Zwei Autos fahren gleichzeitig aufeinander zu. Das erste Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 75 km/h, das zweite mit 65 km/h. Wie groß war die Entfernung zwischen ihnen, wenn sie sich nach 3 Stunden treffen?

Um die Entfernung zwischen den Autos zu berechnen, müssen wir zunächst die Gesamtgeschwindigkeit bestimmen und diese dann mit der Reisezeit multiplizieren.

1. Gesamtgeschwindigkeit berechnen:
   Die Gesamtgeschwindigkeit ist gleich der Summe der Geschwindigkeiten des ersten und des zweiten Autos.
   $$75 \text{ km/h} + 65 \text{ km/h} = 140 \text{ km/h}$$

2. Entfernung berechnen:
   Die Entfernung ist gleich der Gesamtgeschwindigkeit multipliziert mit der Reisezeit.
   $$140 \text{ km/h} \times 3 \text{ h} = 420 \text{ km}$$

Antwort: Die Entfernung zwischen den Autos betrug 420 km. 🚗💨

Zwei Autos fahren gleichzeitig aufeinander zu. Das erste Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 75 km/h, das zweite mit 65 km/h. Wie groß war die Entfernung zwischen ihnen, wenn sie sich nach 3 Stunden treffen?

Lösung:

Wenn sich zwei Autos aufeinander zubewegen, verringert sich der Abstand zwischen ihnen mit einer Geschwindigkeit, die gleich der Summe ihrer Geschwindigkeiten ist.

Schritt 1: Berechnen der Gesamtgeschwindigkeit der Annäherung:
$v_{gesamt} = v_1 + v_2 = 75 + 65 = 140$ km/h

Schritt 2: Verwenden der Formel zur Berechnung der Entfernung:
$S = v_{gesamt} \cdot t$

Schritt 3: Einsetzen der bekannten Werte:
$S = 140 \cdot 3 = 420$ km

Antwort:

Der anfängliche Abstand zwischen den Autos betrug 420 Kilometer.

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $y=-2x^2+8x-5$

Um den Graphen der quadratischen Funktion $y=-2x^2+8x-5$ zu zeichnen, führen wir die folgenden Schritte aus:

1. Bestimmen der Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel
   Die Funktion hat die Form $y=a(x-h)^2+k$, wobei $(h,k)$ die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.

Für unsere Funktion $y=-2x^2+8x-5$ ist der Koeffizient $a=-2$.

Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts: $h = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

Die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts: $k = f(h) = -2(2)^2+8(2)-5 = -2(4)+16-5 = -8+16-5 = 3$

Somit befindet sich der Scheitelpunkt der Parabel im Punkt $(2,3)$.

2. Bestimmen der Richtung der Parabeläste
   Da der Koeffizient $a=-2$ negativ ist, sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet.

3. Finden der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Mit der $y$-Achse (bei $x=0$):
$y = -2(0)^2+8(0)-5 = -5$
Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $(0,-5)$

Mit der $x$-Achse (bei $y=0$):
$0 = -2x^2+8x-5$
$2x^2-8x+5 = 0$

Verwenden der Diskriminantenformel: $D = b^2-4ac = (-8)^2-4(2)(5) = 64-40 = 24$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

$x_1 \approx 3.22$ und $x_2 \approx 0.78$

Schnittpunkte mit der $x$-Achse: $(0.78,0)$ und $(3.22,0)$

4. Zeichnen des Graphen
   Der Graph ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt im Punkt $(2,3)$, deren Äste nach unten gerichtet sind und die die $y$-Achse im Punkt $(0,-5)$ und die $x$-Achse in den Punkten $(0.78,0)$ und $(3.22,0)$ schneidet.