En cirkel skaber to hovedtyper af vinkler: centervinklen — med toppunkt i cirklens centrum, og den indskrevne vinkel — med toppunkt på selve cirkelperiferien. Forbindelsen mellem dem er enkel: centervinklen er lig med den bue, den spænder over, mens den indskrevne vinkel er halvdelen af buen. På denne side finder du definitioner, teoremet om den indskrevne vinkel med alle følgesætninger, visuelle tegninger, trinvise opgaveløsninger og en interaktiv træner, hvor du kan teste dig selv med det samme.
Typer af vinkler i en cirkel: centervinkel og indskreven vinkel
Hvis vi tegner to linjestykker fra samme punkt i en cirkel, får vi en vinkel. Afhængigt af hvor toppunktet ligger, skelner vi mellem to hovedtyper af vinkler i en cirkel:
- Centervinkel — en vinkel med toppunkt i cirklens centrum \(O\). Dens sider er radier.
- Indskreven vinkel — en vinkel, hvis toppunkt ligger på cirkelperiferien, og hvis sider skærer cirklen (dvs. er korder).
Hver af disse vinkler spænder over en bue — den del af cirklen, der ligger inde i vinklen. Det er buen, der forbinder centervinklen og den indskrevne vinkel: begge kan udtrykkes gennem dens gradmål.
Hvis vinklens toppunkt ligger inde i cirklen (men ikke i centrum) eller uden for den, er det hverken en indskreven eller en centervinkel: for sådanne vinkler findes der andre formler, som vi gennemgår til sidst på siden.
∠AOC = bue AC = 120°
∠ABC = ½ bue AC = 60°
Teoremet om den indskrevne vinkel og dens størrelse
Centervinklen er lig med den bue, den spænder over — det er sådan, buen defineres i grader. Hvis \(\angle AOC = 120°\), så er buen \(AC\) også \(120°\).
Teoremet om den indskrevne vinkel: en indskreven vinkel måles som halvdelen af den bue, den spænder over:
Herfra kommer det vigtigste forhold mellem indskrevne vinkler og centervinkler: en indskreven vinkel er halvt så stor som centervinklen, der spænder over den samme bue:
Størrelsen af en indskreven vinkel afhænger ikke af, hvor præcis toppunktet befinder sig på cirklen — det er kun buen, den spænder over, der betyder noget. Derfor er tegningen nedenfor værd at huske som et "arbejdsdiagram" for hele emnet: den grønne bue og to vinkler, der kigger på den.
Indskrevne og centervinkler: egenskaber og følgesætninger
Fra teoremet om den indskrevne vinkel følger direkte de egenskaber, som de fleste skoleopgaver bygger på:
- Indskrevne vinkler, der spænder over den samme bue, er lige store. Hver af dem er lig med halvdelen af den samme bue — og derfor er de også lig med hinanden, uanset hvor deres toppunkter befinder sig.
- En indskreven vinkel, der spænder over en diameter, er en ret vinkel. En diameter deler cirklen i to halvcirkler på \(180°\), så en sådan vinkel er \(180° : 2 = 90°\). Det omvendte gælder også: hvis en indskreven vinkel er ret, spænder den over en diameter.
- En indskreven vinkel kan være stump. Hvis buen er større end \(180°\), er vinklen større end \(90°\) — formlen "halvdelen af buen" fungerer uden undtagelser.
Disse egenskaber fungerer også "den anden vej": for eksempel bruges ligheden af vinkler, der spænder over det samme linjestykke, til at bevise, at fire punkter ligger på den samme cirkel.
Indskrevne og omskrevne vinkler: firkant i en cirkel
Hvis alle fire hjørner af en firkant ligger på en cirkel, kaldes den indskreven (og cirklen kaldes omskreven om den). Vinklerne i en sådan firkant er indskrevne, så det samme teorem gælder for dem.
- Summen af modstående vinkler i en indskreven firkant er \(180°\). Vinklerne \(A\) og \(C\) spænder over to buer, der tilsammen udgør hele cirklen (\(360°\)), så \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- En ydre vinkel i en indskreven firkant er lig med den indre vinkel ved det modstående hjørne. Den ydre vinkel supplerer sin indre vinkel til \(180°\) — præcis ligesom den modstående vinkel gør.
- Egenskaben om vinkelsummen er også et kriterium: hvis summen af modstående vinkler i en firkant er \(180°\), kan man omskrive en cirkel om den. Derfor kan enhver rektangel indskrives i en cirkel, men en rombe (undtagen et kvadrat) kan ikke.
Ved siden af indskrevne vinkler møder man i opgaver også omskrevne vinkler — vinkler mellem to tangenter trukket fra et punkt uden for cirklen. En omskreven vinkel er lig med den halve differens mellem de buer, den skærer ud på cirklen.
Eksempler på løsning af opgaver med indskrevne og centervinkler
Eksempel 1. Indskreven vinkel ud fra bue
Opgave. Den indskrevne vinkel \(ABC\) spænder over bue \(AC\), som er \(120°\). Find \(\angle ABC\).
Trin 1. Vi husker teoremet: en indskreven vinkel er lig med halvdelen af den bue, den spænder over.
Trin 2. Vi indsætter værdierne: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Svar: \(60°\).
