Ejercicio 2: Análisis de un amplificador operacional integrador

Este ejercicio nos pide encontrar la expresión de la tensión de salida $v_o(t)$ para $t > 0$ en un circuito con un amplificador operacional, dado un valor inicial $v_o(0) = 4$ voltios y los valores de los componentes $R_f$, $R_1$ y $C$.

El circuito mostrado es un amplificador operacional en configuración de integrador con una resistencia en paralelo con el condensador en la rama de realimentación. Esto es un integrador con fuga o un filtro pasa-bajos activo.

✨ Paso 1: Identificar el tipo de circuito y aplicar las reglas del amplificador operacional ideal.

Dado que el terminal no inversor está conectado a tierra, $V_+ = 0$. Para un amplificador operacional ideal, la corriente de entrada es cero ($I_+ = I_- = 0$) y la tensión entre los terminales de entrada es cero ($V_+ = V_- = 0$). Por lo tanto, $V_- = 0$.

✨ Paso 2: Aplicar la Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) en el nodo inversor.

La corriente que fluye a través de $R_1$ es $I_{R1} = \frac{V_{in} - V_-}{R_1}$. En este caso, no hay una fuente de entrada explícita conectada a $R_1$, lo que implica que la corriente a través de $R_1$ es cero si no hay una señal de entrada. Sin embargo, el problema pide $v_o(t)$ para $t>0$ con una condición inicial $v_o(0)=4V$. Esto sugiere que estamos analizando la respuesta natural del circuito o la descarga del condensador.

Vamos a asumir que la entrada $V_{in}$ es cero para $t>0$ y que la condición inicial $v_o(0)=4V$ se debe a una carga previa del condensador. Si $V_{in} = 0$, entonces la corriente a través de $R_1$ es $I_{R1} = \frac{0 - 0}{R_1} = 0$.

La corriente que fluye a través del condensador es $I_C = C \frac{dV_C}{dt}$. La tensión a través del condensador es $V_C = V_- - V_o = 0 - V_o = -V_o$. Por lo tanto, $I_C = C \frac{d(-V_o)}{dt} = -C \frac{dV_o}{dt}$.

La corriente que fluye a través de $R_f$ es $I_{Rf} = \frac{V_- - V_o}{R_f} = \frac{0 - V_o}{R_f} = -\frac{V_o}{R_f}$.

Aplicando LCK en el nodo inversor ($V_-$):
$I_{R1} + I_C + I_{Rf} = 0$
$0 + (-C \frac{dV_o}{dt}) + (-\frac{V_o}{R_f}) = 0$
$-C \frac{dV_o}{dt} - \frac{V_o}{R_f} = 0$

✨ Paso 3: Resolver la ecuación diferencial.

Reorganizamos la ecuación diferencial:
$C \frac{dV_o}{dt} = -\frac{V_o}{R_f}$
$\frac{dV_o}{dt} = -\frac{1}{R_f C} V_o$

Esta es una ecuación diferencial de primer orden de la forma $\frac{dy}{dt} = -ky$, cuya solución general es $y(t) = A e^{-kt}$.

En nuestro caso, $V_o(t) = A e^{-\frac{t}{R_f C}}$.

✨ Paso 4: Usar la condición inicial para encontrar la constante A.

Se nos da que $v_o(0) = 4$ voltios.

Sustituyendo $t=0$ en la solución general:
$V_o(0) = A e^{-\frac{0}{R_f C}} = A e^0 = A$

Por lo tanto, $A = 4$ voltios.

La expresión para $V_o(t)$ es $V_o(t) = 4 e^{-\frac{t}{R_f C}}$.

✨ Paso 5: Sustituir los valores de los componentes.

$R_f = 50 \text{ K}\Omega = 50 \times 10^3 \text{ } \Omega$
$C = 10 \text{ } \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$

Calculamos el producto $R_f C$:
$R_f C = (50 \times 10^3 \text{ } \Omega) \times (10 \times 10^{-6} \text{ F})$
$R_f C = 500 \times 10^{-3} \text{ s} = 0.5 \text{ s}$

✨ Paso 6: Escribir la expresión final para $v_o(t)$.

Sustituyendo el valor de $R_f C$ en la ecuación:
$V_o(t) = 4 e^{-\frac{t}{0.5}}$
$V_o(t) = 4 e^{-2t}$

La tensión de salida $v_o(t)$ para $t > 0$ es $4e^{-2t}$ voltios.

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Una bomba centrífuga es una máquina hidráulica que transforma la energía mecánica en energía cinética de presión, permitiendo el movimiento de fluidos. Su funcionamiento se basa en la fuerza centrífuga generada por un impulsor giratorio.

