Ein Kreis erzeugt zwei Hauptarten von Winkeln: den Mittelpunktswinkel — mit Scheitel im Mittelpunkt, und den Umfangswinkel — mit Scheitel auf dem Kreis selbst. Der Zusammenhang zwischen ihnen ist einfach: Der Mittelpunktswinkel entspricht dem Bogen, über dem er liegt, und der Umfangswinkel ist halb so groß. Auf dieser Seite findest du Definitionen, den Umfangswinkelsatz mit allen Folgerungen, anschauliche Zeichnungen, Schritt-für-Schritt-Lösungen und einen interaktiven Trainer, mit dem du dich sofort selbst testen kannst.
Arten von Winkeln im Kreis: Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel
Zeichnen wir im Kreis zwei Strecken von einem Punkt aus — es entsteht ein Winkel. Je nachdem, wo sein Scheitel liegt, unterscheidet man zwei Hauptarten von Winkeln im Kreis:
- Mittelpunktswinkel — ein Winkel mit Scheitel im Mittelpunkt \(O\) des Kreises. Seine Schenkel sind Radien.
- Umfangswinkel — ein Winkel, dessen Scheitel auf dem Kreis liegt und dessen Schenkel ihn schneiden (das heißt, sie sind Sehnen).
Jeder dieser Winkel liegt über einem Bogen — dem Teil des Kreises, der innerhalb des Winkels liegt. Genau dieser Bogen verbindet den Mittelpunktswinkel und den Umfangswinkel: Über sein Gradmaß werden beide ausgedrückt.
Liegt der Scheitel eines Winkels innerhalb des Kreises (aber nicht im Mittelpunkt) oder außerhalb davon, handelt es sich weder um einen Umfangswinkel noch um einen Mittelpunktswinkel: Für solche Winkel gibt es eigene Formeln — dazu mehr am Ende der Seite.
∠AOC = Bogen AC = 120°
∠ABC = ½ Bogen AC = 60°
Der Umfangswinkelsatz und die Größe des Umfangswinkels
Der Mittelpunktswinkel entspricht dem Bogen, über dem er liegt — so wird das Gradmaß eines Bogens definiert. Ist \(\angle AOC = 120°\), dann ist auch der Bogen \(AC\) gleich \(120°\).
Der Umfangswinkelsatz: Ein Umfangswinkel wird durch die Hälfte des Bogens gemessen, über dem er liegt:
Daraus folgt die wichtigste Beziehung zwischen Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel: der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel, der über demselben Bogen liegt:
Die Größe des Umfangswinkels hängt nicht davon ab, wo genau sein Scheitel auf dem Kreis liegt — entscheidend ist nur der Bogen, über dem er liegt. Deshalb lohnt es sich, die Zeichnung unten als „Merkbild“ des ganzen Themas im Kopf zu behalten: ein grüner Bogen und zwei Winkel, die auf ihn blicken.
Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel: Eigenschaften und Folgerungen
Aus dem Umfangswinkelsatz ergeben sich unmittelbar Eigenschaften, auf denen die meisten Schulaufgaben aufbauen:
- Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Jeder von ihnen entspricht der Hälfte desselben Bogens — also sind sie auch untereinander gleich, egal wo ihre Scheitel liegen.
- Ein Umfangswinkel über dem Durchmesser ist ein rechter Winkel. Der Durchmesser teilt den Kreis in zwei Halbkreise von je \(180°\), daher ist ein solcher Winkel \(180° : 2 = 90°\). Auch die Umkehrung gilt: Ist ein Umfangswinkel ein rechter Winkel, so liegt er über dem Durchmesser.
- Ein Umfangswinkel kann stumpf sein. Ist der Bogen größer als \(180°\), ist der Winkel größer als \(90°\) — die Formel „halber Bogen“ gilt ausnahmslos.
Diese Eigenschaften funktionieren auch „umgekehrt“: Aus der Gleichheit von Winkeln über derselben Strecke lässt sich zum Beispiel beweisen, dass vier Punkte auf demselben Kreis liegen.
