Cosinusrelationen forbinder de tre sider i en trekant og en af dens vinkler: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Den gælder i enhver trekant, og derfor erstatter den i 9. klasse Pythagoras' læresætning, hvor der ikke er en ret vinkel. Den bruges til at finde den tredje side, hvis to andre sider og vinklen mellem dem er kendt, og ifølge konsekvensen \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) – enhver vinkel ud fra tre sider og typen af trekant. På siden finder du formuleringen og alle tre versioner af formlen, beviset, en cosinus-tabel, en huskeseddel om „sinus eller cosinus“, gennemgang af OGE-opgaver og en træner til selvtestning.
Cosinusrelationen: formulering og formel
Cosinusrelationen gælder i enhver trekant – den behøver ikke en ret vinkel. Den forbinder tre sider og en vinkel, og bruges derfor til at finde en side, hvis to andre sider og vinklen mellem dem er kendt.
Formulering. Kvadratet på en side i en trekant er lig med summen af kvadraterne på de to andre sider minus det dobbelte produkt af disse sider gange cosinus til vinklen mellem dem.
Her er \(a\), \(b\), \(c\) siderne i trekanten, og \(C\) er vinklen mellem siderne \(a\) og \(b\); siden \(c\) ligger over for denne vinkel. Bogstaverne kan vælges frit – formlen er symmetrisk, og derfor har den tre ligeværdige versioner:
Hovedreglen for indsættelse: brug den vinkel, der er indklemt mellem de to sider i produktet, og find den side, der ligger over for den. Hvis du bruger en „nabo“-vinkel, vil alle tal være fra opgaven, og svaret vil være forkert.
Hvorfor Pythagoras' læresætning er et specialtilfælde af cosinusrelationen
Lad os indsætte en ret vinkel i formlen, dvs. \(C = 90°\). Cosinus til en ret vinkel er nul, så det tredje led forsvinder helt:
Dette er præcis Pythagoras' læresætning, som vi kender fra 8. klasse. Derfor kaldes cosinusrelationen en generalisering af den: Pythagoras er et „specialtilfælde ved 90°“, mens cosinusrelationen gælder for alle vinkler.
Leddet \(-2ab\cos C\) kan forstås som en korrektion for vinklens ikke-rethed:
- vinklen er spids, \(\cos C > 0\) – korrektionen trækkes fra, siden \(c\) bliver kortere, end Pythagoras ville give;
- vinklen er ret, \(\cos C = 0\) – ingen korrektion, \(c^2 = a^2 + b^2\) forbliver;
- vinklen er stump, \(\cos C < 0\) – korrektionen lægges til, siden \(c\) bliver længere.
Bevis for cosinusrelationen
Det korteste skolebevis er et koordinatbevis. Vi placerer toppunktet \(C\) i origo og siden \(b = CA\) langs x-aksen. Så er koordinaterne for toppunkterne:
- \(C(0;\ 0)\) – origo;
- \(A(b;\ 0)\) – punkt på x-aksen i afstanden \(b\) fra origo;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) – toppunkt i afstanden \(a\) fra origo under vinklen \(C\) med x-aksen.
Siden \(c\) er længden af linjestykket \(AB\). Vi beregner den ved hjælp af afstandsformlen mellem to punkter:
Vi udvider parenteserne:
Vi grupperer ledene med \(a^2\) og bruger den grundlæggende trigonometriske identitet \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Hvilket skulle bevises. Bemærk: det blev aldrig krævet, at vinklen \(C\) var spids. Hvis den er stump, er cosinus negativ, koordinaten \(a\cos C\) forskydes til venstre for y-aksen, men alle udregninger forbliver de samme – derfor gælder teoremet for enhver trekant.
Konsekvens: hvordan man finder en vinkel ud fra tre sider
Cosinusrelationen bruges til at isolere cosinus – det er dens vigtigste konsekvens. Den bruges til at finde vinklen, når alle tre sider er kendt:
I tælleren er summen af kvadraterne på de to sider, der ligger op til vinklen, minus kvadratet på siden, der ligger over for den. I nævneren er det dobbelte produkt af de tilstødende sider. For de andre vinkler er formlerne de samme:
Løsningsprocedure:
- Vælg den ønskede vinkel, og bestem hvilken side der ligger over for den – dens kvadrat skal i tælleren med minustegn.
- Beregn brøken (nævneren er altid positiv, kun tælleren bestemmer fortegnet).
- Find selve vinklen ved hjælp af en tabel over værdier eller ved hjælp af arcus cosinus.
