Ligende trekanter er trekanter af samme form, men forskellig størrelse: deres vinkler er henholdsvis lige store, og de tilsvarende sider er proportionale. Det tal, der angiver, hvor mange gange den ene trekant er større end den anden, kaldes lighedsfaktoren \(k\). Tre kendetegn hjælper med at bevise lighed, og forholdet mellem omkredse og arealer følger en simpel regel: omkredse forholder sig som \(k\), og arealer som \(k^2\). På denne side finder du definitionen og notationen af lighed med korrekt rækkefølge af hjørner, alle tre kendetegn, lighed af retvinklede trekanter og højden fra den rette vinkel, løsninger af OGE-opgaver "find siden" og en interaktiv træner.
Hvad er ligende trekanter og lighedsfaktor
To trekanter kaldes ligende, hvis begge følgende betingelser er opfyldt:
- deres vinkler er henholdsvis lige store — til hver vinkel i den første trekant svarer en lige stor vinkel i den anden;
- deres tilsvarende sider er proportionale — alle tre forhold giver det samme tal.
Tilsvarende sider — er de sider, der ligger over for lige store vinkler. Det er dem, der danner par, mellem hvilke forholdet beregnes.
Lighed skrives med symbolet \(\sim\):
Lighedsfaktor \(k\) — det samme ensartede forhold mellem tilsvarende sider:
Hvis \(k > 1\), er den anden trekant større end den første; hvis \(k < 1\) — mindre; ved \(k = 1\) er trekanterne simpelthen lige store, da lighed er et specialtilfælde af lighed.
Rækkefølgen af hjørner i notationen — er ikke en formalitet
Notation \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) læses strengt efter position: \(A\) svarer til \(A_1\), \(B\) — til \(B_1\), \(C\) — til \(C_1\). Heraf følger straks, hvilke vinkler der er lige store (\(\angle A = \angle A_1\)) og hvilke sider der er tilsvarende (\(AB\) og \(A_1B_1\), \(BC\) og \(B_1C_1\), \(AC\) og \(A_1C_1\)).
Hvis bogstaverne byttes om og skrives \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), bliver det en anden påstand: nu er \(\angle A = \angle B_1\), og tilsvarende til \(AB\) bliver siden \(B_1A_1\). Man kan ikke opstille en proportion baseret på "liggende" sider — kun efter positionerne i notationen. Derfor udskrives først par af lige store vinkler og derefter tilpasses bogstavrækkefølgen.
Tre kendetegn for ligende trekanter
Det er ikke nødvendigt at kontrollere alle seks betingelser fra definitionen: lighed bevises ved hjælp af et af de tre kendetegn. Hvert kendetegn er et minimumssæt af data, hvorfra lighed af alle vinkler og proportionalitet af alle sider automatisk følger.
Sådan vælger du et kendetegn. Se, hvad der er givet i opgaven: hvis det handler om vinkler — det første, hvis det handler om to sider og en vinkel — det andet, hvis det handler om alle tre sider — det tredje.
- Første kendetegn (efter to vinkler) — arbejdshesten i skolepensum: næsten alle OGE-opgaver løses med det. Den tredje vinkel behøver ikke kontrolleres, den er automatisk lige stor: summen af vinklerne i en trekant er altid \(180°\). Kig efter færdige par af lige store vinkler — fælles vinkel for to trekanter, lodrette vinkler, vekselvinkler og tilsvarende vinkler ved parallelle linjer, to rette vinkler.
- Andet kendetegn (efter to sider og vinklen mellem dem) kræver, at vinklen er præcis mellem disse to sider. Hvis den lige store vinkel ligger over for en af dem, virker kendetegnet ikke, og lighed er ikke bevist.
- Tredje kendetegn (efter tre sider) — når der slet ingen vinkler er givet, kun længder. Skriv siderne af hver trekant i stigende rækkefølge og divider den mindste med den mindste, den mellemste med den mellemste, den største med den største: på den måde bliver parrene ikke forvekslet. Lighed findes kun, hvis alle tre forhold er ens.
