinomio cuadrado perfecto. Por lo tanto, no se puede factorizar como $(x - 1)^2$.

Este trinomio no se puede factorizar fácilmente usando números enteros. Para encontrar las raíces, se puede usar la fórmula cuadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

En este caso, $a = 1$, $b = -4$, y $c = 1$. Sustituyendo estos valores:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$
$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Por lo tanto, las raíces son $2 + \sqrt{3}$ y $2 - \sqrt{3}$. La factorización sería:

$(x - (2 + \sqrt{3}))(x - (2 - \sqrt{3}))$

Sin embargo, como el ejercicio parece enfocado en trinomios cuadrados perfectos, es posible que haya un error en el enunciado. Si el trinomio fuera $x^2 - 2x + 1$, entonces sí sería un trinomio cuadrado perfecto y se factorizaría como $(x - 1)^2$.

Respuesta: No es un trinomio cuadrado perfecto.

Ассистент: ¡Hola! Vamos a resolver los ejercicios de factorización de trinomios cuadrados perfectos.

Задание 1

El trinomio es $x^2 + 8x + 16$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{x^2} = x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{16} = 4$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (x) \cdot (4) = 8x$.

Por lo tanto, la factorización es:

$(x + 4)^2$

Respuesta: $(x + 4)^2$

Задание 2

El trinomio es $9x^2 + 12xy + 4y^2$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{9x^2} = 3x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{4y^2} = 2y$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (3x) \cdot (2y) = 12xy$.

Por lo tanto, la factorización es:

$(3x + 2y)^2$

Respuesta: $(3x + 2y)^2$

Задание 3

El trinomio es $49x^2 - 14x + 1$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{49x^2} = 7x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{1} = 1$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (7x) \cdot (1) = 14x$. Como el término del medio es $-14x$, necesitamos un signo negativo en uno de los términos de la raíz.

Por lo tanto, la factorización es:

$(7x - 1)^2$

Respuesta: $(7x - 1)^2$

Ассистент: ¡Hola! Vamos a resolver los ejercicios de factorización de trinomios cuadrados perfectos.

Задание 4

El trinomio es $\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{9}{25}$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{\frac{1}{4}x^2} = \frac{1}{2}x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{3}{5}) = \frac{3}{5}x$. Como el término del medio es $-\frac{3}{5}x$, necesitamos un signo negativo en uno de los términos de la raíz.

Por lo tanto, la factorización es:

$(\frac{1}{2}x - \frac{3}{5})^2$

Respuesta: $(\frac{1}{2}x - \frac{3}{5})^2$

Задание 5

El trinomio es $9x^2 - 30xy + 25y^2$.

1. Raíz cuadrada del primer término: $\sqrt{9x^2} = 3x$
2. Raíz cuadrada del tercer término: $\sqrt{25y^2} = 5y$
3. Verificar el término del medio: $2 \cdot (3x) \cdot (5y) = 30xy$. Como el término del medio es $-30xy$, necesitamos un signo negativo en uno de los términos de la raíz.

Por lo tanto, la factorización es:

$(3x - 5y)^2$

Respuesta: $(3x - 5y)^2$