Construya el gráfico de la función $y=-2x^2+8x-5$
Para construir el gráfico de la función cuadrática $y=-2x^2+8x-5$, seguimos los siguientes pasos:
- Determinamos las coordenadas del vértice de la parábola
La función tiene la forma $y=a(x-h)^2+k$, donde $(h,k)$ son las coordenadas del vértice.
Para nuestra función $y=-2x^2+8x-5$, el coeficiente $a=-2$.
Coordenada $x$ del vértice: $h = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$
Coordenada $y$ del vértice: $k = f(h) = -2(2)^2+8(2)-5 = -2(4)+16-5 = -8+16-5 = 3$
Por lo tanto, el vértice de la parábola está en el punto $(2,3)$.
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Determinamos la dirección de las ramas de la parábola
Como el coeficiente $a=-2$ es negativo, las ramas de la parábola están dirigidas hacia abajo.
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Encontramos los puntos de intersección con los ejes de coordenadas
Con el eje $y$ (cuando $x=0$):
$y = -2(0)^2+8(0)-5 = -5$
Punto de intersección con el eje $y$: $(0,-5)$
Con el eje $x$ (cuando $y=0$):
$0 = -2x^2+8x-5$
$2x^2-8x+5 = 0$
Usamos la fórmula del discriminante: $D = b^2-4ac = (-8)^2-4(2)(5) = 64-40 = 24$
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$
$x_1 \approx 3.22$ y $x_2 \approx 0.78$
Puntos de intersección con el eje $x$: $(0.78,0)$ y $(3.22,0)$
- Construimos el gráfico
El gráfico es una parábola con vértice en el punto $(2,3)$, ramas dirigidas hacia abajo, que intersecta el eje $y$ en el punto $(0,-5)$ y el eje $x$ en los puntos $(0.78,0)$ y $(3.22,0)$.
