Der Kosinussatz verbindet die drei Seiten eines Dreiecks und einen seiner Winkel: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Er gilt in jedem Dreieck und ersetzt daher in der 9. Klasse den Satz des Pythagoras, wenn kein rechter Winkel vorhanden ist. Mit ihm kann die dritte Seite gefunden werden, wenn zwei andere Seiten und der Winkel dazwischen bekannt sind, und mit der Folgerung \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) kann jeder Winkel bei drei bekannten Seiten und die Art des Dreiecks bestimmt werden. Auf der Seite finden Sie die Formulierung und alle drei Schreibweisen der Formel, den Beweis, eine Tabelle der Kosinuswerte, ein Merkblatt „Sinus oder Kosinus“, Lösungen von OGE-Aufgaben und einen Trainer zur Selbstkontrolle.
Kosinussatz: Formulierung und Formel
Der Kosinussatz gilt in jedem Dreieck – ein rechter Winkel ist nicht erforderlich. Er verbindet drei Seiten und einen Winkel, sodass damit eine Seite gefunden werden kann, wenn die beiden anderen Seiten und der Winkel dazwischen bekannt sind.
Formulierung. Das Quadrat einer Dreiecksseite ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, abzüglich des doppelten Produkts dieser Seiten mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.
Hier sind \(a\), \(b\), \(c\) die Seiten des Dreiecks und \(C\) der Winkel zwischen den Seiten \(a\) und \(b\); die Seite \(c\) liegt diesem Winkel gegenüber. Die Buchstaben können beliebig gewählt werden – die Formel ist symmetrisch, daher hat sie drei gleichberechtigte Schreibweisen:
Die wichtigste Regel für die Einsetzung: Der Winkel muss der sein, der zwischen den beiden Seiten im Produkt eingeschlossen ist, und die Seite, die ihm gegenüberliegt, wird gesucht. Wenn ein „benachbarter“ Winkel verwendet wird, sind alle Zahlen aus der Aufgabenstellung und das Ergebnis falsch.
Warum der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes ist
Setzen wir im Kosinussatz einen rechten Winkel ein, also \(C = 90°\). Der Kosinus eines rechten Winkels ist Null, daher fällt der dritte Term komplett weg:
Das ist genau der Satz des Pythagoras, den wir aus der 8. Klasse kennen. Deshalb wird der Kosinussatz als seine Verallgemeinerung bezeichnet: Pythagoras ist ein „Spezialfall für 90°“, und der Kosinussatz gilt für alle Winkel gleichzeitig.
Der Term \(-2ab\cos C\) kann gut als Korrektur für die Nicht-Rechtwinkligkeit verstanden werden:
- Der Winkel ist spitz, \(\cos C > 0\) – die Korrektur wird abgezogen, die Seite \(c\) ist kürzer, als Pythagoras ergeben würde;
- Der Winkel ist rechtwinklig, \(\cos C = 0\) – keine Korrektur, es bleibt \(c^2 = a^2 + b^2\);
- Der Winkel ist stumpf, \(\cos C < 0\) – die Korrektur wird addiert, die Seite \(c\) ist länger.
Beweis des Kosinussatzes
Der kürzeste Schulbeweis ist der Koordinatenbeweis. Wir legen die Ecke \(C\) in den Ursprung und die Seite \(b = CA\) entlang der x-Achse. Dann sind die Koordinaten der Ecken:
- \(C(0;\ 0)\) – Ursprung;
- \(A(b;\ 0)\) – Punkt auf der x-Achse im Abstand \(b\) vom Ursprung;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) – Ecke im Abstand \(a\) vom Ursprung unter einem Winkel \(C\) zur x-Achse.
Die Seite \(c\) ist die Länge der Strecke \(AB\). Wir berechnen sie mit der Abstandsformel zwischen zwei Punkten:
Wir lösen die Klammern auf:
Wir gruppieren die Terme mit \(a^2\) und wenden die trigonometrische Grundidentität \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\) an:
Was zu beweisen war. Beachten Sie: Es wurde nirgends gefordert, dass der Winkel \(C\) spitz sein muss. Wenn er stumpf ist, ist der Kosinus negativ, die Koordinate \(a\cos C\) liegt links von der y-Achse, aber alle Berechnungen bleiben gleich – daher ist der Satz für jedes Dreieck gültig.
