Nerovnice — to jsou dva výrazy spojené znakem \(<\), \(>\), \(\le\) nebo \(\ge\). Řešit nerovnici znamená najít všechny hodnoty proměnné, při kterých se nerovnice změní na platnou číselnou nerovnost. Odpovědí nebude jedno číslo, ale celá množina: interval na číselné ose nebo sjednocení intervalů. Na této stránce je shromážděna databáze, společná pro všechny typy nerovnic: jak číst znaménka, jaké úpravy jsou povoleny, proč se znaménko obrací při dělení záporným číslem a jak správně zapsat odpověď. A dál — přehled všech typů nerovnic s odkazy na podrobné rozbory a trenažér pro ověření sebe sama.
Co znamená řešit nerovnici
Řešení nerovnice — to je jakákoli hodnota proměnné, která změní nerovnici na platnou číselnou. A řešit nerovnici znamená najít všechny takové hodnoty a zapsat je jako množinu.
Porovnej s rovnicí. U rovnice \(2x = 8\) je odpověď jedno číslo \(x = 4\). U nerovnice \(2x < 8\) je odpovědí nekonečně mnoho čísel: hodí se i \(3\), i \(0\), i \(-100\), i \(3{,}999\). Zapsat je po jednom nelze, proto se odpověď оформляет intervalem: \(x < 4\), tedy \((-\infty;\ 4)\).
Ověřit, zda je konkrétní číslo řešením, je snadné: dosaď ho místo proměnné a podívej se, zda vyšla platná nerovnost.
- \(x = 1\) v nerovnici \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — platí, tedy \(1\) — je řešení.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — neplatí, tedy \(5\) řešením není.
Dvě nerovnice nazýváme ekvivalentní, pokud mají shodné množiny řešení. Celé řešení nerovnice — to je řetězec přechodů k jednodušší ekvivalentní nerovnici, dokud nalevo nezůstane osamocené \(x\).
Znaménka nerovnic: ostré a neostré
Znamének jsou čtyři a od toho, jaké z nich je použito, závisí i odpověď a její zápis. Ostré znaky \(<\) a \(>\) samotný hraniční bod do odpovědi nezahrnují, neostré \(\le\) a \(\ge\) — zahrnují.
Tento rozdíl se táhne celým řešením: ostrý znak dává vynechaný (prázdný) bod na ose a kulatou závorku v odpovědi, neostrý — vyplněný bod a hranatou závorku.
| Znak | Jak se čte a co dává v odpovědi |
|---|---|
| < | menšíostrébod vynechaný, závorka kulatá |
| > | většíostrébod vynechaný, závorka kulatá |
| ≤ | menší nebo rovnoneostrébod vyplněný, závorka hranatá |
| ≥ | větší nebo rovnoneostrébod vyplněný, závorka hranatá |
Ekvivalentní úpravy: co lze s nerovnicí dělat
S nerovnicí lze dělat téměř totéž co s rovnicí, ale s jednou důležitou výhradou. Sčítat a odčítat lze volně: pokud k oběma stranám přičteme nebo od obou stran odečteme totéž, množina řešení se nezmění. Právě takto se členy „přenášejí“ přes znaménko, mění se jim plus na minus.
A ale násobení a dělení závisí na znaménku násobitele. Při násobení nebo dělení obou stran záporným číslem se znaménko nerovnice změní na opačné: \(<\) se stane \(>\), \(\le\) se stane \(\ge\) a naopak. Důvod je vidět na číslech: z platného \(3 < 5\) po vynásobení \(-1\) vznikne \(-3\) a \(-5\), a \(-3 > -5\) — pořadí čísel se obrátilo.
Totéž se stane, pokud zaměníme levou a pravou stranu: ze \(7 < y\) vznikne \(y > 7\).
| Co děláme s oběma stranami | Co se stane se znaménkem |
|---|---|
| Přičteme nebo odečteme stejné číslo nebo výraz | znaménko se zachová |
| Násobíme nebo dělíme kladným číslem | znaménko se zachová |
| Násobíme nebo dělíme záporným číslem | znaménko se změní |
| Zaměníme levou a pravou stranu | znaménko se změní |
| Násobíme nebo dělíme výrazem s proměnnou (x − 2) | nelze takto |
Jak zapsat odpověď: číselná osa a intervaly
Když proměnná zůstala sama, řešení je téměř hotové — zbývá ho jen zapsat. Nejpohodlnější je nejprve vyznačit odpověď na číselné ose a teprve z osy odečíst interval.
Pravidla pro zápis jsou jen tři a nemění se podle typu nerovnice:
- kulatá závorka — bod se do odpovědi nezahrnuje (ostré znaménko, vynechaný bod);
- hranatá závorka — bod se zahrnuje (neostré znaménko, vyplněný bod);
- u nekonečna je závorka vždy kulatá: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — zápisy typu \([-\infty;\ 4]\) neexistují, nekonečno není číslo a nelze ho dosáhnout.