Umfangswinkel und Tangentenwinkel: ein Viereck im Kreis
Liegen alle vier Eckpunkte eines Vierecks auf einem Kreis, nennt man es Sehnenviereck (und den Kreis den Umkreis des Vierecks). Die Winkel eines solchen Vierecks sind Umfangswinkel, daher gilt für sie derselbe Satz.
- Die Summe gegenüberliegender Winkel eines Sehnenvierecks beträgt \(180°\). Die Winkel \(A\) und \(C\) liegen über zwei Bögen, die zusammen den ganzen Kreis (\(360°\)) ergeben, daher \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Der Außenwinkel eines Sehnenvierecks ist gleich dem Innenwinkel am gegenüberliegenden Eckpunkt. Der Außenwinkel ergänzt seinen eigenen Innenwinkel zu \(180°\) — genau wie der gegenüberliegende Winkel.
- Die Eigenschaft der Winkelsumme gilt auch als Kriterium: Betragen bei einem Viereck die Summen gegenüberliegender Winkel jeweils \(180°\), lässt sich um es ein Kreis beschreiben. Deshalb kann man jedem Rechteck einen Umkreis zeichnen, einer Raute (außer dem Quadrat) jedoch nicht.
Neben Umfangswinkeln begegnen in Aufgaben auch Tangentenwinkel — Winkel zwischen zwei Tangenten, die von einem gemeinsamen Punkt außerhalb des Kreises gezogen werden. Der Tangentenwinkel entspricht der halben Differenz der Bögen, die er auf dem Kreis abschneidet.
Beispielaufgaben zu Umfangswinkeln und Mittelpunktswinkeln
Beispiel 1. Umfangswinkel aus dem Bogen
Aufgabe. Der Umfangswinkel \(ABC\) liegt über dem Bogen \(AC\), der \(120°\) beträgt. Bestimme \(\angle ABC\).
Schritt 1. Wir erinnern uns an den Satz: Ein Umfangswinkel entspricht der Hälfte des Bogens, über dem er liegt.
Schritt 2. Einsetzen: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Antwort: \(60°\).
Beispiel 2. Mittelpunktswinkel aus dem Umfangswinkel
Aufgabe. Der Umfangswinkel \(ABC\) beträgt \(40°\). Bestimme den Mittelpunktswinkel \(AOC\), der über demselben Bogen \(AC\) liegt.
Schritt 1. Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel über demselben Bogen: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Schritt 2. Berechnen: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Gleichzeitig kennen wir jetzt den Bogen: \(AC = 80°\).
Antwort: \(80°\).
Beispiel 3. Winkel über dem Durchmesser
Aufgabe. \(AC\) ist ein Durchmesser des Kreises, der Punkt \(B\) liegt auf dem Kreis, \(\angle BAC = 35°\). Bestimme \(\angle BCA\).
Schritt 1. Der Winkel \(ABC\) liegt über dem Durchmesser \(AC\), also ist \(\angle ABC = 90°\) — das Dreieck \(ABC\) ist rechtwinklig.
Schritt 2. Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Antwort: \(55°\).
Beispiel 4. Sehnenviereck
Aufgabe. Das Viereck \(ABCD\) ist einem Kreis einbeschrieben, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Bestimme die Winkel \(C\) und \(D\).
Schritt 1. Die Summen gegenüberliegender Winkel eines Sehnenvierecks betragen \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Schritt 2. Ebenso \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Probe. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — die Winkelsumme des Vierecks stimmt.
Antwort: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Häufige Fehler bei Aufgaben zu Winkeln im Kreis
-
Verwechslung von Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel: Für den Winkel mit Scheitel im Mittelpunkt wird der halbe Bogen genommen (oder umgekehrt).
Schau zuerst auf den Scheitel. Scheitel im Mittelpunkt \(O\) — Mittelpunktswinkel, er entspricht dem ganzen Bogen. Scheitel auf dem Kreis — Umfangswinkel, er entspricht der Hälfte des Bogens.
-
Der falsche Bogen wird verwendet: Für den Umfangswinkel wird der Bogen genommen, auf dem sein Scheitel liegt.