Folgerung: Winkel bei drei Seiten finden
Aus dem Kosinussatz wird der Kosinus selbst ausgedrückt – das ist seine wichtigste Folgerung. Damit wird der Winkel gefunden, wenn alle drei Seiten bekannt sind:
Im Zähler steht die Summe der Quadrate zweier Seiten, die an den Winkel angrenzen, minus dem Quadrat der Seite, die ihm gegenüber liegt. Im Nenner steht das Doppelte des Produkts der angrenzenden Seiten. Für andere Winkel gelten die gleichen Formeln:
Reihenfolge der Lösung:
- Wähle den gesuchten Winkel und bestimme, welche Seite ihm gegenüberliegt – ihr Quadrat kommt mit negativem Vorzeichen in den Zähler;
- Berechne den Bruch (der Nenner ist immer positiv, das Vorzeichen bestimmt nur der Zähler);
- Bestimme den Winkel selbst anhand einer Wertetabelle oder des Arkuskosinus.
Ein nützlicher Trick: Beginne mit der größten Seite. Ihr gegenüber liegt der größte Winkel, und nur dieser kann rechtwinklig oder stumpf sein – die beiden anderen Winkel im Dreieck sind immer spitz.
Kosinus stumpfer Winkel: Wertetabelle
In Schulaufgaben sind die Winkel fast immer „tabelliert“: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Bei spitzen Winkeln ist der Kosinus positiv, bei einem rechten Winkel Null und bei stumpfen Winkeln – negativ. Die Werte für stumpfe Winkel werden aus den Werten für spitze Winkel nach der Reduktionsformel \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) abgeleitet: z. B. \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Was bedeutet das in der Praxis: Bei einem stumpfen Winkel wird der Term \(-2ab\cos C\) zu einem Plus – Minus mal Minus. Für den Winkel \(120°\) sieht die Formel so aus:
Genau hier werden die meisten Fehler gemacht: Man setzt \(0{,}5\) statt \(-0{,}5\) ein und erhält eine Seite, die kürzer ist als beide gegebenen. Das ist offensichtlich unmöglich – gegenüber einem stumpfen Winkel liegt die längste Seite des Dreiecks.
| Winkel | Kosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Dreiecksart bei drei Seiten bestimmen
Der Kosinussatz ermöglicht es, die Art eines Dreiecks zu bestimmen, ohne Winkel mit dem Geodreieck zu messen. Das Vorzeichen des Bruchs \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) hängt nur vom Zähler ab: Der Nenner \(2ab\) ist immer positiv. Daher genügt es, das Quadrat der größten Seite mit der Summe der Quadrate der beiden anderen zu vergleichen.
Sei \(c\) die größte Seite, dann liegt ihr der größte Winkel \(C\) gegenüber:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → Winkel \(C\) ist spitz. Die anderen Winkel sind kleiner als er, also sind alle drei Winkel spitz – das Dreieck ist spitzwinklig;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) – das Dreieck ist rechtwinklig (das ist der Umkehrsatz des Pythagoras);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → Winkel \(C\) ist stumpf – das Dreieck ist stumpfwinklig.
Die anderen Winkel müssen nicht geprüft werden: Ein rechter oder stumpfer Winkel kann in einem Dreieck nur einmal vorkommen. Und vergessen Sie nicht die Dreiecksungleichung: Wenn die größte Seite nicht kleiner ist als die Summe der beiden anderen, existiert ein Dreieck mit diesen Seiten überhaupt nicht.
Sinussatz oder Kosinussatz: Wie wählt man?
Beide Sätze lösen dieselbe Aufgabe – sie finden unbekannte Seiten und Winkel eines Dreiecks –, werden aber aus unterschiedlichen Datensätzen angewendet. Der Sinussatz verbindet eine Seite mit dem ihr gegenüberliegenden Winkel:
Daraus ergibt sich die Wahlregel: Wenn in der Aufgabenstellung bereits ein Paar „Seite und gegenüberliegender Winkel“ vorhanden ist – dann greift der Sinussatz; wenn ein solches Paar fehlt – beginnt man mit dem Kosinussatz. Eine Übersicht über die vier schulüblichen Datensätze finden Sie in der Tabelle.
