Ähnliche Dreiecke sind Dreiecke gleicher Form, aber unterschiedlicher Größe: ihre Winkel sind entsprechend gleich und ihre entsprechenden Seiten sind proportional. Die Zahl, die angibt, um wie viel größer ein Dreieck im Verhältnis zum anderen ist, nennt man Ähnlichkeitsfaktor \(k\). Drei Kriterien helfen, die Ähnlichkeit zu beweisen, und für die Verhältnisse von Umfängen und Flächen gilt eine einfache Regel: Die Umfänge verhalten sich wie \(k\), die Flächen wie \(k^2\). Auf dieser Seite finden Sie die Definition und Schreibweise der Ähnlichkeit mit der richtigen Reihenfolge der Eckpunkte, alle drei Kriterien, die Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken und die Höhe im rechtwinkligen Dreieck, Analysen von OGE-Aufgaben „Seite finden“ und einen interaktiven Trainer.
Was sind ähnliche Dreiecke und der Ähnlichkeitsfaktor?
Zwei Dreiecke nennt man ähnlich, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:
- Ihre Winkel sind entsprechend gleich — jedem Winkel des ersten Dreiecks entspricht ein gleich großer Winkel des zweiten;
- Ihre entsprechenden Seiten sind proportional — alle drei Verhältnisse ergeben dieselbe Zahl.
Entsprechende (korrespondierende) Seiten sind Seiten, die gegenüber gleichen Winkeln liegen. Sie bilden die Paare, zwischen denen das Verhältnis berechnet wird.
Die Ähnlichkeit wird mit dem Zeichen \(\sim\) geschrieben:
Ähnlichkeitsfaktor \(k\) ist dasselbe gleiche Verhältnis der entsprechenden Seiten:
Wenn \(k > 1\), ist das zweite Dreieck größer als das erste; wenn \(k < 1\) — kleiner; bei \(k = 1\) sind die Dreiecke einfach gleich, denn Gleichheit ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit.
Die Reihenfolge der Eckpunkte in der Schreibweise ist keine Formalität
Die Schreibweise \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) wird streng nach Positionen gelesen: \(A\) entspricht \(A_1\), \(B\) — \(B_1\), \(C\) — \(C_1\). Daraus folgt sofort, welche Winkel gleich sind (\(\angle A = \angle A_1\)) und welche Seiten entsprechend sind (\(AB\) und \(A_1B_1\), \(BC\) und \(B_1C_1\), \(AC\) und \(A_1C_1\)).
Wenn man die Buchstaben vertauscht und \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\) schreibt, erhält man eine andere Aussage: nun ist \(\angle A = \angle B_1\), und der zu \(AB\) entsprechende Seite ist \(B_1A_1\). Man darf keine Proportionen nach „ähnlich liegenden“ Seiten bilden, sondern nur nach den Positionen in der Schreibweise. Deshalb werden zuerst die Paare gleicher Winkel aufgeschrieben und erst dann die Buchstabenreihenfolge angepasst.
Drei Ähnlichkeitskriterien für Dreiecke
Es ist nicht nötig, alle sechs Bedingungen der Definition zu prüfen: Ähnlichkeit wird nach einem der drei Kriterien bewiesen. Jedes ist eine minimale Datenmenge, aus der automatisch die Gleichheit aller Winkel und die Proportionalität aller Seiten folgt.
Wie man ein Kriterium wählt. Schauen Sie, was in der Aufgabe gegeben ist: wenn es um Winkel geht — das erste, wenn es um zwei Seiten und einen Winkel geht — das zweite, wenn es um alle drei Seiten geht — das dritte.
- Erstes Kriterium (nach zwei Winkeln) — das Arbeitspferd des Schulunterrichts: fast alle OGE-Aufgaben werden damit gelöst. Der dritte Winkel muss nicht geprüft werden, er ist automatisch gleich: die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt immer \(180°\). Suchen Sie nach fertigen Paaren gleicher Winkel — gemeinsamer Winkel zweier Dreiecke, Scheitelwinkel, Wechselwinkel und entsprechende Winkel bei parallelen Geraden, zwei rechte Winkel.
