Der Maßstab der Karte zeigt an, um wie viel Mal die Entfernung auf der Karte kleiner ist als die tatsächliche Entfernung im Gelände. Er ermöglicht es uns, mit einem Lineal in der Hand zu erfahren, wie viele Kilometer zwischen zwei Städten liegen, ohne das Haus zu verlassen. Wir werden drei Arten von Maßstäben untersuchen – numerisch, benannt und linear, lernen, sie ineinander umzuwandeln, Entfernungen auf der Karte zu berechnen und den Maßstab selbst zu bestimmen. Am Ende gibt es einen interaktiven Trainer mit Aufgaben.
Was ist der Maßstab einer Karte?
Der Maßstab ist das Verhältnis der Länge eines Abschnitts auf der Karte (oder dem Plan) zur Länge des entsprechenden Abschnitts im Gelände. Er wird als Verhältnis zweier Zahlen geschrieben: 1 : 200.000. Die erste Zahl ist immer eins – das sind 1 cm auf der Karte. Die zweite Zahl, der Nenner, gibt an, wie vielen Zentimetern im Gelände dieser Zentimeter entspricht.
Ein Maßstab von 1 : 200.000 bedeutet, dass alle Entfernungen auf der Karte um das 200.000-fache verkleinert sind. Das bedeutet, 1 cm auf der Karte entsprechen 200.000 cm im Gelände, also 2 km.
Beide Teile des Verhältnisses sind in den gleichen Einheiten ausgedrückt – in Zentimetern, daher hat der Maßstab keine Maßeinheiten: die Angabe „1 : 200.000 km“ ist falsch. Jede Karte, jeder Geländeprofil, jede Zeichnung und jedes Modell hat einen Maßstab – er wird unten auf der Karte oder in ihrer Legende angegeben.
Arten von Maßstäben: numerisch, benannt und linear
Der gleiche Maßstab wird auf drei Arten geschrieben – alle drei bedeuten genau dasselbe:
- Numerischer Maßstab – Verhältnis von Zahlen: 1 : 100.000. Universelle Schreibweise, damit kann man gut rechnen.
- Benannter Maßstab – in Worten: 1 cm entsprechen 1 km. Man sieht sofort, wie viele Kilometer „in einen Zentimeter passen“.
- Linearer Maßstab – eine Skala unter der Karte mit beschrifteten Teilungen. Damit liest man die Entfernung direkt ab, ohne zu rechnen.
Um den numerischen Maßstab in einen benannten umzuwandeln, teilt man den Nenner durch 100 (ergibt Meter) oder durch 100.000 (ergibt Kilometer) – denn 1 m = 100 cm und 1 km = 100.000 cm. Die umgekehrte Umwandlung, vom benannten zum numerischen, erfolgt umgekehrt: die Größe wird in Zentimeter umgerechnet und in den Nenner gesetzt.
| Numerischer Maßstab | Benannt |
|---|---|
| 1 : 1001 cm = 100 cm | 1 m |
| 1 : 50001 cm = 5000 cm | 50 m |
| 1 : 25 0001 cm = 25 000 cm | 250 m |
| 1 : 100 0001 cm = 100 000 cm | 1 km |
| 1 : 200 0001 cm = 200 000 cm | 2 km |
| 1 : 1 000 0001 cm = 1 000 000 cm | 10 km |
Linearer Maßstab: Wie man Entfernungen ohne Berechnungen misst
Ein linearer Maßstab ist eine fertige Skala, die unter der Karte gezeichnet ist: Ihre Teilungen sind bereits in Metern oder Kilometern beschriftet, daher muss man nicht multiplizieren oder dividieren.
So benutzt man ihn:
- Miss den Abschnitt auf der Karte mit einem Zirkel oder markiere seine Länge am Rand eines Papierstreifens.
- Lege den Abschnitt an die Skala, sodass das rechte Ende genau auf eine ganze Teilung trifft.
- Das linke Ende landet auf einer Teilung links von Null – diese ist speziell in kleine Abschnitte unterteilt. Daran liest man den Rest ab: Hunderte von Metern.
- Addiere die ganzen Teilungen und den Rest – das ist die Entfernung im Gelände.
Auf der folgenden Skala liegt das rechte Ende des Abschnitts auf der Teilung „2“, und das linke landet auf 400 m links von Null. Die Länge des Abschnitts beträgt 2 km + 400 m = 2,4 km.
Wie man die Entfernung auf der Karte berechnet und den Maßstab bestimmt
Fast alle Schulaufgaben zum Maßstab sind drei sich gegenseitig umkehrende Operationen.
Entfernung im Gelände. Miss den Abschnitt auf der Karte in Zentimetern und multipliziere ihn mit dem Nenner des Maßstabs – du erhältst Zentimeter im Gelände. Wandle sie dann in Meter (÷ 100) oder Kilometer (÷ 100.000) um.
Maßstab der Karte. Wenn die tatsächliche Entfernung und die Länge des Abschnitts auf der Karte bekannt sind, wandle die Entfernung in Zentimeter um und dividiere sie durch die Länge des Abschnitts. Die erhaltene Zahl ist der Nenner des Maßstabs.
