Задачи на совместную работу

Основные принципы решения задач на совместную работу

Задачи на совместную работу относятся к классическим математическим задачам, которые встречаются в школьном курсе математики. Суть этих задач заключается в определении времени выполнения работы несколькими исполнителями (людьми, механизмами, насосами и т.д.), работающими вместе.

Ключевые понятия

1. Производительность — это величина, показывающая, какую часть работы выполняет исполнитель за единицу времени (обычно за 1 час).
2. Время выполнения всей работы — время, за которое исполнитель выполняет работу полностью.

Основные формулы

• Если исполнитель выполняет всю работу за время $T$, то его производительность равна $\frac{1}{T}$ (часть работы за единицу времени).
• При совместной работе нескольких исполнителей их общая производительность равна сумме производительностей каждого: $P_{общ} = P_1 + P_2 + ... + P_n$.
• Время совместного выполнения работы: $T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}}$.

Алгоритм решения задач на совместную работу

1. Определите производительность каждого исполнителя:
   - Если известно, что исполнитель выполняет работу за время $T$, то его производительность $P = \frac{1}{T}$.

2. Найдите общую производительность:
   - Сложите производительности всех исполнителей: $P_{общ} = P_1 + P_2 + ... + P_n$.

3. Вычислите время совместной работы:
   - $T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}}$.

Пример 1: Наполнение цистерны двумя насосами

Задача: Один насос наполняет цистерну за 15 часов, а другой насос наполняет эту же цистерну за 30 часов. За сколько часов наполнят цистерну эти два насоса, работая вместе?

Решение:

1. Определяем производительность первого насоса:
   $P_1 = \frac{1}{15}$ (часть цистерны в час)

2. Определяем производительность второго насоса:
   $P_2 = \frac{1}{30}$ (часть цистерны в час)

3. Находим общую производительность:
   $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$ (часть цистерны в час)

4. Вычисляем время совместной работы:
   $T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10$ часов

Ответ: 10 часов.

Пример 2: Опустошение бассейна

Задача: Первая труба опустошает бассейн за 8 часов, а вторая — за 12 часов. За какое время они опустошат бассейн, работая вместе?

Решение:

1. Производительность первой трубы: $P_1 = \frac{1}{8}$ (часть бассейна в час)
2. Производительность второй трубы: $P_2 = \frac{1}{12}$ (часть бассейна в час)
3. Общая производительность: $P_{общ} = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24}$ (часть бассейна в час)
4. Время совместной работы: $T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{5}{24}} = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5}$ часа

Ответ: $4\frac{4}{5}$ часа или 4 часа 48 минут.

Типичные ошибки и как их избежать

1. Ошибка: Сложение или вычитание времен выполнения работы вместо работы с производительностями.
   Решение: Всегда переходите к производительностям, а затем складывайте их.

2. Ошибка: Неправильное приведение дробей к общему знаменателю.
   Решение: Внимательно выполняйте арифметические операции, используйте наименьшее общее кратное знаменателей.

3. Ошибка: Путаница в случаях, когда один исполнитель выполняет работу, а другой — портит (например, один наполняет бассейн, другой — опустошает).
   Решение: В таких случаях производительность "портящего" исполнителя берется со знаком минус.

Усложненные задачи на совместную работу

1. Задачи с разным временем начала работы:
   - Если исполнители начинают работу в разное время, учитывайте, какая часть работы уже выполнена к моменту подключения нового исполнителя.

2. Задачи с переменной производительностью:
   - Если производительность меняется со временем, разбивайте задачу на интервалы с постоянной производительностью.

Понимание принципов решения задач на совместную работу позволяет эффективно решать широкий спектр практических задач, связанных с планированием времени и ресурсов.