Eksempel 2. Centervinkel ud fra indskreven vinkel
Opgave. Den indskrevne vinkel \(ABC\) er \(40°\). Find centervinklen \(AOC\), der spænder over den samme bue \(AC\).
Trin 1. Centervinklen er dobbelt så stor som den indskrevne vinkel, der spænder over den samme bue: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Trin 2. Vi beregner: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Vi har nu også fundet buen: \(AC = 80°\).
Svar: \(80°\).
Eksempel 3. Vinkel, der spænder over en diameter
Opgave. \(AC\) er en diameter i cirklen, punkt \(B\) ligger på cirklen, \(\angle BAC = 35°\). Find \(\angle BCA\).
Trin 1. Vinkel \(ABC\) spænder over diameteren \(AC\), hvilket betyder, at \(\angle ABC = 90°\) — trekant \(ABC\) er retvinklet.
Trin 2. Vinkelsummen i en trekant er \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Svar: \(55°\).
Eksempel 4. Indskreven firkant
Opgave. Firkant \(ABCD\) er indskrevet i en cirkel, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Find vinklerne \(C\) og \(D\).
Trin 1. Summen af modstående vinkler i en indskreven firkant er \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Trin 2. Tilsvarende er \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Tjek. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — vinkelsummen i firkanten stemmer.
Svar: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Almindelige fejl i opgaver om vinkler i en cirkel
-
Man forveksler den indskrevne vinkel med centervinklen: man tager halvdelen af buen for en vinkel med toppunkt i centrum (eller omvendt).
Se først på toppunktet. Hvis toppunktet er i centrum \(O\), er det en centervinkel, og den er lig med hele buen. Hvis toppunktet er på cirklen, er det en indskreven vinkel, og den er lig med halvdelen af buen.
-
Man tager den forkerte bue: for en indskreven vinkel tæller man den bue, som toppunktet ligger på.
En indskreven vinkel spænder over den bue, der ligger "inde" i vinklen — toppunktet ligger altid på den anden bue. I notationen \(\angle ABC\) spænder vinklen over bue \(AC\), som ikke indeholder punktet \(B\).
-
Man ganger eller dividerer med 2 i den forkerte retning: man dividerer, når man går fra indskreven til centervinkel, i stedet for at gange.
Husk: den indskrevne vinkel er "lille" (halvdelen af buen), centervinklen er "stor" (hele buen). Fra indskreven til centervinkel — gang med 2, fra centervinkel til indskreven — divider med 2.
-
Man betragter enhver vinkel, hvis sider skærer cirklen, som en indskreven vinkel — for eksempel vinklen mellem korder, der skærer hinanden inde i cirklen.
For en indskreven vinkel skal toppunktet ligge på selve cirklen. En vinkel med toppunkt inde i cirklen er lig med den halve sum af de udskårne buer, og med toppunkt uden for cirklen er den lig med den halve differens: det er andre formler.
-
I en indskreven firkant sætter man summen af nabovinkler til $180°$ i stedet for modstående vinkler.
Egenskaben gælder kun for modstående hjørner: \(\angle A + \angle C = 180°\) og \(\angle B + \angle D = 180°\). Nabovinkler i en indskreven firkant kan være hvad som helst.
Spørgsmål og svar
Hvad er en indskreven vinkel lig med?
En indskreven vinkel er lig med halvdelen af den bue, den spænder over. For eksempel, hvis buen er 120°, er den indskrevne vinkel 60°. Dette er teoremet om den indskrevne vinkel — emnets vigtigste formel.
Hvordan er indskrevne vinkler og centervinkler forbundet, når de spænder over den samme bue?
Centervinklen er dobbelt så stor som den indskrevne vinkel: ∠AOC = 2·∠ABC. Centervinklen er lig med selve buen, mens den indskrevne vinkel er halvdelen af den.
Hvorfor er en indskreven vinkel, der spænder over en diameter, 90°?
En diameter spænder over en halvcirkel — en bue på 180°. Den indskrevne vinkel er lig med halvdelen af buen: 180° : 2 = 90°. Derfor er enhver trekant, hvor den ene side er en diameter i den omskrevne cirkel, retvinklet.
Kan en indskreven vinkel være stump?
Ja. Hvis buen, som vinklen spænder over, er større end 180°, er vinklen stump: for eksempel svarer en bue på 210° til en indskreven vinkel på 105°. Den indskrevne vinkel er dog altid mindre end 180°.
Hvad er en omskreven vinkel, og hvordan adskiller den sig fra en indskreven vinkel?
En omskreven vinkel dannes af to tangenter trukket til cirklen fra et punkt udenfor. Dens toppunkt ligger uden for cirklen, og den er lig med den halve differens mellem de udskårne buer. Ved en indskreven vinkel ligger toppunktet på cirklen, og den er lig med halvdelen af én bue.
Hvilke andre typer vinkler findes der i en cirkel?
Udover centervinkler og indskrevne vinkler ser man på vinkler mellem korder (toppunkt inde i cirklen — halv sum af buer), vinkler mellem sekanter fra et punkt udenfor (halv differens af buer) og vinklen mellem en tangent og en korde (halvdelen af den bue, der ligger indeni). Alle udtrykkes gennem cirklens buer.