- Zweites Kriterium (nach zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel) erfordert, dass der Winkel genau zwischen diesen beiden Seiten liegt. Wenn der gleiche Winkel gegenüber einer von ihnen liegt, funktioniert das Kriterium nicht und die Ähnlichkeit ist nicht bewiesen.
- Drittes Kriterium (nach drei Seiten) — wenn im Bedingungstext überhaupt keine Winkel vorhanden sind, sondern nur Längen. Schreiben Sie die Seiten jedes Dreiecks aufsteigend auf und teilen Sie die kleinste durch die kleinste, die mittlere durch die mittlere, die größte durch die größte: so werden die Paare sicher nicht verwechselt. Ähnlichkeit besteht nur, wenn alle drei Verhältnisse übereinstimmen.
Um Ähnlichkeitskriterien nicht mit Gleichheitskriterien zu verwechseln, behalten Sie den Unterschied im Hinterkopf: bei Gleichheit müssen die Seiten übereinstimmen, bei Ähnlichkeit — proportional sein.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Verhältnis der Umfänge und Flächen ähnlicher Dreiecke
Die Ähnlichkeit hat zwei Folgerungen, die am häufigsten abgefragt werden, und eine davon ist die Hauptfalle des Themas.
Die Umfänge verhalten sich wie \(k\). Jede Seite des zweiten Dreiecks ist \(k\)-mal größer als die entsprechende Seite des ersten, daher wächst die Summe der Seiten genau um den Faktor \(k\):
Ebenso verhalten sich alle linearen Größen: Höhen, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende, Radien des Inkreises und Umkreises, Mittellinien.
Die Flächen verhalten sich wie \(k^2\). Die Fläche hängt von zwei Dimensionen gleichzeitig ab: sowohl die Basis als auch die Höhe vergrößern sich um den Faktor \(k\), und das Produkt — um den Faktor \(k \cdot k\):
Sei \(k = 5\). Dann ist der Umfang 5-mal größer (z. B. von 14 cm auf 70 cm), und die Fläche — bereits 25-mal größer (von 6 cm² auf 150 cm²). Der Unterschied ist riesig, und hier \(k\) anstelle von \(k^2\) einzusetzen, ist der häufigste Fehler in der Prüfung.
Rückwärtsrechnung. Wenn das Verhältnis der Flächen gegeben ist, wird der Ähnlichkeitsfaktor durch Wurzelziehen ermittelt: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Zum Beispiel verhalten sich die Flächen wie \(16 : 1\), also die Seiten — wie \(4 : 1\).
| k | Umfänge U₂ : U₁ | Flächen F₂ : F₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| beliebig | k : 1 | k² : 1 |
Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken und die Höhe im rechten Winkel
Für rechtwinklige Dreiecke vereinfacht sich das erste Kriterium: die rechten Winkel sind von vornherein gleich, daher reicht die Gleichheit eines spitzen Winkels aus, damit die Dreiecke ähnlich sind. Daraus folgt auch das Kriterium nach zwei Katheten: wenn die Katheten des einen Dreiecks proportional zu den Katheten des anderen sind, sind die Dreiecke ähnlich (dies ist das zweite Kriterium, da der Winkel zwischen den Katheten rechtwinklig ist).
Die nützlichste Konfiguration des gesamten Themas ist die Höhe, die vom Scheitel des rechten Winkels aus gezogen wird. Sie teilt das Dreieck in zwei Teile, und alle drei entstehenden Dreiecke sind zueinander ähnlich.
Warum so: das Dreieck \(AHC\) hat einen rechten Winkel bei \(H\) und den gemeinsamen Winkel \(A\) mit dem großen Dreieck, also \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Das Dreieck \(CHB\) hat einen rechten Winkel bei \(H\) und den gemeinsamen Winkel \(B\), also \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Daraus folgt, dass auch die beiden kleinen Dreiecke zueinander ähnlich sind.
