Inecuación racional — es una inecuación de la forma \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios, y en lugar del signo \(>\) puede estar \(<\), \(\ge\) o \(\le\). Estas inecuaciones se resuelven por el método de los intervalos: se traslada todo a la parte izquierda, se descompone en factores, se marcan en el eje numérico los ceros del numerador y los ceros del denominador y se colocan los signos. A continuación, se presenta la definición, el algoritmo completo, la regla de los puntos excluidos, la multiplicidad de las raíces, ejemplos resueltos y un simulador con verificación.
¿Qué es una inecuación racional?
Inecuación racional — es una inecuación cuyas dos partes están escritas como expresiones racionales, es decir, polinomios y fracciones de polinomios. Después de trasladar todo a una sola parte, siempre se reduce a la forma
donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios, y en lugar de \(\vee\) hay uno de los signos \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). A la derecha debe haber obligatoriamente un cero — esta es la condición sin la cual el método de los intervalos no funciona.
Las inecuaciones racionales se dividen en dos tipos. Si la variable aparece solo en el numerador, la inecuación se llama racional entera: no hay nada que dividir y cualquier valor de \(x\) es válido. Si la variable está en el denominador, la inecuación es racional fraccionaria (también se llama inecuación fraccionaria o inecuación con fracción) — y entonces inmediatamente aparece la restricción \(Q(x) \neq 0\).
¿Por qué no se puede multiplicar ambos lados por el denominador?
La tentación más grande al resolver una inecuación con fracción es "deshacerse del denominador" multiplicando ambos lados por él. Con las ecuaciones se puede hacer, con las inecuaciones no. La razón es simple: al multiplicar por un número negativo, el signo de la inecuación se invierte, y el signo de la expresión \(Q(x)\) es desconocido de antemano — depende de \(x\).
Veamos la inecuación \(\frac{5}{x-3} < 1\). Multipliquemos ambos lados por \(x - 3\), como si fuera un número positivo: obtendremos \(5 < x - 3\), es decir, \(x > 8\). Verifiquemos la respuesta sustituyendo \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — la inecuación es correcta, por lo tanto, cero también es una solución, pero no entró en la respuesta \(x > 8\). Se perdió la respuesta.
El camino correcto es trasladar todo a la izquierda y reducir a una sola fracción:
En el último paso multiplicamos ambos lados por \(-1\) y revertimos el signo — esto es legal, porque \(-1\) es siempre negativo. Luego funciona el método de los intervalos, y la respuesta es \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — que incluye el cero perdido.
Lo más fácil de recordar es: no se puede multiplicar ambos lados por una expresión con variable, pero sí se pueden trasladar términos siempre. Trasladar no cambia el signo de la inecuación.
Método de los intervalos: algoritmo de resolución paso a paso
El método de los intervalos se basa en una propiedad: entre los ceros consecutivos de una expresión racional, su signo es constante. Por lo tanto, basta con encontrar todos los puntos donde el numerador o el denominador se anulan, dividir con ellos el eje numérico y determinar el signo en cada segmento — con un punto de prueba o por la multiplicidad de las raíces.
Puntos excluidos y cerrados: DOM y signo de la inecuación
Un error en un paréntesis convierte una solución correcta en una respuesta incorrecta, por lo que la regla sobre los puntos debe aprenderse por separado. Funcionan exactamente dos consideraciones.
La primera es el dominio de valores admisibles (DOM). El cero del denominador se excluye siempre, con cualquier signo de inecuación. En este punto, la fracción simplemente no existe: no se puede dividir por cero, por lo tanto, el número no puede ser una solución, incluso si el signo no es estricto.
La segunda es el signo estricto o no estricto. Los ceros del numerador anulan la fracción. Con un signo no estricto (\(\le\) o \(\ge\)), la igualdad a cero nos conviene, lo que significa que el punto se cierra y entra en la respuesta con un corchete. Con un signo estricto (\(<\) o \(>\)), el cero no es válido y el punto se excluye.
Por ejemplo, para la inecuación \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\), el punto \(x = 6\) se cierra (cero del numerador, signo no estricto), y el punto \(x = -1\) se excluye (cero del denominador). Respuesta: \(x \in (-1; 6]\).
| Qué tipo de punto | Cómo se marca |
|---|---|
| Cero del denominador, Q(x) = 0 | excluido siempre, con cualquier signo — el punto no está en el DOM |
| Cero del numerador, signo estricto < o > | excluido la fracción es cero, pero se requiere un signo estrictamente diferente |
| Cero del numerador, signo no estricto ≤ o ≥ | cerrado la igualdad a cero es válida, el punto entra en la respuesta |
Multiplicidad de las raíces: dónde cambia el signo y dónde no
Los signos en los intervalos no tienen por qué alternarse simplemente — esta es la confusión más común en el tema. La alternancia solo funciona cuando todos los paréntesis aparecen con exponente uno. La regla es más precisa si se formula a través de la multiplicidad de la raíz — el exponente del paréntesis correspondiente.