For ikke at forveksle kendetegn for lighed med kendetegn for lighed, husk forskellen: ved lighed skal siderne falde sammen, ved lighed — være proportionale.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Forholdet mellem omkredse og arealer af ligende trekanter
Lighed har to konsekvenser, der spørges mest om, og en af dem er den primære fælde i emnet.
Omkredse forholder sig som \(k\). Hver side af den anden trekant er \(k\) gange større end den tilsvarende side af den første, derfor vokser summen af siderne præcis \(k\) gange:
På samme måde — "i \(k\) gange" — opfører alle lineære størrelser sig: højder, medianer, vinkelhalveringslinjer, radier af indskrevne og omskrevne cirkler, midtnormaler.
Arealer forholder sig som \(k^2\). Arealet afhænger af to dimensioner samtidigt: både grundlinjen og højden øges \(k\) gange, og produktet — \(k \cdot k\) gange:
Lad \(k = 5\). Så er omkredsen 5 gange større (f.eks. var den 14 cm — blev den 70 cm), og arealet — allerede 25 gange større (var det 6 cm² — blev det 150 cm²). Forskellen er enorm, og at indsætte \(k\) i stedet for \(k^2\) her er den mest almindelige fejl i eksamen.
Omvendt beregning. Hvis forholdet mellem arealer er givet i opgaven, findes lighedsfaktoren ved at tage kvadratroden: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). For eksempel, hvis arealerne forholder sig som \(16 : 1\), så er siderne — som \(4 : 1\).
| k | Omkredse P₂ : P₁ | Arealer S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| enhver | k : 1 | k² : 1 |
Ligende retvinklede trekanter og højden fra den rette vinkel
For retvinklede trekanter forenkles det første kendetegn: de rette vinkler er lige store på forhånd, så lighed af én spids vinkel er tilstrækkelig, for at trekanterne er ligende. Heraf følger kendetegnet efter to kateter: hvis kateterne i den ene er proportionale med kateterne i den anden, er trekanterne ligende (dette er det andet kendetegn, da vinklen mellem kateterne er ret).
Den mest nyttige konfiguration af hele emnet er højden trukket fra toppen af den rette vinkel. Den deler trekanten i to, og alle tre resulterende trekanter er ligende indbyrdes.
Hvorfor: trekant \(AHC\) har en ret vinkel ved \(H\) og en fælles vinkel med den store trekant \(A\), så \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Trekant \(CHB\) har en ret vinkel ved \(H\) og en fælles vinkel \(B\), så \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Derfor er de to små trekanter også ligende indbyrdes.
Fra disse ligheder opnås formlerne for geometrisk middelværdi (de kaldes proportionale linjestykker i en retvinklet trekant):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — højden er den geometriske middelværdi af de linjestykker, den deler hypotenusen i;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) og \(BC^2 = HB \cdot AB\) — kateten er den geometriske middelværdi af hele hypotenusen og dens projektion på den.
Hovedsagen er ikke at forveksle, hvilket linjestykke der er "eget": kateten \(AC\) har projektionen \(AH\), kateten \(BC\) har projektionen \(HB\). Projektionen ligger altid ved samme ende af hypotenusen som kateten.
OGE-opgaver om ligende trekanter: hvordan man finder en side
Næsten alle opgaver om ligende trekanter løses efter én algoritme:
- Find et par lige store vinkler — fælles vinkel, lodrette, vekselvinkler ved parallelle linjer eller to rette.
- Skriv ligheden i korrekt rækkefølge af hjørner — så lige store vinkler står på samme position.
- Opstil en proportion af tilsvarende sider (tag sider, der står på samme sted i notationen).
- Isoler den ukendte og beregn; til sidst, kontroller svaret efter mening — siden af den mindre trekant skal være mindre.