Aus diesen Ähnlichkeiten ergeben sich die Formeln des geometrischen Mittels (sie werden als proportionale Strecken im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — die Höhe ist das geometrische Mittel der Strecken, in die sie die Hypotenuse teilt;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) und \(BC^2 = HB \cdot AB\) — die Kathete ist das geometrische Mittel der gesamten Hypotenuse und ihrer Projektion darauf.
Das Wichtigste ist, nicht zu verwechseln, welche Strecke „zugehört“: zur Kathete \(AC\) gehört die Projektion \(AH\), zur Kathete \(BC\) die Projektion \(HB\). Die Projektion liegt immer am selben Ende der Hypotenuse wie die Kathete.
OGE-Aufgaben zur Dreiecksähnlichkeit: Wie man eine Seite findet
Fast alle Aufgaben zur Ähnlichkeit werden nach demselben Algorithmus gelöst:
- Finde ein Paar gleicher Winkel — gemeinsamer Winkel, Scheitelwinkel, Wechselwinkel bei parallelen Geraden oder zwei rechte Winkel.
- Schreibe die Ähnlichkeit in der richtigen Reihenfolge der Eckpunkte auf — so, dass gleiche Winkel an denselben Positionen stehen.
- Bilde eine Proportion aus den entsprechenden Seiten (nimm die Seiten, die an denselben Stellen in der Schreibweise stehen).
- Drücke die Unbekannte aus und berechne sie; am Ende überprüfe die Antwort nach dem Sinn — die Seite des kleineren Dreiecks muss kleiner herauskommen.
Typische Konfigurationen in der OGE sind nicht viele, und man sollte sie auf den ersten Blick erkennen:
- Eine Gerade parallel zu einer Seite. Eine Gerade schneidet ein kleines Dreieck aus dem ursprünglichen Dreieck aus, das dem ursprünglichen ähnlich ist. Der entscheidende Punkt: In die Proportion geht das Verhältnis der ganzen Seiten vom gemeinsamen Eckpunkt (\(BM : BA\)) ein, nicht der Strecken (\(BM : MA\)).
- „Schmetterling“. Zwei Strecken schneiden sich, und ihre Endpunkte sind durch parallele Geraden verbunden — es entstehen zwei ähnliche Dreiecke, die zueinander spiegelverkehrt sind.
- Höhe im rechtwinkligen Dreieck — eine Konfiguration aus dem vorherigen Abschnitt; in der OGE werden damit Höhe, Kathete oder Hypotenusenabschnitt gesucht.
- Schatten und Höhe eines Gegenstands. Sonnenstrahlen sind parallel, daher bilden ein Gegenstand mit seinem Schatten und ein Baum mit seinem Schatten ähnliche rechtwinklige Dreiecke.
- Mittellinie — ein Spezialfall mit \(k = 2\): sie ist parallel zur Seite und halb so lang wie diese.
Winkel B gemeinsam, Winkel bei M und A entsprechend
Winkel bei O Scheitelwinkel, Winkel A und C Wechselwinkel
Beispiele für die Lösung von Aufgaben zur Dreiecksähnlichkeit
Beispiel 1. Seiten nach Ähnlichkeitsfaktor finden
Aufgabe. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Gegeben sind \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) und \(PQ = 21\). Finde \(QR\) und \(PR\).
Schritt 1. Wir analysieren die Schreibweise nach Positionen: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Also sind die entsprechenden Paare: \(MN\) und \(PQ\), \(NK\) und \(QR\), \(MK\) und \(PR\).
Schritt 2. Wir berechnen den Faktor anhand des einzigen Paares, bei dem beide Seiten bekannt sind:
Schritt 3. Die übrigen Seiten des zweiten Dreiecks sind 3-mal größer als die entsprechenden Seiten:
Antwort: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Überprüfung: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — alle Verhältnisse stimmen überein.