Et nyttigt trick: start med den længste side. Den største vinkel ligger over for den, og kun den kan være ret eller stump – de to andre vinkler i trekanten er altid spidse.
Cosinus for stumpe vinkler: tabel over værdier
I skoleopgaver er vinklerne næsten altid „tabelværdier“: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. For spidse vinkler er cosinus positiv, for en ret vinkel er den nul, og for stumpe vinkler er den negativ. Værdierne for stumpe vinkler findes ud fra værdierne for spidse vinkler ved hjælp af reduktionsreglen \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): f.eks. \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Hvad betyder det i praksis: ved en stump vinkel bliver udtrykket \(-2ab\cos C\) til et plus – minus gange minus. For vinklen \(120°\) ser formlen således ud:
Det er her, man oftest laver fejl: man indsætter \(0{,}5\) i stedet for \(-0{,}5\) og får en side, der er kortere end begge de givne. Dette er åbenlyst umuligt – den længste side i trekanten ligger over for den stumpe vinkel.
| Vinkel | Cosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Hvordan bestemmer man typen af en trekant ud fra tre sider
Cosinusrelationen gør det muligt at bestemme typen af en trekant uden at måle vinklerne med en vinkelmåler. Fortegnet på brøken \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) afhænger kun af tælleren: nævneren \(2ab\) er altid positiv. Derfor er det tilstrækkeligt at sammenligne kvadratet på den længste side med summen af kvadraterne på de to andre.
Lad \(c\) være den længste side, så ligger den største vinkel \(C\) over for den:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → vinkel \(C\) er spids. De andre vinkler er mindre end den, så alle tre vinkler er spidse – trekanten er spidsvinklet;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) – trekanten er retvinklet (dette er den omvendte Pythagoras' læresætning);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → vinkel \(C\) er stump – trekanten er stumpvinklet.
Det er ikke nødvendigt at kontrollere de andre vinkler: der kan kun være én ret eller stump vinkel i en trekant. Og glem ikke trekantuligheden – hvis den længste side er større end eller lig med summen af de to andre, eksisterer en trekant med sådanne sider slet ikke.
Sinusrelationen eller cosinusrelationen: hvordan vælger man
Begge relationer løser den samme opgave – at finde ukendte sider og vinkler i en trekant – men de bruges ud fra forskellige datasæt. Sinusrelationen forbinder en side og den modstående vinkel:
Derfor er valgreklen: hvis opgaven allerede indeholder et par „side og modstående vinkel“ – bruges sinusrelationen; hvis et sådant par ikke findes – start med cosinusrelationen. En huskeseddel for de fire typiske datasæt i skolen findes i tabellen.
Ofte løses en opgave i to trin: først giver cosinusrelationen den tredje side, og derefter finder sinusrelationen hurtigt de resterende vinkler.
| Hvad er kendt | Hvad bruges |
|---|---|
| SASTo sider og vinklen mellem dem | Cosinusrelationenfinder den tredje side |
| SSSAlle tre sider | Cosinusrelationenfinder enhver vinkel og trekanttype |
| ASAEn side og to vinkler | Sinusrelationenfinder de to andre sider |
| SSATo sider og en vinkel over for en af dem | Sinusrelationenfinder den modstående vinkel |
Cosinusrelationen i OGE-opgaver
I OGE (den russiske mellemskoleeksamen) i matematik optræder cosinusrelationen i planimetriske opgaver – både i den første del og i opgaver med udførligt svar. Typiske scenarier er:
- Find en side ud fra to sider og vinklen mellem dem – direkte anvendelse af formlen, oftest med vinkler på 60° eller 120°.
- Find en vinkel eller dens cosinus ud fra tre sider – konsekvensen \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Hvis opgaven lyder „find \(\cos\angle A\)“, skal du ikke beregne arcus cosinus: svaret er selve brøken, som du skal skrive.
- Diagonalen i et parallelogram. Diagonalen afskærer en trekant ud fra to sider og vinklen mellem dem. Nabovinklerne i et parallelogram giver tilsammen 180°, så deres cosinusser er modsatte: over for den spidse vinkel ligger den kortere diagonal, over for den stumpe – den længere.
- Bestemmelse af trekanttype ud fra tre tal – sammenligning af \(a^2 + b^2\) med \(c^2\).
- Medianen i en trekant. Formlen \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) udledes ved dobbelt anvendelse af cosinusrelationen på to nabovinkler ved grundlinjen.
