✅ Aufgabe 17a

Um den Term $49c^2 - 70c + 25$ als Produkt zu schreiben, wenden wir die zweite binomische Formel "rückwärts" an. Die zweite binomische Formel lautet $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Schritt 1: Identifiziere die Quadrate.
Wir suchen nach Termen, die Quadrate sind. Hier sind $49c^2$ und $25$ die Quadrate.
* $49c^2 = (7c)^2$, also ist $a = 7c$.
* $25 = 5^2$, also ist $b = 5$.

Schritt 2: Überprüfe den mittleren Term.
Der mittlere Term in der binomischen Formel ist $-2ab$. Wir müssen überprüfen, ob $-2 \cdot (7c) \cdot 5$ gleich $-70c$ ist.
* $-2 \cdot 7c \cdot 5 = -14c \cdot 5 = -70c$.

Da der mittlere Term übereinstimmt, können wir den Ausdruck als Quadrat einer Differenz schreiben.

Schritt 3: Schreibe den Term als Produkt.
Der Term $49c^2 - 70c + 25$ kann als $(7c - 5)^2$ geschrieben werden.

Lösung:
$49c^2 - 70c + 25 = (7c - 5)^2$

✅ Aufgabe 17b

Um den Term $4z^2 + 24z + 36$ als Produkt zu schreiben, wenden wir die erste binomische Formel "rückwärts" an. Die erste binomische Formel lautet $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Schritt 1: Identifiziere die Quadrate.
Wir suchen nach Termen, die Quadrate sind. Hier sind $4z^2$ und $36$ die Quadrate.
* $4z^2 = (2z)^2$, also ist $a = 2z$.
* $36 = 6^2$, also ist $b = 6$.

Schritt 2: Überprüfe den mittleren Term.
Der mittlere Term in der binomischen Formel ist $2ab$. Wir müssen überprüfen, ob $2 \cdot (2z) \cdot 6$ gleich $24z$ ist.
* $2 \cdot 2z \cdot 6 = 4z \cdot 6 = 24z$.

Da der mittlere Term übereinstimmt, können wir den Ausdruck als Quadrat einer Summe schreiben.

Schritt 3: Schreibe den Term als Produkt.
Der Term $4z^2 + 24z + 36$ kann als $(2z + 6)^2$ geschrieben werden.

Lösung:
$4z^2 + 24z + 36 = (2z + 6)^2$

✅ Aufgabe 17c

Um den Term $9a^2 - \frac{16}{25}$ als Produkt zu schreiben, wenden wir die dritte binomische Formel "rückwärts" an. Die dritte binomische Formel lautet $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Schritt 1: Identifiziere die Quadrate.
Wir suchen nach Termen, die Quadrate sind. Hier sind $9a^2$ und $\frac{16}{25}$ die Quadrate.
* $9a^2 = (3a)^2$, also ist $a = 3a$.
* $\frac{16}{25} = (\frac{4}{5})^2$, also ist $b = \frac{4}{5}$.

Schritt 2: Wende die dritte binomische Formel an.
Der Term $9a^2 - \frac{16}{25}$ kann als $(3a - \frac{4}{5})(3a + \frac{4}{5})$ geschrieben werden.

Lösung:
$9a^2 - \frac{16}{25} = (3a - \frac{4}{5})(3a + \frac{4}{5})$

✅ Aufgabe 18a

Um den Term $(5a - \frac{2}{3}b) \cdot (5a + \frac{2}{3}b)$ zu vereinfachen, wenden wir die dritte binomische Formel an. Die dritte binomische Formel lautet $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Schritt 1: Identifiziere $x$ und $y$.
In diesem Fall ist $x = 5a$ und $y = \frac{2}{3}b$.

Schritt 2: Wende die Formel an.
Setze die Werte für $x$ und $y$ in die Formel $x^2 - y^2$ ein.
* $x^2 = (5a)^2 = 25a^2$
* $y^2 = (\frac{2}{3}b)^2 = \frac{2^2}{3^2}b^2 = \frac{4}{9}b^2$

Schritt 3: Schreibe den vereinfachten Term.
Der vereinfachte Term ist $25a^2 - \frac{4}{9}b^2$.

Lösung:
$(5a - \frac{2}{3}b) \cdot (5a + \frac{2}{3}b) = 25a^2 - \frac{4}{9}b^2$

✅ Aufgabe 18b

Um den Term $(4r + 5s)^2 - 25s^2$ zu vereinfachen, müssen wir zuerst das Quadrat ausmultiplizieren und dann die Terme zusammenfassen.

