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Aufgabe 10

Die Aufgabenstellung lautet: "Löse die Gleichungen, notiere deine Rechenschritte."

Teil a)

Die Gleichung lautet: $(x-2)(x+14) = (x+18)(x-1)$

1. Klammern auflösen: Wir wenden das Distributivgesetz (jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert) auf beiden Seiten an.

   • Linke Seite: $(x-2)(x+14) = x \cdot x + x \cdot 14 - 2 \cdot x - 2 \cdot 14 = x^2 + 14x - 2x - 28 = x^2 + 12x - 28$
   • Rechte Seite: $(x+18)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 18 \cdot x + 18 \cdot (-1) = x^2 - x + 18x - 18 = x^2 + 17x - 18$

2. Vereinfachte Gleichung: Nun setzen wir die aufgelösten Seiten gleich:
   $x^2 + 12x - 28 = x^2 + 17x - 18$

3. Gleichung umformen: Wir wollen alle Terme mit $x$ auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite bringen.

   • Zuerst subtrahieren wir $x^2$ von beiden Seiten:
     $12x - 28 = 17x - 18$
   • Dann subtrahieren wir $12x$ von beiden Seiten:
     $-28 = 5x - 18$
   • Nun addieren wir $18$ zu beiden Seiten:
     $-28 + 18 = 5x$
     $-10 = 5x$

4. Nach x auflösen: Wir teilen beide Seiten durch $5$:
   $\frac{-10}{5} = x$
   $x = -2$

Die Lösung für Teil a) ist $x = -2$.

Teil b)

Die Gleichung lautet: $(5-x)^2 - 2(x-15) = (x-5)(x-2)$

1. Klammern auflösen:

   • $(5-x)^2$: Dies ist eine binomische Formel $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Hier ist $a=5$ und $b=x$.
     $(5-x)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 = 25 - 10x + x^2$
   • $-2(x-15)$: Wir multiplizieren $-2$ mit jedem Term in der Klammer.
     $-2(x-15) = -2x + 30$
   • $(x-5)(x-2)$: Wir wenden das Distributivgesetz an.
     $(x-5)(x-2) = x \cdot x + x \cdot (-2) - 5 \cdot x - 5 \cdot (-2) = x^2 - 2x - 5x + 10 = x^2 - 7x + 10$

2. Vereinfachte Gleichung: Nun setzen wir die aufgelösten Terme in die ursprüngliche Gleichung ein:
   $(25 - 10x + x^2) + (-2x + 30) = x^2 - 7x + 10$

3. Terme zusammenfassen: Wir fassen die Terme auf der linken Seite zusammen:
   $x^2 + (-10x - 2x) + (25 + 30) = x^2 - 7x + 10$
   $x^2 - 12x + 55 = x^2 - 7x + 10$

4. Gleichung umformen:

   • Subtrahieren wir $x^2$ von beiden Seiten:
     $-12x + 55 = -7x + 10$
   • Addieren wir $12x$ zu beiden Seiten:
     $55 = -7x + 12x + 10$
     $55 = 5x + 10$
   • Subtrahieren wir $10$ von beiden Seiten:
     $55 - 10 = 5x$
     $45 = 5x$

5. Nach x auflösen: Wir teilen beide Seiten durch $5$:
   $\frac{45}{5} = x$
   $x = 9$

Die Lösung für Teil b) ist $x = 9$.