Råd til eksamen: før du begynder at regne, skal du markere den vinkel på tegningen, der er „klemt inde“ mellem de kendte sider. Hvis en sådan vinkel ikke findes – er cosinusrelationen endnu ikke anvendelig, du skal finde en anden vej.
Eksempler på løsning af opgaver med cosinusrelationen
Eksempel 1. Find en side ud fra to sider og en vinkel på 60°
Opgave. I trekant \(ABC\) er siderne \(a = 7\) og \(b = 15\), og vinklen mellem dem er \(C = 60°\). Find siden \(c\).
Trin 1. Vinklen \(C\) er indklemt mellem siderne \(a\) og \(b\) – det er præcis det tilfælde, som relationen er designet til:
Trin 2. Indsæt tallene, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Trin 3. Tag kvadratroden: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Svar: \(13\). Kontrol efter mening: vinklen \(60°\) er spids, så siden over for den er ikke den længste – og ganske rigtigt, \(13 < 15\).
Eksempel 2. Stump vinkel: minus gange minus
Opgave. I trekant \(ABC\) er kendt: \(AB = 6\), \(BC = 10\), vinkel \(B = 120°\). Find siden \(AC\).
Trin 1. Vinklen \(B\) er indklemt mellem siderne \(AB\) og \(BC\), og siden \(AC\) ligger over for den:
Trin 2. Vinklen er stump, så \(\cos 120° = -0{,}5\). Minusset foran produktet og minusset i cosinus giver plus:
Trin 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Svar: \(14\). Kontrol: over for den stumpe vinkel ligger den længste side – \(14\) er større end både \(6\) og \(10\).
Eksempel 3. Find en vinkel ud fra tre sider
Opgave. Siderne i en trekant er \(3\), \(5\) og \(7\). Find dens største vinkel.
Trin 1. Den største vinkel ligger over for den største side, dvs. over for siden \(7\). Lad os kalde den \(C\), så \(c = 7\), og de tilstødende sider er \(a = 3\) og \(b = 5\).
Trin 2. Anvend konsekvensen:
Trin 3. Cosinus er negativ – vinklen er stump. Ifølge tabellen over værdier er \(\cos 120° = -0{,}5\), så \(C = 120°\).
Svar: \(120°\). Samtidig fandt vi ud af, at trekanten er stumpvinklet.
Eksempel 4. Bestem typen af en trekant
Opgave. Bestem typen af en trekant med siderne \(6\), \(7\) og \(10\).
Trin 1. Kontroller trekantuligheden: \(6 + 7 = 13 > 10\) – trekanten eksisterer. Den længste side er \(10\).
Trin 2. Sammenlign summen af kvadraterne på de to kortere sider med kvadratet på den længste side:
Trin 3. \(85 < 100\), så tælleren i brøken er negativ, og \(\cos C < 0\) – vinklen over for siden \(10\) er stump. Hvis ønsket, kan selve vinklen også findes:
Svar: trekanten er stumpvinklet. Bemærk: det er ikke synligt „på øjemål“ – siderne er næsten lige lange, men vinklen er allerede over \(90°\).
Eksempel 5. OGE-opgave: diagonalen i et parallelogram
Opgave. Siderne i et parallelogram er \(5\) og \(8\), den spidse vinkel er \(60°\). Find den kortere diagonal.
Trin 1. Diagonalen afskærer en trekant, hvor to sider (\(5\) og \(8\)) og vinklen mellem dem er kendt. Den kortere diagonal ligger over for den spidse vinkel på \(60°\).
Trin 2. Beregn:
Trin 3. Kontrol. Den anden diagonal ligger over for vinklen på \(120°\) (nabovinklerne i et parallelogram giver tilsammen \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), dvs. \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Summen af kvadraterne på diagonalerne er \(49 + 129 = 178\), og det dobbelte af summen af kvadraterne på siderne er \(2(25 + 64) = 178\). Det stemmer, så beregningen er korrekt.
Svar: \(7\).
Almindelige fejl i opgaver med cosinusrelationen
-
Man bruger cosinus til en stump vinkel med plus. For siderne $4$ og $9$ med en vinkel på $120°$ mellem dem skriver man $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ og får $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), og minus gange minus giver plus: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), dvs. \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Hurtig kontrol: over for den stumpe vinkel ligger den længste side, så svaret skal være større end \(9\).
-
Man indsætter en vinkel, der ikke er indklemt mellem de givne sider: opgaven giver én vinkel, og man bruger den „som den er“, uden at se på tegningen.