Der Umfangswinkel liegt über dem Bogen, der „innerhalb“ des Winkels liegt — der Scheitel liegt immer auf dem anderen Bogen. In der Bezeichnung \(\angle ABC\) liegt der Winkel über dem Bogen \(AC\), der den Punkt \(B\) nicht enthält.
-
Es wird in die falsche Richtung mit 2 multipliziert oder dividiert: Vom Umfangswinkel zum Mittelpunktswinkel wird geteilt statt multipliziert.
Merke dir: Der Umfangswinkel ist „klein“ (halber Bogen), der Mittelpunktswinkel ist „groß“ (ganzer Bogen). Vom Umfangswinkel zum Mittelpunktswinkel — mal 2, vom Mittelpunktswinkel zum Umfangswinkel — geteilt durch 2.
-
Jeder Winkel, dessen Schenkel den Kreis schneiden, wird als Umfangswinkel betrachtet — zum Beispiel ein Winkel zwischen Sehnen, die sich innerhalb des Kreises schneiden.
Der Scheitel eines Umfangswinkels muss auf dem Kreis selbst liegen. Ein Winkel mit Scheitel innerhalb des Kreises entspricht der halben Summe der abgeschnittenen Bögen, mit Scheitel außerhalb des Kreises — der halben Differenz: Das sind andere Formeln.
-
Bei einem Sehnenviereck wird die Summe benachbarter Winkel statt gegenüberliegender Winkel gleich $180°$ gesetzt.
Die Eigenschaft gilt nur für gegenüberliegende Eckpunkte: \(\angle A + \angle C = 180°\) und \(\angle B + \angle D = 180°\). Benachbarte Winkel eines Sehnenvierecks können beliebig groß sein.
Fragen und Antworten
Wie groß ist ein Umfangswinkel?
Ein Umfangswinkel entspricht der Hälfte des Bogens, über dem er liegt. Beträgt der Bogen zum Beispiel 120°, ist der Umfangswinkel 60°. Das ist der Umfangswinkelsatz — die wichtigste Formel des Themas.
Wie hängen Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel über demselben Bogen zusammen?
Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel: ∠AOC = 2·∠ABC. Der Mittelpunktswinkel entspricht dem Bogen selbst, der Umfangswinkel seiner Hälfte.
Warum ist ein Umfangswinkel über dem Durchmesser gleich 90°?
Der Durchmesser spannt einen Halbkreis auf — einen Bogen von 180°. Der Umfangswinkel entspricht der Hälfte des Bogens: 180° : 2 = 90°. Deshalb ist jedes Dreieck, bei dem eine Seite ein Durchmesser des Umkreises ist, rechtwinklig.
Kann ein Umfangswinkel stumpf sein?
Ja. Ist der Bogen, über dem der Winkel liegt, größer als 180°, ist der Winkel stumpf: Einem Bogen von 210° entspricht zum Beispiel ein Umfangswinkel von 105°. Ein Umfangswinkel ist dabei stets kleiner als 180°.
Was ist ein Tangentenwinkel und wie unterscheidet er sich vom Umfangswinkel?
Ein Tangentenwinkel wird von zwei Tangenten gebildet, die von einem gemeinsamen Punkt außerhalb des Kreises gezogen werden. Sein Scheitel liegt außerhalb des Kreises, und er entspricht der halben Differenz der abgeschnittenen Bögen. Der Scheitel eines Umfangswinkels liegt dagegen auf dem Kreis, und er entspricht der Hälfte eines einzigen Bogens.
Welche weiteren Arten von Winkeln am Kreis gibt es?
Neben Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel gibt es den Winkel zwischen zwei Sehnen (Scheitel innerhalb des Kreises — halbe Summe der Bögen), den Winkel zwischen zwei Sekanten von einem äußeren Punkt aus (halbe Differenz der Bögen) und den Winkel zwischen einer Tangente und einer Sehne (halber eingeschlossener Bogen). Alle lassen sich über Kreisbögen ausdrücken.