Oft wird eine Aufgabe in zwei Schritten gelöst: Zuerst liefert der Kosinussatz die dritte Seite, und dann findet der Sinussatz schnell die restlichen Winkel.
| Was ist bekannt | Was wird angewendet |
|---|---|
| SWWZwei Seiten und der eingeschlossene Winkel | Kosinussatzfindet die dritte Seite |
| SSSAlle drei Seiten | Kosinussatzfindet jeden Winkel und die Dreiecksart |
| WSWEine Seite und zwei Winkel | Sinussatzfindet die beiden anderen Seiten |
| SSWZwei Seiten und ein Winkel gegenüber einer davon | Sinussatzfindet den gegenüberliegenden Winkel |
Kosinussatz in OGE-Aufgaben
In der OGE-Mathematikprüfung kommt der Kosinussatz in Planimetrie-Aufgaben vor – sowohl im ersten Teil als auch in Aufgaben mit ausführlicher Antwort. Typische Szenarien sind:
- Seite finden bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel – direkte Anwendung der Formel, meist mit Winkeln von 60° oder 120°.
- Winkel oder seinen Kosinus bei drei Seiten finden – Folgerung \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Wenn in der Aufgabe steht „finden Sie \(\cos\angle A\)“, muss kein Arkuskosinus berechnet werden: Die Antwort ist genau dieser Bruch, der aufgeschrieben wird.
- Diagonalen eines Parallelogramms. Eine Diagonale teilt ein Dreieck aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel ab. Benachbarte Winkel eines Parallelogramms ergeben zusammen 180°, daher sind ihre Kosinuswerte entgegengesetzt: Gegenüber dem spitzen Winkel liegt die kürzere Diagonale, gegenüber dem stumpfen die längere.
- Dreiecksart bei drei Zahlen bestimmen – Vergleich von \(a^2 + b^2\) mit \(c^2\).
- Median eines Dreiecks. Die Formel \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) wird durch zweifache Anwendung des Kosinussatzes auf zwei benachbarte Winkel an der Basis abgeleitet.
Ein Tipp für die Prüfung: Markieren Sie vor der Berechnung den Winkel in der Skizze, der zwischen den bekannten Seiten „eingeklemmt“ ist. Wenn ein solcher Winkel fehlt – der Kosinussatz ist noch nicht anwendbar, suchen Sie einen anderen Weg.
Beispiele für Aufgaben zum Kosinussatz
Beispiel 1. Seite finden bei zwei Seiten und einem Winkel von 60°
Aufgabe. In einem Dreieck \(ABC\) sind die Seiten \(a = 7\) und \(b = 15\), der eingeschlossene Winkel \(C = 60°\). Finde die Seite \(c\).
Schritt 1. Der Winkel \(C\) ist zwischen den Seiten \(a\) und \(b\) eingeschlossen – das ist genau der Fall, für den der Satz entwickelt wurde:
Schritt 2. Zahlen einsetzen, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Schritt 3. Wurzel ziehen: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Antwort: \(13\). Plausibilitätsprüfung: Der Winkel \(60°\) ist spitz, daher ist die gegenüberliegende Seite nicht die längste – tatsächlich ist \(13 < 15\).
Beispiel 2. Stumpfer Winkel: Minus mal Minus
Aufgabe. In einem Dreieck \(ABC\) ist bekannt: \(AB = 6\), \(BC = 10\), Winkel \(B = 120°\). Finde die Seite \(AC\).
Schritt 1. Der Winkel \(B\) ist zwischen den Seiten \(AB\) und \(BC\) eingeschlossen, und die Seite \(AC\) liegt ihm gegenüber:
Schritt 2. Der Winkel ist stumpf, daher \(\cos 120° = -0{,}5\). Das Minus vor dem Produkt und das Minus beim Kosinus ergeben ein Plus:
Schritt 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Antwort: \(14\). Prüfung: Gegenüber dem stumpfen Winkel liegt die längste Seite – \(14\) ist größer als sowohl \(6\) als auch \(10\).