I formlen \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) danner siderne \(a\) og \(b\) vinklen \(C\), og siden \(c\) ligger over for den. Hvis den kendte vinkel ligger op til den ønskede side, passer denne formel ikke – man skal bruge en af de andre to eller sinusrelationen.
-
Man glemmer at tage kvadratroden og skriver kvadratet på siden som svar: man får $c^2 = 225$ og skriver „siden er 225“.
Formlen giver altid kvadratet på siden. Det sidste trin er obligatorisk: \(c = \sqrt{225} = 15\). Læs opgaven grundigt, før du skriver svaret.
-
Man forveksler rækkefølgen af led i konsekvensen og skriver $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Den korrekte tæller er \(a^2 + b^2 - c^2\): summen af kvadraterne på de tilstødende sider minus kvadratet på den modstående side. Hvis rækkefølgen ændres, ændres brøkens fortegn, og i stedet for en stump vinkel på \(120°\) får man en spids vinkel på \(60°\).
-
Man finder vinklen ud fra cosinus' absolutværdi: man får −0,25, men skriver en spids vinkel som svar, som om cosinus var +0,25.
En negativ cosinus betyder altid en stump vinkel. Fortegnet må ikke ignoreres: cos 60° = 0,5, mens cos 120° = −0,5; arcus cosinus til et negativt tal er større end 90°.
-
Man forsøger at løse en opgave „to sider og vinklen mellem dem“ med sinusrelationen og går i stå ved første linje.
Sinusrelationen kræver et færdigt par „side og modstående vinkel“. Med to sider og vinklen mellem dem findes et sådant par ikke – først giver cosinusrelationen den tredje side, og derefter kobles sinusrelationen ind.
Spørgsmål og svar
Hvordan lyder cosinusrelationen?
Kvadratet på en side i en trekant er lig med summen af kvadraterne på de to andre sider minus det dobbelte produkt af disse sider gange cosinus til vinklen mellem dem: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Relationen gælder for enhver trekant, ikke kun retvinklede.
Hvordan finder man en side i en trekant ud fra to sider og vinklen mellem dem?
Indsæt data i formlen c² = a² + b² − 2ab·cos C og tag kvadratroden. For eksempel, med siderne 4 og 6 og vinklen 60° mellem dem: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, så c = √28 ≈ 5,3.
Hvordan finder man en vinkel i en trekant, hvis alle tre sider er kendt?
Ved hjælp af konsekvensen af cosinusrelationen: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), hvor c er siden over for den ønskede vinkel. For eksempel, for siderne 2, 3 og 4 er cosinus til den største vinkel (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, dvs. vinklen er stump, ca. 104°.
Hvorfor er Pythagoras' læresætning et specialtilfælde af cosinusrelationen?
Fordi ved en ret vinkel er cos 90° = 0, og leddet −2ab·cos C forsvinder. Fra formlen bliver c² = a² + b² tilbage – dette er Pythagoras' læresætning for en retvinklet trekant.
Gælder cosinusrelationen i en stumpvinklet trekant?
Ja, og den gælder uden ændringer. For en stump vinkel er cosinus negativ, så leddet −2ab·cos C bliver positivt og lægges til summen af kvadraterne. Det er netop derfor, at siden over for den stumpe vinkel bliver den længste.
Hvornår skal man bruge sinusrelationen, og hvornår cosinusrelationen?
Sinusrelationen er nødvendig, når opgaven allerede indeholder et par „side og modstående vinkel“ – f.eks. en side og to vinkler er givet. Cosinusrelationen bruges, når et sådant par ikke findes: to sider og vinklen mellem dem er givet, eller alle tre sider er givet. Ofte løses opgaven i to trin: først cosinusrelationen, derefter sinusrelationen.
Hvordan bestemmer man typen af en trekant ud fra tre sider?
Sammenlign kvadratet på den længste side c² med summen af kvadraterne på de to andre. Hvis a² + b² > c² – trekanten er spidsvinklet, hvis a² + b² = c² – retvinklet, hvis a² + b² < c² – stumpvinklet. Fortegnet på denne forskel svarer til fortegnet på cosinus til den største vinkel.
I hvilken klasse undervises der i cosinusrelationen?
I 9. klasse i geometri, i emnet „Forholdet mellem sider og vinkler i en trekant“ – sammen med sinusrelationen. Den bruges derefter konstant i OGE- og ЕГЭ-opgaver (russiske eksamener) i planimetri og stereometri.