Der er få typiske konfigurationer i OGE, og de bør genkendes ved første øjekast:
- En linje parallel med en side. En linje afskærer en lille trekant fra den oprindelige trekant, der er ligende med den oprindelige. Nøgle nuance: proportionen er forholdet mellem hele sider fra den fælles top (\(BM : BA\)), ikke linjestykker (\(BM : MA\)).
- "Sommerfugl". To linjestykker krydser hinanden, og deres ender er forbundet med parallelle linjer — der opstår to ligende trekanter, der er vendt mod hinanden.
- Højde fra den rette vinkel — konfiguration fra forrige afsnit; i OGE bruges den til at finde højden, en katete eller et linjestykke af hypotenusen.
- Skygge og genstandens højde. Solens stråler er parallelle, så genstanden med sin skygge og træet med sin skygge giver ligende retvinklede trekanter.
- Midtnormal — et specialtilfælde med \(k = 2\): den er parallel med siden og halvt så lang som den.
vinkel B er fælles, vinkler ved M og A er tilsvarende
vinkler ved O er lodrette, vinkler A og C er vekselvinkler
Eksempler på løsning af opgaver om ligende trekanter
Eksempel 1. Find siderne ud fra lighedsfaktoren
Opgave. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Det er kendt, at \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) og \(PQ = 21\). Find \(QR\) og \(PR\).
Trin 1. Vi analyserer notationen efter positioner: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Derfor er de tilsvarende par: \(MN\) og \(PQ\), \(NK\) og \(QR\), \(MK\) og \(PR\).
Trin 2. Vi beregner lighedsfaktoren ud fra det eneste par, hvor begge sider er kendt:
Trin 3. De resterende sider af den anden trekant er 3 gange større end de tilsvarende:
Svar: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Kontrol: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — alle forhold er ens.
Eksempel 2. Bevis lighed efter det andet kendetegn
Opgave. I trekanterne \(ABC\) og \(DEF\) er det kendt: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), og vinklerne \(A\) og \(D\) er lige store. Bevis, at trekanterne er ligende.
Trin 1. Vi kontrollerer hovedbetingelsen for det andet kendetegn: vinkel \(A\) ligger mellem siderne \(AB\) og \(AC\), vinkel \(D\) — mellem \(DE\) og \(DF\). Vinklerne mellem de givne sider — kendetegnet kan anvendes.
Trin 2. Vi beregner forholdene mellem tilsvarende sider:
Trin 3. To par sider er proportionale med samme faktor \(k = 3\), vinklerne mellem dem er lige store — ifølge det andet kendetegn er \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Svar: trekanterne er ligende, \(k = 3\). Bemærk: hvis vinklerne \(B\) og \(D\) var lige store, ville kendetegnet ikke virke — vinkel \(B\) ligger ikke mellem \(AB\) og \(AC\).
Eksempel 3. Linje parallel med en side (OGE-opgave)
Opgave. I trekant \(ABC\) ligger punktet \(M\) på siden \(AB\), punktet \(N\) — på siden \(BC\), hvorved \(MN \parallel AC\). Det er kendt, at \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Find \(AC\).
Trin 1. Da \(MN \parallel AC\), er vinklerne \(BMN\) og \(BAC\) lige store som tilsvarende vinkler, og vinkel \(B\) er fælles. Ifølge det første kendetegn er \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (rækkefølge af hjørner: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Trin 2. Vi finder den fulde side fra den fælles top: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Dette er den primære nuance — proportionen er \(BA\), ikke \(MA\).
Trin 3. Vi opstiller proportionen af tilsvarende sider:
Trin 4. Herfra \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Svar: \(AC = 20\). Lighedsfaktoren her er 4: den store trekant er fire gange større end den afskårne.
Eksempel 4. Omkredse og arealer
Opgave. Omkredsene af ligende trekanter er 18 cm og 45 cm. Arealet af den mindre trekant er 16 cm². Find arealet af den større.