Aquí te explico los principios clave de su funcionamiento:

1. Entrada del fluido: El fluido entra en la bomba por el centro del impulsor (ojo del impulsor).
2. Rotación del impulsor: El impulsor, que tiene álabes o paletas, gira a alta velocidad. Esta rotación imparte energía cinética al fluido.
3. Fuerza centrífuga: Debido a la fuerza centrífuga, el fluido es lanzado hacia el exterior del impulsor, aumentando su velocidad y, por lo tanto, su energía cinética.
4. Conversión de energía: A medida que el fluido se mueve desde el impulsor hacia la voluta (una carcasa en espiral que rodea el impulsor), su velocidad disminuye y su energía cinética se convierte en energía de presión. Esta presión es la que impulsa el fluido a través del sistema de tuberías.

Las bombas centrífugas son ampliamente utilizadas en diversas aplicaciones, como el suministro de agua, sistemas de calefacción y aire acondicionado, la industria química y petroquímica, y el drenaje.

Ejercicio 2: Análisis de un amplificador operacional integrador

Este ejercicio nos pide encontrar la expresión de la tensión de salida $v_o(t)$ para $t > 0$ en un circuito con un amplificador operacional, dado un valor inicial $v_o(0) = 4$ voltios y los valores de los componentes $R_f$, $R_1$ y $C$.

El circuito mostrado es un amplificador operacional en configuración de integrador con una resistencia en paralelo con el condensador en la rama de realimentación. Esto es un integrador con fuga o un filtro pasa-bajos activo.

✨ Paso 1: Identificar el tipo de circuito y aplicar las reglas del amplificador operacional ideal.

Dado que el terminal no inversor está conectado a tierra, $V_+ = 0$. Para un amplificador operacional ideal, la corriente de entrada es cero ($I_+ = I_- = 0$) y la tensión entre los terminales de entrada es cero ($V_+ = V_- = 0$). Por lo tanto, $V_- = 0$.

✨ Paso 2: Aplicar la Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) en el nodo inversor.

La corriente que fluye a través de $R_1$ es $I_{R1} = \frac{V_{in} - V_-}{R_1}$. En este caso, no hay una fuente de entrada explícita conectada a $R_1$, lo que implica que la corriente a través de $R_1$ es cero si no hay una señal de entrada. Sin embargo, el problema pide $v_o(t)$ para $t>0$ con una condición inicial $v_o(0)=4V$. Esto sugiere que estamos analizando la respuesta natural del circuito o la descarga del condensador.

Vamos a asumir que la entrada $V_{in}$ es cero para $t>0$ y que la condición inicial $v_o(0)=4V$ se debe a una carga previa del condensador. Si $V_{in} = 0$, entonces la corriente a través de $R_1$ es $I_{R1} = \frac{0 - 0}{R_1} = 0$.

La corriente que fluye a través del condensador es $I_C = C \frac{dV_C}{dt}$. La tensión a través del condensador es $V_C = V_- - V_o = 0 - V_o = -V_o$. Por lo tanto, $I_C = C \frac{d(-V_o)}{dt} = -C \frac{dV_o}{dt}$.

La corriente que fluye a través de $R_f$ es $I_{Rf} = \frac{V_- - V_o}{R_f} = \frac{0 - V_o}{R_f} = -\frac{V_o}{R_f}$.

Aplicando LCK en el nodo inversor ($V_-$):
$I_{R1} + I_C + I_{Rf} = 0$
$0 + (-C \frac{dV_o}{dt}) + (-\frac{V_o}{R_f}) = 0$
$-C \frac{dV_o}{dt} - \frac{V_o}{R_f} = 0$

✨ Paso 3: Resolver la ecuación diferencial.

Reorganizamos la ecuación diferencial:
$C \frac{dV_o}{dt} = -\frac{V_o}{R_f}$
$\frac{dV_o}{dt} = -\frac{1}{R_f C} V_o$

Esta es una ecuación diferencial de primer orden de la forma $\frac{dy}{dt} = -ky$, cuya solución general es $y(t) = A e^{-kt}$.

En nuestro caso, $V_o(t) = A e^{-\frac{t}{R_f C}}$.

✨ Paso 4: Usar la condición inicial para encontrar la constante A.

Se nos da que $v_o(0) = 4$ voltios.

Sustituyendo $t=0$ en la solución general:
$V_o(0) = A e^{-\frac{0}{R_f C}} = A e^0 = A$

Por lo tanto, $A = 4$ voltios.

La expresión para $V_o(t)$ es $V_o(t) = 4 e^{-\frac{t}{R_f C}}$.

✨ Paso 5: Sustituir los valores de los componentes.

$R_f = 50 \text{ K}\Omega = 50 \times 10^3 \text{ } \Omega$
$C = 10 \text{ } \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$

Calculamos el producto $R_f C$:
$R_f C = (50 \times 10^3 \text{ } \Omega) \times (10 \times 10^{-6} \text{ F})$
$R_f C = 500 \times 10^{-3} \text{ s} = 0.5 \text{ s}$

✨ Paso 6: Escribir la expresión final para $v_o(t)$.

Sustituyendo el valor de $R_f C$ en la ecuación:
$V_o(t) = 4 e^{-\frac{t}{0.5}}$
$V_o(t) = 4 e^{-2t}$

La tensión de salida $v_o(t)$ para $t > 0$ es $4e^{-2t}$ voltios.