Beispiel 3. Winkel bei drei Seiten finden
Aufgabe. Die Seiten eines Dreiecks sind \(3\), \(5\) und \(7\). Finde seinen größten Winkel.
Schritt 1. Der größte Winkel liegt gegenüber der größten Seite, also gegenüber der Seite \(7\). Nennen wir ihn \(C\), dann ist \(c = 7\), und die angrenzenden Seiten sind \(a = 3\) und \(b = 5\).
Schritt 2. Wir wenden die Folgerung an:
Schritt 3. Der Kosinus ist negativ – der Winkel ist stumpf. Laut Wertetabelle ist \(\cos 120° = -0{,}5\), also ist \(C = 120°\).
Antwort: \(120°\). Nebenbei wurde festgestellt, dass das Dreieck stumpfwinklig ist.
Beispiel 4. Dreiecksart bestimmen
Aufgabe. Bestimme die Art des Dreiecks mit den Seiten \(6\), \(7\) und \(10\).
Schritt 1. Wir prüfen die Dreiecksungleichung: \(6 + 7 = 13 > 10\) – das Dreieck existiert. Die größte Seite ist \(10\).
Schritt 2. Wir vergleichen die Summe der Quadrate der beiden kleineren Seiten mit dem Quadrat der größten Seite:
Schritt 3. \(85 < 100\), also ist der Zähler des Bruchs negativ und \(\cos C < 0\) – der Winkel gegenüber der Seite \(10\) ist stumpf. Bei Bedarf kann auch der Winkel selbst gefunden werden:
Antwort: Das Dreieck ist stumpfwinklig. Beachte: Das ist optisch nicht sofort ersichtlich – die Seiten sind fast gleich lang, aber der Winkel ist bereits über \(90°\).
Beispiel 5. OGE-Aufgabe: Parallelogramm-Diagonale
Aufgabe. Die Seiten eines Parallelogramms sind \(5\) und \(8\), der spitze Winkel ist \(60°\). Finde die kürzere Diagonale.
Schritt 1. Die Diagonale teilt ein Dreieck ab, bei dem zwei Seiten (\(5\) und \(8\)) und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. Die kürzere Diagonale liegt gegenüber dem spitzen Winkel von \(60°\).
Schritt 2. Berechnung:
Schritt 3. Prüfung. Die zweite Diagonale liegt gegenüber dem Winkel \(120°\) (benachbarte Winkel eines Parallelogramms ergeben zusammen \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), also \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Die Summe der Quadrate der Diagonalen ist \(49 + 129 = 178\), und die doppelte Summe der Quadrate der Seiten ist \(2(25 + 64) = 178\). Stimmt überein, also ist die Berechnung korrekt.
Antwort: \(7\).
Häufige Fehler bei Kosinussatz-Aufgaben
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Man nimmt den Kosinus eines stumpfen Winkels mit positivem Vorzeichen. Bei den Seiten $4$ und $9$ mit einem Winkel von $120°$ dazwischen schreibt man $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ und erhält $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), und Minus mal Minus ergibt Plus: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), also \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Schnelle Prüfung: Gegenüber einem stumpfen Winkel liegt die längste Seite, daher muss die Antwort größer als \(9\) sein.
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Man setzt einen Winkel ein, der nicht zwischen den gegebenen Seiten liegt: In der Aufgabenstellung ist ein Winkel gegeben, und man verwendet ihn „wie er ist“, ohne auf die Skizze zu schauen.
In der Formel \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) bilden die Seiten \(a\) und \(b\) den Winkel \(C\), und die Seite \(c\) liegt ihm gegenüber. Wenn der gegebene Winkel an der gesuchten Seite anliegt, passt diese Schreibweise nicht – eine der anderen drei oder der Sinussatz ist erforderlich.
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Man vergisst, die Wurzel zu ziehen, und schreibt das Quadrat der Seite als Antwort: Man erhält $c^2 = 225$ und schreibt „die Seite ist 225“.
Die Formel liefert immer das Quadrat der Seite. Der letzte Schritt ist obligatorisch: \(c = \sqrt{225} = 15\). Lies die Aufgabenstellung vor dem Aufschreiben der Antwort noch einmal durch.