Trin 1. Omkredsene forholder sig som lighedsfaktoren:
Trin 2. Arealerne forholder sig som kvadratet på lighedsfaktoren: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Trin 3. Vi ganger arealet af den mindre trekant med \(k^2\):
Svar: 100 cm². Hvis vi havde ganget med \(k = 2{,}5\), ville vi have fået 40 cm² — en typisk fejl, der koster hele point.
Eksempel 5. Højde fra toppen af den rette vinkel
Opgave. I den retvinklede trekant \(ABC\) med ret vinkel ved hjørnet \(C\) er højden \(CH\) trukket til hypotenusen. Det er kendt, at \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Find højden \(CH\) og trekantens areal.
Trin 1. Højden fra den rette vinkel er den geometriske middelværdi af hypotenusens linjestykker, fordi \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Trin 2. Vi tager kvadratroden: \(CH = 6\) cm.
Trin 3. Hypotenusen \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Vi beregner arealet ud fra hypotenusen og den til den trukne højde:
Svar: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Eksempel 6. Træets højde ud fra skyggen
Opgave. En lodret stang på 2 m højde kaster en skygge på 1,5 m. På samme tid er træets skygge 9 m lang. Hvad er træets højde?
Trin 1. Solens stråler er parallelle, så indfaldsvinklen for strålen er den samme for stangen og for træet. Stangen med skyggen og træet med skyggen danner retvinklede trekanter med en lige stor spids vinkel — derfor er de ligende.
Trin 2. Vi opstiller proportionen "højde til sin skygge":
Trin 3. Vi isolerer den ukendte højde:
Svar: 12 m. Kontrol efter mening: træets skygge er 6 gange længere end stangens skygge, så træet er også 6 gange højere: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Hyppige fejl i opgaver om ligende trekanter
-
Man antager, at arealerne af ligende trekanter forholder sig som $k$: ved $k = 3$ øges arealet tredobbelt.
Arealerne forholder sig som kvadratet på lighedsfaktoren: ved \(k = 3\) er arealet større \(3^2 = 9\) gange. Kun lineære størrelser — sider, omkreds, højder, medianer — forholder sig som \(k\). Huskeregel: arealet måles i kvadratiske enheder, så lighedsfaktoren indgår også i kvadrat.
-
Man ignorerer rækkefølgen af hjørner: fra notationen $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ opstiller man proportionen $AB : LM$.
Korrespondancen af hjørner bestemmes af positionerne i notationen: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Tilsvarende til \(AB\) er \(KL\), og til \(BC\) — \(LM\). Før du skriver proportionen, skriv par af hjørner lodret — det tager fem sekunder og fjerner de fleste fejl.
-
Man beviser lighed efter én lige stor vinkel eller efter to proportionale sider uden vinkel.
Én lige stor vinkel er ikke nok: to trekanter kan have en lige stor vinkel, men være helt forskellige i form. Et fuldt kendetegn er nødvendigt — to vinkler, eller to sider og vinklen mellem dem, eller alle tre sider.
-
I det andet kendetegn tager man en vinkel, der ikke ligger mellem de givne sider.
Det andet kendetegn virker kun med vinklen mellem de to givne sider. Hvis \(AB\), \(AC\) og vinkel \(B\) er kendt, kan kendetegnet ikke anvendes — find en anden vej: et par lige store vinkler eller den tredje side.
-
Man vender lighedsfaktoren om: finder $k$ som "mindre side til større", og ganger derefter med den for at få siden af den større trekant.
Aftal med dig selv retningen: hvis \(k\) er forholdet mellem siderne af den anden trekant til den første, så ganges siderne af den første med \(k\), og siderne af den anden divideres med \(k\). Den endelige kontrol efter mening: siden af den mindre trekant skal være mindre.
-
I opgaven med en linje parallel med en side opstiller man en proportion af linjestykker: $BM : MA = MN : AC$.