Beispiel 2. Ähnlichkeit nach dem zweiten Kriterium beweisen
Aufgabe. In den Dreiecken \(ABC\) und \(DEF\) ist bekannt: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), und die Winkel \(A\) und \(D\) sind gleich. Beweise, dass die Dreiecke ähnlich sind.
Schritt 1. Wir prüfen die Hauptbedingung des zweiten Kriteriums: Winkel \(A\) liegt zwischen den Seiten \(AB\) und \(AC\), Winkel \(D\) — zwischen \(DE\) und \(DF\). Die Winkel zwischen den gegebenen Seiten — das Kriterium ist anwendbar.
Schritt 2. Wir berechnen die Verhältnisse der entsprechenden Seiten:
Schritt 3. Zwei Seitenpaare sind mit demselben Faktor \(k = 3\) proportional, die eingeschlossenen Winkel sind gleich — nach dem zweiten Kriterium \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Antwort: Die Dreiecke sind ähnlich, \(k = 3\). Beachte: Wenn die Winkel \(B\) und \(D\) gleich gewesen wären, hätte das Kriterium nicht gegolten — Winkel \(B\) liegt nicht zwischen \(AB\) und \(AC\).
Beispiel 3. Gerade parallel zu einer Seite (OGE-Aufgabe)
Aufgabe. Im Dreieck \(ABC\) liegt Punkt \(M\) auf der Seite \(AB\), Punkt \(N\) — auf der Seite \(BC\), wobei \(MN \parallel AC\). Bekannt ist: \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Finde \(AC\).
Schritt 1. Da \(MN \parallel AC\), sind die Winkel \(BMN\) und \(BAC\) als entsprechende Winkel gleich, und Winkel \(B\) ist gemeinsam. Nach dem ersten Kriterium \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (Reihenfolge der Eckpunkte: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Schritt 2. Wir finden die gesamte Seite vom gemeinsamen Eckpunkt aus: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Das ist der entscheidende Punkt — in die Proportion geht \(BA\) ein, nicht \(MA\).
Schritt 3. Wir bilden die Proportion aus den entsprechenden Seiten:
Schritt 4. Daraus folgt \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Antwort: \(AC = 20\). Der Ähnlichkeitsfaktor hier ist 4: das große Dreieck ist viermal größer als das abgeschnittene.
Beispiel 4. Umfänge und Flächen
Aufgabe. Die Umfänge ähnlicher Dreiecke betragen 18 cm und 45 cm. Die Fläche des kleineren Dreiecks beträgt 16 cm². Finde die Fläche des größeren.
Schritt 1. Die Umfänge verhalten sich wie der Ähnlichkeitsfaktor:
Schritt 2. Die Flächen verhalten sich wie das Quadrat des Ähnlichkeitsfaktors: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Schritt 3. Wir multiplizieren die Fläche des kleineren Dreiecks mit \(k^2\):
Antwort: 100 cm². Hätten wir mit \(k = 2{,}5\) multipliziert, hätten wir 40 cm² erhalten — ein typischer Fehler, der den gesamten Punkt kostet.
Beispiel 5. Höhe vom Scheitel des rechten Winkels
Aufgabe. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) mit dem rechten Winkel bei \(C\) wird die Höhe \(CH\) zur Hypotenuse gezogen. Bekannt ist: \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Finde die Höhe \(CH\) und die Fläche des Dreiecks.
Schritt 1. Die Höhe vom rechten Winkel aus ist das geometrische Mittel der Hypotenusenabschnitte, da \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Schritt 2. Wir ziehen die Wurzel: \(CH = 6\) cm.
Schritt 3. Die Hypotenuse \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Die Fläche berechnen wir über die Hypotenuse und die zu ihr gezogene Höhe:
Antwort: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Beispiel 6. Baumhöhe nach Schatten
Aufgabe. Ein vertikaler Stab von 2 m Höhe wirft einen Schatten von 1,5 m. Zur gleichen Zeit ist der Schatten eines Baumes 9 m lang. Wie hoch ist der Baum?
