Арифметика дробей

Основные понятия

Дробь — это число, представляющее часть целого. Дробь записывается в виде $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, $b$ — знаменатель (при этом $b \neq 0$).

Виды дробей:
- Правильная дробь: числитель меньше знаменателя ($\frac{a}{b}$, где $a < b$), например $\frac{3}{4}$
- Неправильная дробь: числитель больше или равен знаменателю ($\frac{a}{b}$, где $a \geq b$), например $\frac{7}{5}$
- Смешанная дробь: целое число и правильная дробь, например $2\frac{3}{5}$

Преобразование дробей

Преобразование неправильной дроби в смешанную:
$\frac{a}{b} = c\frac{d}{b}$, где $c = \lfloor \frac{a}{b} \rfloor$ (целая часть от деления), $d = a - bc$

Пример: $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$, так как $17 = 3 \cdot 5 + 2$

Преобразование смешанной дроби в неправильную:
$c\frac{d}{b} = \frac{cb + d}{b}$

Пример: $2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7}$

Основные операции с дробями

1. Сложение и вычитание дробей

С одинаковыми знаменателями:
$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$

Пример: $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3+2}{8} = \frac{5}{8}$

С разными знаменателями:
1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ)
2. Привести дроби к общему знаменателю
3. Выполнить сложение/вычитание

Пример: $\frac{2}{3} + \frac{3}{5}$
НОЗ = 15
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$
$\frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{19}{15} = 1\frac{4}{15}$

2. Умножение дробей

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Пример: $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

3. Деление дробей

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Пример: $\frac{3}{7} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 2} = \frac{15}{14}$

Сокращение дробей

Если числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель, дробь можно сократить, разделив обе части на этот делитель.

Пример: $\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$

Действия со смешанными дробями

1. Преобразовать смешанные дроби в неправильные
2. Выполнить необходимые действия
3. При необходимости преобразовать результат обратно в смешанную дробь

Пример: $2\frac{1}{3} + 1\frac{2}{5}$
$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, $1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$
$\frac{7}{3} + \frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 7 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \frac{35 + 21}{15} = \frac{56}{15} = 3\frac{11}{15}$

Типичные ошибки и как их избежать

1. Ошибка при сложении/вычитании: Сложение числителей и знаменателей ($\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \neq \frac{a+c}{b+d}$)
   Правильно: Привести к общему знаменателю

2. Ошибка при умножении: Умножение только числителей или только знаменателей
   Правильно: Умножать числитель на числитель, знаменатель на знаменатель

3. Ошибка при делении: Деление числителя на числитель, знаменателя на знаменатель
   Правильно: Умножить на перевернутую вторую дробь

4. Забывание о сокращении: Оставление дроби несокращенной
   Правильно: Всегда сокращать результат, если возможно