Satz des Pythagoras: Formel, Beweis und Aufgaben

Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke – solche, bei denen ein Winkel \(90°\) beträgt. Die Seiten eines solchen Dreiecks haben unterschiedliche Namen:

• Katheten – die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden;
• Hypotenuse – die Seite gegenüber dem rechten Winkel, die längste Seite des Dreiecks.

Formulierung des Satzes: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten.

Hier sind \(a\) und \(b\) die Katheten, \(c\) die Hypotenuse. Manchmal wird der Satz „geometrisch“ formuliert: Die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten. Das ist derselbe Satz, nur über Flächen statt über Zahlen gesprochen.

Eine einfache Regel hilft, sich die Reihenfolge der Buchstaben zu merken: Unter dem großen Buchstaben \(c\) verbirgt sich immer die längste Seite. Wenn in einer Aufgabe die Hypotenuse mit einer Kathete verwechselt wird, ist das Ergebnis falsch.

Es gibt über hundert bekannte Beweise für den Satz des Pythagoras. In der Schule wird der anschaulichste behandelt – der Beweis über Flächen. Man nimmt zwei identische Quadrate mit der Seitenlänge \(a + b\) und legt in jedes vier identische rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten \(a\) und \(b\) – aber auf unterschiedliche Weise.

1. Im ersten Quadrat verschiebt man die Dreiecke zu den Ecken, sodass zwei Quadrate frei bleiben: eines mit der Seite \(a\) und eines mit der Seite \(b\). Ihre Flächen sind \(a^2\) und \(b^2\).
2. Im zweiten Quadrat ordnet man dieselben vier Dreiecke „wie eine Windmühle“ an. Frei bleibt ein schräges Quadrat mit der Seite \(c\), seine Fläche ist \(c^2\).
3. Die Flächen der großen Quadrate sind gleich: Jede ist \((a+b)^2\). Gleich ist auch die Gesamtfläche der Dreiecke: Jedes nimmt \(\frac{ab}{2}\) ein, vier zusammen ergeben \(2ab\).

Da das Ganze und der abgezogene Teil übereinstimmen, sind auch die Reste gleich: \(a^2 + b^2 = c^2\). Der Satz ist bewiesen – die Flächenbilanzen für beide Quadrate sind unter der Zeichnung aufgeführt.

Aus der einen Formel \(a^2 + b^2 = c^2\) ergeben sich alle Arbeitsformeln des Themas: Die unbekannte Seite wird aus der Gleichung ausgedrückt und die Quadratwurzel gezogen. Der Unterschied zwischen den beiden Fällen ist nur einer – und genau hier passieren die meisten Fehler:

• Hypotenuse sucht man über die Summe der Kathetenquadrate – sie muss länger als jede Kathete sein;
• Kathete – über die Differenz: Vom Hypotenusenquadrat zieht man das Quadrat der bekannten Kathete ab, und das Ergebnis muss kürzer als die Hypotenuse sein.

Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht, hat man die Hypotenuse mit einer Kathete verwechselt – zurück zur Zeichnung und den rechten Winkel suchen. Und noch ein Detail: Die Wurzel am Ende ist obligatorisch, hier werden die meisten Punkte verloren.

Eine fertige Übersicht mit allen Formeln gibt es weiter unten.

Umkehrsatz des Pythagoras: Wenn das Quadrat einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig, und der rechte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite.

Dies ist ein praktisches Werkzeug: Anhand von drei Zahlen kann man die Art des Dreiecks erkennen, ohne es mit einem Geodreieck zu messen. Die Vorgehensweise ist folgende:

1. die längste Seite finden – sie ist der Kandidat für die Hypotenuse;
2. die beiden kürzeren Seiten quadrieren und addieren;
3. mit dem Quadrat der längsten Seite vergleichen.

Wenn die Gleichheit eintritt – ist das Dreieck rechtwinklig. Zum Beispiel bei den Seiten 6, 8 und 10: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), also ist das Dreieck rechtwinklig.

Sammlungen von ganzen Zahlen, für die die Gleichheit gilt, nennt man pythagoreische Tripel. Das bekannteste ist 3, 4, 5: Ein solches Dreieck nennt man Ägyptisches Dreieck, weil die Baumeister im Alten Ägypten eine Schnur in 12 gleiche Teile teilten und sie zu einem Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 legten, um einen exakten rechten Winkel auf der Baustelle zu erhalten. Diese Methode wird bis heute angewendet.

Der Satz des Pythagoras wird immer dann benötigt, wenn man in einer Figur ein rechtwinkliges Dreieck erkennen kann:

• Diagonale eines Rechtecks. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke, daher \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). So berechnet man die Bildschirmdiagonale eines Fernsehers oder die Größe eines Raumes.
• Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks. Die zur Basis gezogene Höhe halbiert diese und bildet ein rechtwinkliges Dreieck – hier gilt dieselbe Formel.
• Diagonale eines Quadrats. Wenn die Seite \(a\) ist, dann \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
• Abstand zwischen Punkten in einem Koordinatensystem. Die Formel \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) ist der Satz des Pythagoras für ein Dreieck, das auf den Differenzen der Koordinaten aufgebaut ist.
• Praktische Aufgaben. Eine an eine Wand gelehnte Leiter; die Höhe eines Baumes anhand seines Schattens; die Länge eines Seils, einer Strebe, eines Kabels – bei all diesen Aufgaben konstruiert man ein rechtwinkliges Dreieck und wendet die Formel an.

Es ist wichtig, die wichtigste Einschränkung zu beachten: Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein rechter Winkel vorhanden ist, gilt der Kosinussatz, der in der 9. Klasse behandelt wird.