Schritt 1. Sonnenstrahlen sind parallel, daher ist der Einfallswinkel des Strahls für den Stab und für den Baum gleich. Stab mit Schatten und Baum mit Schatten bilden rechtwinklige Dreiecke mit einem gleichen spitzen Winkel — also sind sie ähnlich.
Schritt 2. Wir bilden die Proportion „Höhe zu ihrem Schatten“:
Schritt 3. Wir drücken die unbekannte Höhe aus:
Antwort: 12 m. Überprüfung nach Sinn: Der Schatten des Baumes ist 6-mal länger als der Schatten des Stabes, also ist der Baum auch 6-mal höher: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Häufige Fehler bei Aufgaben zur Dreiecksähnlichkeit
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Man nimmt an, dass sich die Flächen ähnlicher Dreiecke wie $k$ verhalten: bei $k = 3$ wird die Fläche verdreifacht.
Flächen verhalten sich wie das Quadrat des Ähnlichkeitsfaktors: bei \(k = 3\) ist die Fläche \(3^2 = 9\)-mal größer. Wie \(k\) verhalten sich nur lineare Größen — Seiten, Umfang, Höhen, Seitenhalbierende. Merkhilfe: Fläche wird in Quadrat-Einheiten gemessen, also geht der Faktor auch im Quadrat ein.
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Die Reihenfolge der Eckpunkte wird ignoriert: aus der Schreibweise $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ wird die Proportion $AB : LM$ gebildet.
Die Entsprechung der Eckpunkte wird durch die Positionen in der Schreibweise bestimmt: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Entsprechend zu \(AB\) ist \(KL\), und zu \(BC\) — \(LM\). Bevor man eine Proportion bildet, schreibe die Eckpunktpaare untereinander auf — das dauert fünf Sekunden und vermeidet die meisten Fehler.
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Man beweist die Ähnlichkeit nach einem gleichen Winkel oder nach zwei proportionalen Seiten ohne Winkel.
Ein gleicher Winkel reicht nicht aus: zwei Dreiecke können einen gleichen Winkel haben und trotzdem völlig unterschiedliche Formen. Ein vollständiges Kriterium ist erforderlich — zwei Winkel, oder zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, oder alle drei Seiten.
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Beim zweiten Kriterium wird ein Winkel verwendet, der nicht zwischen den gegebenen Seiten liegt.
Das zweite Kriterium funktioniert nur mit dem Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten. Wenn \(AB\), \(AC\) bekannt sind und Winkel \(B\) gleich ist, ist das Kriterium nicht anwendbar — suche einen anderen Weg: ein Paar gleicher Winkel oder die dritte Seite.
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Der Ähnlichkeitsfaktor wird umgekehrt: man findet $k$ als „kleinere Seite zur größeren“ und multipliziert dann damit, um die Seite des größeren Dreiecks zu erhalten.
Man einigt sich selbst auf die Richtung: wenn \(k\) das Verhältnis der Seiten des zweiten Dreiecks zum ersten ist, dann werden die Seiten des ersten mit \(k\) multipliziert, und die Seiten des zweiten werden durch \(k\) geteilt. Die abschließende Überprüfung nach dem Sinn: die Seite des kleineren Dreiecks muss kleiner herauskommen.
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In einer Aufgabe mit einer parallelen Geraden wird eine Proportion aus Strecken gebildet: $BM : MA = MN : AC$.
Die Dreiecke \(BMN\) und \(BAC\) sind ähnlich, und ihre entsprechenden Seiten sind \(BM\) und \(BA\) (die ganze Seite vom gemeinsamen Eckpunkt aus), nicht die Strecke \(MA\). Finde zuerst \(BA = BM + MA\), und erst dann bilde die Proportion.
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Man verwechselt Ähnlichkeit mit Gleichheit und schreibt in der Antwort, dass die Seiten einfach gleich sind.