Al pasar por una raíz de multiplicidad impar (exponente 1, 3, 5), el signo de la expresión cambia. Al pasar por una raíz de multiplicidad par (exponente 2, 4), el signo no cambia: el paréntesis elevado a una potencia par es no negativo y no altera el signo de la expresión. La multiplicidad se cuenta igual tanto para el numerador como para el denominador.
Consideremos \((x-9)^2(x+3) > 0\). Raíces: \(x = 9\) de multiplicidad 2 y \(x = -3\) de multiplicidad 1. A la derecha de nueve, la expresión es positiva. Al pasar por \(9\) — la multiplicidad es par, el signo se conserva, en el intervalo \((-3; 9)\) también es más. Al pasar por \(-3\) — la multiplicidad es impar, el signo cambia a menos. La respuesta de la inecuación estricta es: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), el punto \(9\) está excluido porque allí la expresión es cero. Pero para la inecuación no estricta \((x-9)^2(x+3) \ge 0\), la respuesta es diferente: \(x \in [-3; +\infty)\) — el nueve se cierra y "une" dos intervalos en uno.
| Multiplicidad de la raíz | Signo al pasar |
|---|---|
| Impar: (x − a), (x − a)3 | cambia |
| Par: (x − a)2, (x − a)4 | no cambia |
Eje numérico en un ejemplo: colocamos los signos
Juntemos todo en la inecuación \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Ceros del numerador: \(x = -7\). Ceros del denominador: \(x = 2\) y \(x = 5\), que también definen el DOM. Los tres paréntesis están en primera potencia, por lo tanto, los signos se alternan. Un punto de prueba \(x = 10\) en el intervalo más a la derecha da \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — empezamos con un más y vamos hacia la izquierda, cambiando el signo en cada punto.
Ejemplos de resolución de inecuaciones racionales
Ejemplo 1. Inecuación fraccionaria simple
Resolver \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Paso 1. Ya hay cero a la derecha, ya hay una sola fracción — no hay nada que trasladar ni reducir.
Paso 2. DOM. \(x + 5 \neq 0\), es decir, \(x \neq -5\).
Paso 3. Ceros. El numerador es cero para \(x = 3\), el denominador — para \(x = -5\).
Paso 4. Puntos en el eje. \(x = 3\) se cierra (cero del numerador, signo no estricto), \(x = -5\) se excluye (cero del denominador).
Paso 5. Signos. Punto de prueba \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — más a la derecha. Ambos paréntesis están en primera potencia, por lo tanto, los signos se alternan: en \((-5; 3)\) es menos, en \((-\infty; -5)\) es más. Verifiquemos: para \(x = -6\) obtenemos \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — coincide.
Paso 6. Respuesta. Se necesita el signo "más o cero": \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Ejemplo 2. No hay cero a la derecha — trasladamos
Resolver \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Paso 1. Trasladamos la unidad a la izquierda. No se puede multiplicar por \(x - 4\), el signo de esta expresión es desconocido:
Paso 2. Reducimos a una sola fracción.
Paso 3. DOM. \(x \neq 4\).
Paso 4. Puntos. \(x = -5\) — cero del numerador, signo no estricto, se cierra. \(x = 4\) — cero del denominador, se excluye.
Paso 5. Signos. Para \(x = 5\), la fracción es \(\frac{10}{1} > 0\). Por lo tanto, en \((4; +\infty)\) es más, en \((-5; 4)\) es menos, en \((-\infty; -5)\) es más.
Paso 6. Respuesta. \(x \in [-5; 4)\). Verificación de los puntos límite: para \(x = -5\), la fracción es cero — es válido para \(\le\); para \(x = 4\), no hay fracción — no es válido.
Ejemplo 3. Raíz de multiplicidad par y punto aislado
Resolver \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Paso 1. DOM. \(x \neq 9\).
Paso 2. Ceros y multiplicidades. \(x = 2\) — multiplicidad 2 (par), \(x = -6\) — multiplicidad 1, \(x = 9\) — multiplicidad 1 en el denominador.
Paso 3. Puntos. \(x = 2\) y \(x = -6\) se cierran (ceros del numerador con signo no estricto), \(x = 9\) se excluye.