Länge des Abschnitts auf der Karte. Wandle die Entfernung im Gelände in Zentimeter um und dividiere sie durch den Nenner des Maßstabs.
Die gesamte Arithmetik basiert auf einer Kette von Einheiten, die man auswendig lernen sollte: 1 m = 100 cm, 1 km = 1000 m = 100.000 cm.
Großer und kleiner Maßstab einer Karte
Hier werden am häufigsten Fehler gemacht. Die Regel ist einfach: Je größer der Nenner, desto kleiner der Maßstab. Der Maßstab ist ein Bruch 1/200.000, und von zwei Brüchen ist der größere derjenige mit dem kleineren Nenner.
- Großer Maßstab (1 : 5.000, 1 : 10.000) – kleiner Nenner, geringe Verkleinerung. Die Darstellung ist detailliert: einzelne Häuser und Wege sind sichtbar, aber nur ein kleiner Bereich passt auf das Blatt. So werden Geländeprofile erstellt.
- Kleiner Maßstab (1 : 10.000.000) – riesiger Nenner, starke Verkleinerung. Ein ganzer Kontinent passt auf ein Blatt, aber Details gehen verloren: nur große Städte, Flüsse und Gebirgssysteme bleiben übrig.
Nach Maßstäben werden Karten in großmaßstäbige (von 1 : 10.000 bis 1 : 200.000), mittelmaßstäbige (von 1 : 200.000 bis 1 : 1.000.000) und kleinmaßstäbige (kleiner als 1 : 1.000.000) eingeteilt. Geländeprofile sind immer größer als 1 : 10.000.
Beispiele für Aufgaben zur Maßstabsberechnung
Beispiel 1. Entfernung auf der Karte → im Gelände
Aufgabe. Maßstab der Karte 1 : 200.000. Die Entfernung zwischen zwei Dörfern auf der Karte beträgt 3 cm. Wie viele Kilometer liegen zwischen ihnen im Gelände?
Schritt 1. Der Nenner des Maßstabs ist 200.000. Das bedeutet, 1 cm auf der Karte = 200.000 cm im Gelände.
Schritt 2. Multipliziere die Länge des Abschnitts mit dem Nenner: 3 × 200.000 = 600.000 cm.
Schritt 3. Wandle Zentimeter in Meter um: 600.000 ÷ 100 = 6.000 m.
Schritt 4. Meter in Kilometer: 6.000 ÷ 1000 = 6 km.
Antwort: 6 km. Der kurze Weg: 600.000 ÷ 100.000 = 6 km, denn 1 km = 100.000 cm.
Beispiel 2. Wie man den Maßstab einer Karte bestimmt
Aufgabe. Es ist bekannt, dass die Entfernung zwischen zwei Städten 12 km beträgt und auf der Karte 8 cm entspricht. Bestimme den numerischen Maßstab der Karte.
Schritt 1. Wandle die tatsächliche Entfernung in Zentimeter um: 12 km × 100.000 = 1.200.000 cm.
Schritt 2. Dividiere durch die Länge des Abschnitts auf der Karte: 1.200.000 ÷ 8 = 150.000.
Schritt 3. Schreibe die Antwort als Verhältnis: 1 : 150.000.
Überprüfung. Rückwärtsrechnung: 8 × 150.000 = 1.200.000 cm = 12 km. Stimmt überein.
Antwort: Maßstab 1 : 150.000, benannt – 1 cm entsprechen 1,5 km.
Beispiel 3. Wie lang wird ein Abschnitt auf der Karte sein
Aufgabe. Maßstab des Plans 1 : 25.000. Wie lang wird ein Abschnitt auf dem Plan sein, der eine 3 km lange Straße darstellt?
Schritt 1. Wandle die Entfernung in Zentimeter um: 3 km × 100.000 = 300.000 cm.
Schritt 2. Dividiere durch den Nenner des Maßstabs: 300.000 ÷ 25.000 = 12 cm.
Überprüfung. 12 × 25.000 = 300.000 cm = 3 km. Stimmt überein.
Antwort: 12 cm. Beachte: Hier dividieren wir, nicht multiplizieren – die Aufgabe ist das Gegenteil der ersten.
Beispiel 4. Umwandlung des Maßstabs von einer Form in eine andere
Aufgabe. Wandle den Maßstab 1 : 25.000 in einen benannten um und den benannten Maßstab „1 cm entsprechen 500 m“ in einen numerischen.
Numerisch → Benannt. Der Nenner 25.000 sind Zentimeter. Dividiere durch 100: 25.000 ÷ 100 = 250 m. Wir erhalten „1 cm entsprechen 250 m“.
Benannt → Numerisch. Wandle 500 m in Zentimeter um: 500 × 100 = 50.000 cm. Setze diese Zahl in den Nenner: 1 : 50.000.
Tipp. Wenn der Nenner durch 100.000 teilbar ist, erhält man das Ergebnis sofort in Kilometern: 1 : 500.000 → 500.000 ÷ 100.000 = 5, also „1 cm entsprechen 5 km“.
