Aufgabe 3b

Füllen Sie die Tabelle aus, indem Sie die Transformationen der Sinusfunktionen analysieren. Die allgemeine Form ist $f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$.

• Streckung/Stauchung in x-Richtung (horizontal): Bestimmt durch den Faktor $b$.
  • Wenn $|b| > 1$, ist die Funktion in x-Richtung gestaucht (Periode kleiner).
  • Wenn $0 < |b| < 1$, ist die Funktion in x-Richtung gestreckt (Periode größer).
• Streckung/Stauchung in y-Richtung (vertikal): Bestimmt durch den Faktor $a$.
  • Wenn $|a| > 1$, ist die Funktion in y-Richtung gestreckt (Amplitude größer).
  • Wenn $0 < |a| < 1$, ist die Funktion in y-Richtung gestaucht (Amplitude kleiner).
• Verschiebung nach links/rechts: Bestimmt durch den Faktor $c$.
  • Wenn $c > 0$, ist die Funktion um $c$ Einheiten nach rechts verschoben.
  • Wenn $c < 0$, ist die Funktion um $|c|$ Einheiten nach links verschoben.
• Verschiebung nach oben/unten: Bestimmt durch den Faktor $d$.
  • Wenn $d > 0$, ist die Funktion um $d$ Einheiten nach oben verschoben.
  • Wenn $d < 0$, ist die Funktion um $|d|$ Einheiten nach unten verschoben.
• Spiegelung an der x-Achse: Wenn $a < 0$, ist die Funktion an der x-Achse gespiegelt.

Lösung der Tabelle:

Aufgabe c)

Die Aufgabe besteht darin, die gegebene logarithmische Gleichung nach $x$ aufzulösen. Die Schritte sind korrekt ausgeführt, und ich werde sie hier detailliert erklären.

Gegebene Gleichung:
$4 \cdot \log(2x - 4) = 12$

Schritt 1: Division durch 4
Um den Logarithmus zu isolieren, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 4:
$ \frac{4 \cdot \log(2x - 4)}{4} = \frac{12}{4} $
$ \log(2x - 4) = 3 $

Schritt 2: Umwandlung in Exponentialform
Der Logarithmus ohne angegebene Basis ist in der Regel der Zehnerlogarithmus (Basis 10). Das bedeutet, $\log(A) = B$ ist äquivalent zu $10^B = A$.
In unserem Fall ist $A = (2x - 4)$ und $B = 3$. Also:
$ 2x - 4 = 10^3 $

Schritt 3: Berechnung der Potenz
Berechne den Wert von $10^3$:
$ 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 $
Die Gleichung wird zu:
$ 2x - 4 = 1000 $

Schritt 4: Addition von 4
Um den Term mit $x$ zu isolieren, addieren wir 4 zu beiden Seiten der Gleichung:
$ 2x - 4 + 4 = 1000 + 4 $
$ 2x = 1004 $

Schritt 5: Division durch 2
Um $x$ zu finden, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 2:
$ \frac{2x}{2} = \frac{1004}{2} $
$ x = 502 $

Schritt 6: Überprüfung der Definitionsmenge
Für einen Logarithmus muss das Argument positiv sein. Das bedeutet, $2x - 4 > 0$.
Setzen wir $x = 502$ ein:
$ 2(502) - 4 = 1004 - 4 = 1000 $
Da $1000 > 0$, ist die Lösung gültig. ✅

Ich kann das Bild leider nicht interpretieren, da es sich um eine Zeichnung handelt und keine spezifischen Aufgabenstellungen vorhanden sind. Um das Bild zu analysieren, benötige ich weitere Informationen oder spezifische Fragen zu den künstlerischen Mitteln.