Paso 4. Signos. Punto de prueba \(x = 10\): numerador positivo, denominador igual a 1 — más. Vamos hacia la izquierda. Al pasar por \(9\) (multiplicidad impar), el signo cambia: en \((2; 9)\) es menos. Al pasar por \(2\) (multiplicidad par), el signo no cambia: en \((-6; 2)\) también es menos. Al pasar por \(-6\) (multiplicidad impar), el signo cambia: en \((-\infty; -6)\) es más.
Paso 5. Respuesta. Tomamos los intervalos con signo "más" más todos los puntos donde la expresión es cero. El punto \(x = 2\) está dentro del intervalo negativo, pero la expresión misma es cero allí, por lo tanto, entra en la respuesta por separado:
Un punto "solitario" así en la respuesta es un signo seguro de una raíz de multiplicidad par con un signo no estricto.
Ejemplo 4. Simplificación de la fracción: trampa con el DOM
Resolver \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Paso 1. Descomponemos en factores. El numerador es un cuadrado perfecto: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Para el denominador calculamos el discriminante: \(D = 81 + 40 = 121\), raíces \(x_1 = \frac{1}{5}\) y \(x_2 = -2\), por lo tanto, \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Paso 2. DOM — antes de cualquier simplificación. \(5x - 1 \neq 0\) y \(x + 2 \neq 0\), es decir, \(x \neq \frac{1}{5}\) y \(x \neq -2\).
Paso 3. Simplificamos. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), pero solo si \(x \neq \frac{1}{5}\) — la simplificación no devuelve el punto excluido.
Paso 4. Resolvemos \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Ceros: \(\frac{1}{5}\) y \(-2\). Para \(x = 1\), la fracción es \(\frac{4}{3} > 0\). Por lo tanto, en \((\frac{1}{5}; +\infty)\) es más, en \((-2; \frac{1}{5})\) es menos, en \((-\infty; -2)\) es más.
Paso 5. Devolvemos el DOM. El intervalo \((-2; \frac{1}{5}]\) sería válido por el signo, pero el punto \(\frac{1}{5}\) está excluido: en la inecuación original, el denominador \(5x^2+9x-2\) para \(x = \frac{1}{5}\) se anula, la fracción no existe allí.
Respuesta: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — ambos paréntesis son redondos.
Ejemplo 5. Trinomio cuadrado en el numerador
Resolver \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Paso 1. Descomponemos el numerador. Por el teorema de Vieta, la suma de las raíces es 7, el producto 10, por lo tanto, \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). La inecuación toma la forma \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Paso 2. DOM. \(x \neq -4\).
Paso 3. Puntos. Los tres puntos están excluidos: \(-4\) — cero del denominador, \(2\) y \(5\) — ceros del numerador con signo estricto.
Paso 4. Signos. Punto de prueba \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Todos los paréntesis están en primera potencia, por lo tanto, los signos se alternan: en \((5; +\infty)\) es más, en \((2; 5)\) es menos, en \((-4; 2)\) es más, en \((-\infty; -4)\) es menos.
Paso 5. Respuesta. Se necesita el signo "menos" estricto: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Control por sustitución: para \(x = -5\) obtenemos \(\frac{70}{-1} < 0\), para \(x = 3\) obtenemos \(\frac{-2}{7} < 0\) — ambos intervalos son válidos.
Errores frecuentes al resolver inecuaciones racionales
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Multiplican ambos lados por el denominador: de $\frac{3}{x-8} > 1$ obtienen $3 > x - 8$ y escriben $x < 11$.
El signo de la expresión \(x - 8\) es desconocido de antemano, y al multiplicar por un negativo, el signo de la inecuación se invierte. Verificación: \(x = 0\) da \(\frac{3}{-8} < 1\) — el cero no es una solución, aunque entró en la respuesta \(x < 11\). Lo correcto: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), es decir, \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), de donde \(x \in (8; 11)\).
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Cierran el cero del denominador porque el signo no es estricto: para $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ escriben la respuesta con un corchete en el siete.
El cero del denominador se excluye siempre, con cualquier signo: en ese punto la fracción simplemente no existe. Respuesta correcta: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — el uno tiene corchete, el siete tiene paréntesis.
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Simplifican la fracción y pierden el DOM: de $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ obtienen $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ e incluyen el punto $x = -3$ en la respuesta.
El DOM se escribe antes de la simplificación, según el denominador original: \(x \neq -3\) y \(x \neq 5\). La fracción simplificada \(\frac{x+3}{x-5}\) es no positiva en \([-3; 5)\) — para \(x = 0\) es igual a \(-0{,}6\), lo cual se requiere para el signo \(\le\). Pero el punto \(-3\) está excluido por el DOM, por lo tanto, la respuesta es \((-3; 5)\), no \([-3; 5)\).
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Creen que los signos en los intervalos siempre se alternan, y para $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ ponen un menos a la derecha del uno.