Gleichheit ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit bei \(k = 1\). Wenn \(k \ne 1\), stimmen bei den Dreiecken nur die Winkel überein, die Seiten unterscheiden sich um den Faktor \(k\). Die Kriterien sind ebenfalls unterschiedlich: bei Gleichheit sind es SWS, WSW, SSS mit übereinstimmenden Seiten, bei Ähnlichkeit — proportionale Seiten.
Fragen und Antworten
Welche Dreiecke nennt man ähnlich?
Ähnlich nennt man Dreiecke, deren Winkel entsprechend gleich sind und deren entsprechende Seiten proportional sind. Einfacher gesagt, es sind Dreiecke gleicher Form, aber unterschiedlicher Größe. Die Ähnlichkeit wird mit dem Zeichen ∼ geschrieben: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Was ist der Ähnlichkeitsfaktor von Dreiecken?
Der Ähnlichkeitsfaktor k ist eine Zahl, die dem Verhältnis der entsprechenden Seiten ähnlicher Dreiecke entspricht: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Sie gibt an, um wie viel größer ein Dreieck im Verhältnis zum anderen ist. Bei k = 1 sind die Dreiecke gleich.
Wie viele Kriterien für die Ähnlichkeit von Dreiecken gibt es und welche sind das?
Es gibt drei Kriterien. Das erste — nach zwei Winkeln: zwei Winkel eines Dreiecks sind gleich zwei Winkeln eines anderen. Das zweite — nach zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel: zwei Seiten sind proportional und die Winkel zwischen ihnen sind gleich. Das dritte — nach drei Seiten: alle drei Paare entsprechender Seiten sind proportional.
Wie verhalten sich die Flächen ähnlicher Dreiecke?
Die Flächen ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie das Quadrat des Ähnlichkeitsfaktors: F₂ : F₁ = k². Zum Beispiel ist bei k = 4 die Fläche 16-mal größer. Umgekehrt: wenn sich die Flächen wie 25 : 1 verhalten, dann verhalten sich die Seiten wie 5 : 1.
Wie verhalten sich die Umfänge ähnlicher Dreiecke?
Die Umfänge verhalten sich wie der Ähnlichkeitsfaktor: U₂ : U₁ = k. Ebenso verhalten sich alle linearen Elemente — Höhen, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende, Mittellinien, Radien des Inkreises und Umkreises.
Was unterscheidet Ähnlichkeit von Dreiecken von Gleichheit?
Bei gleichen Dreiecken stimmen sowohl Winkel als auch Seiten überein, daher können die Figuren übereinandergelegt werden. Bei ähnlichen Dreiecken stimmen nur die Winkel überein, die Seiten sind proportional mit dem Faktor k. Gleichheit ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit bei k = 1.
Wie beweist man die Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken?
Die Gleichheit eines spitzen Winkels reicht aus: die rechten Winkel sind bereits gleich, daher funktioniert das erste Kriterium. Die zweite Methode ist die Proportionalität der Katheten: der Winkel zwischen den Katheten ist rechtwinklig, daher ist das zweite Ähnlichkeitskriterium anwendbar.
Warum ergibt die Höhe vom rechten Winkel drei ähnliche Dreiecke?
Die Höhe CH vom Scheitel des rechten Winkels C teilt das Dreieck ABC in die Dreiecke AHC und CHB. AHC hat einen rechten Winkel bei H und den gemeinsamen Winkel A mit ABC, CHB hat einen rechten Winkel bei H und den gemeinsamen Winkel B, daher sind beide dem ursprünglichen ähnlich und somit auch zueinander. Daraus ergeben sich die Formeln CH² = AH · HB, AC² = AH · AB und BC² = HB · AB.
In welcher Klasse wird die Ähnlichkeit von Dreiecken behandelt?
In der 8. Klasse im Geometrieunterricht — direkt nach dem Thema proportionale Strecken. Dort werden auch die drei Ähnlichkeitskriterien, das Verhältnis der Flächen und die Anwendung der Ähnlichkeit auf rechtwinklige Dreiecke behandelt. Weiterhin wird das Thema in der 9. Klasse und in OGE-Aufgaben verwendet.