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Man vertauscht die Reihenfolge der Terme in der Folgerung und schreibt $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Der korrekte Zähler ist \(a^2 + b^2 - c^2\): Summe der Quadrate der angrenzenden Seiten minus dem Quadrat der gegenüberliegenden. Bei Vertauschung ändert sich das Vorzeichen des Bruchs, und statt eines stumpfen Winkels von \(120°\) erhält man einen spitzen von \(60°\).
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Man findet den Winkel nach dem Betrag des Kosinus: Man erhält −0,25 und schreibt als Antwort einen spitzen Winkel, als ob der Kosinus +0,25 wäre.
Ein negativer Kosinus bedeutet immer einen stumpfen Winkel. Das Vorzeichen darf nicht ignoriert werden: cos 60° = 0,5, aber cos 120° = −0,5; der Arkuskosinus einer negativen Zahl ist größer als 90°.
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Man versucht, eine Aufgabe „zwei Seiten und eingeschlossener Winkel“ mit dem Sinussatz zu lösen und bleibt bei der ersten Zeile stecken.
Der Sinussatz benötigt ein fertiges Paar „Seite und gegenüberliegender Winkel“. Bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel gibt es kein solches Paar – zuerst liefert der Kosinussatz die dritte Seite, und erst dann kommt der Sinussatz zum Einsatz.
Fragen und Antworten
Wie lautet der Kosinussatz?
Das Quadrat einer Dreiecksseite ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, abzüglich des doppelten Produkts dieser Seiten mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Der Satz gilt für jedes Dreieck, nicht nur für rechtwinklige.
Wie findet man die Seite eines Dreiecks bei zwei bekannten Seiten und dem eingeschlossenen Winkel?
Setze die Daten in die Formel c² = a² + b² − 2ab·cos C ein und ziehe die Wurzel. Zum Beispiel bei den Seiten 4 und 6 und dem eingeschlossenen Winkel 60°: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, also c = √28 ≈ 5,3.
Wie findet man den Winkel eines Dreiecks, wenn alle drei Seiten bekannt sind?
Mit der Folgerung aus dem Kosinussatz: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), wobei c die Seite gegenüber dem gesuchten Winkel ist. Zum Beispiel für die Seiten 2, 3 und 4 ist der Kosinus des größten Winkels (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, also ist der Winkel stumpf, etwa 104°.
Warum ist der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes?
Weil bei einem rechten Winkel cos 90° = 0 ist und der Term −2ab·cos C wegfällt. Von der Formel bleibt c² = a² + b² übrig – das ist der Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck.
Gilt der Kosinussatz auch in stumpfwinkligen Dreiecken?
Ja, und er gilt unverändert. Ein stumpfer Winkel hat einen negativen Kosinus, daher wird der Term −2ab·cos C positiv und zur Summe der Quadrate addiert. Genau deshalb ist die Seite gegenüber dem stumpfen Winkel die längste.
Wann wendet man den Sinussatz und wann den Kosinussatz an?
Der Sinussatz wird benötigt, wenn in der Aufgabenstellung bereits ein Paar „Seite und gegenüberliegender Winkel“ vorhanden ist – zum Beispiel, wenn eine Seite und zwei Winkel gegeben sind. Der Kosinussatz wird verwendet, wenn ein solches Paar fehlt: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel oder alle drei Seiten sind gegeben. Oft wird eine Aufgabe in zwei Schritten gelöst: zuerst der Kosinussatz, dann der Sinussatz.
Wie bestimmt man die Art eines Dreiecks anhand von drei Seiten?
Vergleiche das Quadrat der größten Seite c² mit der Summe der Quadrate der beiden anderen. Wenn a² + b² > c² – ist das Dreieck spitzwinklig, wenn a² + b² = c² – rechtwinklig, wenn a² + b² < c² – stumpfwinklig. Das Vorzeichen dieser Differenz entspricht dem Vorzeichen des Kosinus des größten Winkels.
In welcher Klasse wird der Kosinussatz behandelt?
In der 9. Klasse im Geometrieunterricht, im Thema „Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln eines Dreiecks“ – zusammen mit dem Sinussatz. Danach wird er ständig in OGE- und ЕГЭ-Aufgaben der Planimetrie und Stereometrie verwendet.