Häufige Fehler bei der Arbeit mit Maßstäben
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Man glaubt, 1 : 1.000.000 sei ein „großer“ Maßstab, weil die Zahl groß ist, und 1 : 5.000 sei „klein“.
Umgekehrt. Der Maßstab ist ein Bruch 1/1.000.000, und je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch und desto kleiner der Maßstab. 1 : 5.000 ist zweihundertmal größer als 1 : 1.000.000.
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Man vergisst Nullen bei der Umrechnung von Zentimetern in Kilometer: 600.000 cm werden als 60 km oder 600 km angegeben.
Merke dir die Kette: 1 km = 1000 m = 100.000 cm. Man muss durch 100.000 dividieren, nicht durch 10.000 oder 1.000: 600.000 ÷ 100.000 = 6 km. Eine zuverlässige Methode ist die zweistufige Berechnung: zuerst ÷ 100 (Meter), dann ÷ 1000 (Kilometer).
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Bei der umgekehrten Aufgabe multipliziert man statt zu dividieren: Um die Länge eines Abschnitts auf der Karte zu finden, multipliziert man die Entfernung mit dem Nenner.
Auf der Karte ist alles verkleinert, also ist die Länge des Abschnitts kleiner – man darf nicht multiplizieren. Vom Gelände zur Karte wird immer dividiert durch den Nenner, von der Karte zum Gelände – multipliziert. Schnelle Überprüfung: Die Antwort „Abschnitt auf der Karte 400 cm“ für 4 km ist offensichtlich absurd.
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Man schreibt Einheiten in den Maßstab: „1 : 100.000 km“ oder „1 cm : 1 km“.
Der numerische Maßstab ist das Verhältnis gleichartiger Größen, daher hat er keine Einheiten: richtig ist „1 : 100.000“. Die verbale Angabe ist bereits ein benannter Maßstab und wird anders formuliert: „1 cm entsprechen 1 km“.
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Man misst eine gewundene Fluss- oder Straßenlinie mit dem Lineal gerade zwischen den Endpunkten.
So erhält man die gerade Entfernung, nicht die Routenlänge. Eine gekrümmte Linie misst man mit einem Kurvimeter, einem Faden, den man dann ausrichtet und an ein Lineal hält, oder man teilt sie in kurze gerade Abschnitte und addiert deren Längen – und erst dann multipliziert man mit dem Maßstab.
Fragen und Antworten
Was zeigt der Maßstab einer Karte an?
Der Maßstab zeigt an, um wie viel Mal die Entfernungen auf der Karte im Vergleich zu den tatsächlichen Entfernungen im Gelände verkleinert sind. Ein Maßstab von 1 : 200.000 bedeutet eine Verkleinerung um das 200.000-fache: einem Zentimeter auf der Karte entsprechen 200.000 cm, also 2 km im Gelände.
Wie bestimmt man den Maßstab einer Karte, wenn er nicht angegeben ist?
Man muss mindestens eine reale Entfernung kennen. Miss diesen Abschnitt auf der Karte in Zentimetern, wandle die bekannte Entfernung in Zentimeter um (1 km = 100.000 cm) und dividiere das eine durch das andere. Zum Beispiel 20 km = 2.000.000 cm, Abschnitt 8 cm: 2.000.000 ÷ 8 = 250.000, Maßstab 1 : 250.000.
Welcher Maßstab ist größer: 1 : 10.000 oder 1 : 100.000?
Größer ist 1 : 10.000, weil er einen kleineren Nenner und eine geringere Verkleinerung hat. Auf einer solchen Karte sind mehr Details sichtbar, aber es passt eine kleinere Fläche darauf. Die Regel ist einfach: Je größer der Nenner, desto kleiner der Maßstab.
Wie viele Zentimeter sind in 1 Kilometer?
In einem Kilometer sind 100.000 Zentimeter: 1 km = 1000 m, und 1 m = 100 cm, also 1000 × 100 = 100.000 cm. Deshalb wird der Maßstab 1 : 100.000 als „1 cm entsprechen 1 km“ gelesen.
Wodurch unterscheidet sich der Maßstab eines Plans von dem einer Karte?
Das Prinzip ist dasselbe, nur die Größe unterscheidet sich. Ein Plan hat einen großen Maßstab – normalerweise 1 : 5.000 und größer, daher sind einzelne Gebäude, Wege und Bäume darauf sichtbar. Karten haben einen kleineren Maßstab, dafür aber eine größere Gebietsabdeckung – bis hin zur ganzen Welt.
Wie benutzt man den linearen Maßstab auf einer Karte?
Trage den gemessenen Abschnitt auf der Skala so auf, dass das rechte Ende auf eine ganze Teilung trifft. Das linke Ende landet auf einer Teilung links von Null, die in kleine Abschnitte unterteilt ist – daran liest man den Rest in Hundertern von Metern ab. Die Summe der ganzen Teilungen und des Rests ist die Entfernung; man muss nichts berechnen.