Trekanterne \(BMN\) og \(BAC\) er ligende, og deres tilsvarende sider er \(BM\) og \(BA\) (hele siden fra den fælles top), ikke linjestykket \(MA\). Find først \(BA = BM + MA\), og først derefter opstil proportionen.
-
Man forveksler lighed med lighed og skriver i svaret, at siderne simpelthen er lige store.
Lighed er et specialtilfælde af lighed ved \(k = 1\). Hvis \(k \ne 1\), har trekanterne kun lige store vinkler, og siderne adskiller sig med \(k\) gange. Kendetegnene er også forskellige: for lighed er det SAS, ASA, SSS med sammenfaldende sider, for lighed — proportionale sider.
Spørgsmål og svar
Hvilke trekanter kaldes ligende?
Ligende kaldes trekanter, hvor vinklerne er henholdsvis lige store, og de tilsvarende sider er proportionale. Enklere sagt, det er trekanter af samme form, men forskellig størrelse. Lighed skrives med tegnet ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Hvad er lighedsfaktoren for ligende trekanter?
Lighedsfaktoren k er et tal, der er lig med forholdet mellem tilsvarende sider af ligende trekanter: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Det viser, hvor mange gange den ene trekant er større end den anden. Ved k = 1 er trekanterne lige store.
Hvor mange kendetegn for ligende trekanter er der, og hvad er de?
Der er tre kendetegn. Første — efter to vinkler: to vinkler i den ene trekant er lige store som to vinkler i den anden. Andet — efter to sider og vinklen mellem dem: to sider er proportionale, og vinklerne mellem dem er lige store. Tredje — efter tre sider: alle tre par af tilsvarende sider er proportionale.
Hvordan forholder arealerne af ligende trekanter sig?
Arealerne af ligende trekanter forholder sig som kvadratet på lighedsfaktoren: S₂ : S₁ = k². For eksempel, ved k = 4 er arealet 16 gange større. Omvendt: hvis arealerne forholder sig som 25 : 1, så forholder siderne sig som 5 : 1.
Hvordan forholder omkredsene af ligende trekanter sig?
Omkredsene forholder sig som lighedsfaktoren: P₂ : P₁ = k. På samme måde opfører alle lineære elementer sig — højder, medianer, vinkelhalveringslinjer, midtnormaler, radier af indskrevne og omskrevne cirkler.
Hvad er forskellen på lighed af trekanter og lighed?
Ved lige store trekanter falder både vinkler og sider sammen, så figurerne kan lægges oven på hinanden. Ved ligende trekanter falder kun vinklerne sammen, og siderne er proportionale med faktoren k. Lighed er et specialtilfælde af lighed ved k = 1.
Hvordan beviser man lighed af retvinklede trekanter?
Lighed af én spids vinkel er tilstrækkeligt: de rette vinkler er allerede lige store, så det første kendetegn virker. Anden metode — proportionalitet af kateterne: vinklen mellem kateterne er ret, så det andet kendetegn for lighed kan anvendes.
Hvorfor giver højden fra den rette vinkel tre ligende trekanter?
Højden CH fra toppen af den rette vinkel C deler trekant ABC i trekanterne AHC og CHB. AHC har en ret vinkel ved H og en fælles vinkel A med ABC, CHB har en ret vinkel ved H og en fælles vinkel B, derfor er begge ligende med den oprindelige, og dermed også indbyrdes. Heraf opnås formlerne CH² = AH · HB, AC² = AH · AB og BC² = HB · AB.
I hvilken klasse undervises der i ligende trekanter?
I 8. klasse i geometriundervisningen — lige efter emnet om proportionale linjestykker. Der studeres også de tre kendetegn for lighed, forholdet mellem arealer og anvendelsen af lighed på retvinklede trekanter. Emnet bruges videre i 9. klasse og i OGE-opgaver.