Schritt 1: Wende die erste binomische Formel an.
Die erste binomische Formel lautet $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Für $(4r + 5s)^2$ ist $a = 4r$ und $b = 5s$.
* $(4r + 5s)^2 = (4r)^2 + 2 \cdot (4r) \cdot (5s) + (5s)^2$
* $= 16r^2 + 40rs + 25s^2$

Schritt 2: Setze das Ergebnis in den ursprünglichen Term ein.
Nun ersetzen wir $(4r + 5s)^2$ durch den ausmultiplizierten Ausdruck:
* $(16r^2 + 40rs + 25s^2) - 25s^2$

Schritt 3: Vereinfache den Term.
Fasse gleiche Terme zusammen. Hier heben sich $25s^2$ und $-25s^2$ gegenseitig auf.
* $16r^2 + 40rs + 25s^2 - 25s^2 = 16r^2 + 40rs$

Lösung:
$(4r + 5s)^2 - 25s^2 = 16r^2 + 40rs$

✅ Aufgabe 18c

Um den Term $(5x - 3y)^2 + 9y \cdot (\frac{10}{3}x - y)$ zu vereinfachen, müssen wir beide Teile des Ausdrucks ausmultiplizieren und dann die Terme zusammenfassen.

Schritt 1: Wende die zweite binomische Formel an.
Die zweite binomische Formel lautet $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Für $(5x - 3y)^2$ ist $a = 5x$ und $b = 3y$.
* $(5x - 3y)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot (3y) + (3y)^2$
* $= 25x^2 - 30xy + 9y^2$

Schritt 2: Multipliziere den zweiten Teil des Ausdrucks aus.
* $9y \cdot (\frac{10}{3}x - y) = 9y \cdot \frac{10}{3}x - 9y \cdot y$
* $= (9 \cdot \frac{10}{3})xy - 9y^2$
* $= 30xy - 9y^2$

Schritt 3: Kombiniere die ausmultiplizierten Terme.
Addiere die Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2:
* $(25x^2 - 30xy + 9y^2) + (30xy - 9y^2)$

Schritt 4: Vereinfache den Term.
Fasse gleiche Terme zusammen. Hier heben sich $-30xy$ und $+30xy$ gegenseitig auf, ebenso wie $+9y^2$ und $-9y^2$.
* $25x^2 - 30xy + 9y^2 + 30xy - 9y^2 = 25x^2$

Lösung:
$(5x - 3y)^2 + 9y \cdot (\frac{10}{3}x - y) = 25x^2$

✅ Aufgabe 19a

Cassandra stellt fest, dass bei dem Term $x^2 + 12x + 1$ der richtige Summand am Ende fehlt, um eine binomische Formel "rückwärts" anwenden zu können. Sie wendet einen Trick an, der in der Beispielrechnung gezeigt wird:

$x^2 + 12x + 1$
$= x^2 + 12x + 36 - 36 + 1$
$= (x^2 + 12x + 36) - 35$
$= (x + 6)^2 - 35$

Erklärung von Cassandras Trick:
Cassandras Trick besteht darin, den Term so zu ergänzen, dass er eine vollständige binomische Formel bildet, und gleichzeitig den Wert des ursprünglichen Ausdrucks nicht zu verändern. Dies wird durch das Hinzufügen und sofortige Subtrahieren derselben Zahl erreicht.

Schritt 1: Identifiziere den fehlenden Term für die binomische Formel.
Gegeben ist $x^2 + 12x + 1$. Für eine binomische Formel $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ haben wir $a = x$ und $2ab = 12x$. Daraus folgt $2xb = 12x$, also $2b = 12$, was $b = 6$ ergibt.
Der fehlende Term wäre $b^2 = 6^2 = 36$.

Schritt 2: Addiere und subtrahiere den fehlenden Term.
Cassandra addiert $36$ (den fehlenden Term) und subtrahiert sofort $36$, um den Wert des Ausdrucks nicht zu ändern:
$x^2 + 12x + 1 = x^2 + 12x + 36 - 36 + 1$

Schritt 3: Gruppiere die Terme, um die binomische Formel zu bilden.
Die ersten drei Terme bilden nun eine vollständige binomische Formel:
$(x^2 + 12x + 36) - 36 + 1$

Schritt 4: Wende die binomische Formel an und vereinfache den Rest.
$(x + 6)^2 - 35$

Dieser Trick wird als quadratische Ergänzung bezeichnet. Er ist nützlich, um quadratische Ausdrücke in die Scheitelpunktform zu bringen oder um Gleichungen zu lösen, die nicht einfach faktorisiert werden können.

Lösung:
Cassandras Trick ist die quadratische Ergänzung. Sie addiert und subtrahiert den Term, der benötigt wird, um eine vollständige binomische Formel zu bilden, ohne den Wert des Ausdrucks zu ändern. Dies ermöglicht es, den Ausdruck in die Form $(a \pm b)^2 + c$ zu bringen.