La alternancia es correcta solo con paréntesis en primera potencia. La raíz \(x = 1\) tiene multiplicidad 2, por lo tanto, el signo no cambia al pasar por ella. La expresión es positiva en todo \((-4; +\infty)\), excepto en el uno mismo, donde es cero. Respuesta: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
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Cambian el signo de la inecuación al trasladar un término: de $\frac{x}{x-2} \le 3$ obtienen $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Trasladar un término de una parte a otra no cambia el signo de la inecuación — solo cambia el signo del término mismo. El signo se invierte solo al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo. Correcto: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), luego \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), es decir, \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
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Marcan en el eje solo los ceros del numerador, y el denominador lo verifican "después": para $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ ponen un solo punto $-11$.
En el eje se marcan todos los ceros a la vez — tanto los del numerador como los del denominador, de lo contrario, los intervalos resultarán incorrectos. Aquí \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), por lo tanto, hay tres puntos: \(-11\), \(-4\) y \(4\), no uno solo. Todos están excluidos (signo estricto), respuesta: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Preguntas y respuestas
¿Qué es una inecuación racional?
Es una inecuación cuyas dos partes son expresiones racionales (polinomios y fracciones de polinomios). Después de trasladar todo a la parte izquierda, se reduce a la forma \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios, y en lugar de \(>\) puede estar \(<\), \(\le\) o \(\ge\).
¿Cómo resolver inecuaciones racionales?
Por el método de los intervalos en seis pasos: trasladar todo a la izquierda para que quede cero a la derecha; reducir a una sola fracción y descomponer el numerador y el denominador en factores; escribir el DOM (\(Q(x) \neq 0\)); marcar en el eje numérico los ceros del numerador y del denominador; colocar los signos en los intervalos según un punto de prueba y la multiplicidad de las raíces; escribir en la respuesta los intervalos con el signo deseado.
¿En qué se diferencia una inecuación racional fraccionaria de una racional entera?
En una racional entera, la variable está solo en el numerador, por ejemplo \((x-1)(x+4) > 0\), y el DOM son todos los números reales. En una racional fraccionaria, la variable está en el denominador, por ejemplo \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), y aparece la restricción \(x \neq -4\). El algoritmo es el mismo — solo cambian los puntos excluidos.
¿Cómo resolver inecuaciones con fracciones?
Igual que cualquier inecuación racional: primero trasladar todo a la parte izquierda y reducir a una sola fracción, en lugar de eliminar el denominador. Por ejemplo, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) se convierte en \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), es decir, \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). El numerador es constante y negativo, por lo tanto, la fracción es no negativa solo cuando el denominador es negativo: \(x + 2 < 0\). Respuesta: \(x \in (-\infty; -2)\).
¿Por qué no se puede multiplicar ambos lados de una inecuación por el denominador?
Porque el signo del denominador depende de \(x\): al multiplicar por una expresión positiva, el signo de la inecuación se conserva, y al multiplicar por una negativa, se invierte. No se sabe de antemano qué caso se presenta, por lo que se pierden algunas soluciones y se añaden otras incorrectas. Se pueden trasladar términos siempre — trasladar no cambia el signo de la inecuación.
¿Cómo encontrar el DOM en una inecuación?
Para una inecuación racional, el DOM son todos los valores de \(x\) para los cuales el denominador no se anula. Iguale el denominador a cero, resuelva la ecuación y excluya los números encontrados. El DOM debe escribirse según el denominador original, antes de simplificar la fracción — de lo contrario, se perderán los puntos excluidos.
¿Qué puntos están excluidos y cuáles cerrados?
Los ceros del denominador se excluyen siempre, con cualquier signo de inecuación. Los ceros del numerador se cierran con signo no estricto (\(\le\) o \(\ge\)) y se excluyen con signo estricto (\(<\) o \(>\)). En la notación de la respuesta, un punto excluido corresponde a un paréntesis redondo, uno cerrado a un corchete.
¿Qué es la multiplicidad de una raíz y para qué sirve en el método de los intervalos?
La multiplicidad es el exponente al que aparece un paréntesis en la descomposición. Al pasar por una raíz de multiplicidad impar, el signo de la expresión cambia; al pasar por una raíz de multiplicidad par, se conserva. Es por eso que los signos no siempre se alternan simplemente: en \((x-9)^2(x+3)\), en el punto \(9\), el signo permanece igual.
¿En qué grado se estudian las inecuaciones racionales?
En 9º grado en las clases de álgebra, después de las inecuaciones cuadráticas y la descomposición de polinomios en factores. El método de los intervalos se utiliza posteriormente para inecuaciones exponenciales, logarítmicas e irracionales, así como en ejercicios de la OGE y el examen de perfil del ЕГЭ.