Pokud řešením jsou dva kusy osy, spojí se znakem sjednocení \(\cup\): například \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Typy nerovnic a způsoby jejich řešení
Nerovnice se rozlišují podle toho, jak do nich vstupuje proměnná — zda je v první mocnině, pod druhou mocninou, ve jmenovateli nebo pod absolutní hodnotou. Právě to určuje způsob řešení, proto je první krok jakéhokoli řešení — poznat typ nerovnice. Obecná logika je pak jedna: převést nerovnici do tvaru „výraz se porovnává s nulou“ a poté použít metodu vhodnou pro daný typ. Přehled typů a metod — v tabulce níže.
Zvlášť je třeba si zapamatovat, jak se otevírá absolutní hodnota — tabulka to neobsahuje. Při \(a > 0\) je nerovnice \(|f(x)| < a\) ekvivalentní dvojité nerovnici \(-a < f(x) < a\) (vznikne systém), a \(|f(x)| > a\) — sjednocení \(f(x) < -a\) nebo \(f(x) > a\) (vznikne sjednocení intervalů). Pokud je \(a < 0\), není o čem přemýšlet: absolutní hodnota je nezáporná, proto \(|f(x)| < a\) nemá řešení, a \(|f(x)| > a\) platí pro všechna přípustná \(x\).
Iracionální (s odmocninou) a exponenciální nerovnice se probírají na střední škole: k běžným úpravám se tam přidává práce s definičním oborem.
Podrobné rozbory jednotlivých typů: lineární nerovnice, racionální nerovnice a metoda intervalů, a kořeny kvadratického trojčlenu se pohodlně hledají pomocí Vietovy věty.
| Typ | Jak vypadá a čím se řeší |
|---|---|
| Lineární | ax + b > 0přeneseme členy a dělíme koeficientem u x |
| Kvadratické | ax2 + bx + c > 0najdeme kořeny trojčlenu a podíváme se na parabolu |
| Zlomkově-racionální | P(x) / Q(x) ≥ 0metoda intervalů, nuly jmenovatele vynecháváme |
| S absolutní hodnotou | | f(x) | < arozbalíme absolutní hodnotu podle definice |
| Systém | dvě nerovnice ve složené závorceřešíme každou zvlášť, vezmeme průnik |
Systémy a sjednocení nerovnic
Často se jedna nerovnice rozpadne na dvě a pak je důležité nezaměnit, co s získanými množinami dělat.
Systém (složená závorka) znamená „a to, a to zároveň“. Řešíme každou nerovnici zvlášť, vyznačíme obě odpovědi na jedné ose a vezmeme průnik — společnou část. Pokud společná část neexistuje, systém nemá řešení.
Sjednocení (hranatá závorka) znamená „buď jedno, nebo druhé“. Zde se bere sjednocení — vše, co je vybarveno alespoň jednou z odpovědí. Sjednocení se objevuje například při rozbalování absolutní hodnoty se znaménkem „větší“.
Zvlášť stojí dvojitá nerovnice typu \(-3 < 2x + 1 \le 7\): to je stručný zápis systému. Úpravy se provádějí hned nad všemi třemi částmi — odečítá se, dělí se, a při dělení záporným číslem se obě znaménka otočí dohromady.
Příklady řešení nerovnic
Příklad 1. Ověřit, zda je číslo řešením
Úkol. Je \(x = -1\) řešením nerovnice \(3x + 5 \ge 1\)?
Krok 1. Dosadíme \(-1\) místo \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Krok 2. Porovnáme s pravou stranou: \(2 \ge 1\) — platná číselná nerovnost.
Odpověď. Ano, \(-1\) je jedno z řešení. Ale řešit nerovnici znamená najít všechna taková čísla, ne jedno: zde je odpověď \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Příklad 2. Lineární nerovnice se změnou znaménka
Úkol. Řešte \(7 - 3x < 1\).
Krok 1. Převedeme \(7\) doprava (tj. odečteme \(7\) od obou stran — znaménko nerovnice se nemění): \(-3x < 1 - 7\), tedy \(-3x < -6\).
Krok 2. Obě strany dělíme číslem \(-3\). Dělitel je záporný, proto znaménko se otočí: \(x > 2\).
Krok 3. Vyznačíme na ose: vynechaný bod u \(2\), vyplníme vše vpravo.
Odpověď. \(x > 2\), tedy \(x \in (2;\ +\infty)\).
Příklad 3. Kvadratická nerovnice
Úkol. Řešte \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Krok 1. Najdeme kořeny trojčlenu: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), odkud \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Krok 2. Koeficient u \(x^2\) je kladný, proto větve paraboly směřují nahoru: mezi kořeny je trojčlen záporný, mimo kořeny — kladný.
Krok 3. Potřebujeme znaménko \(\le 0\), tedy záporné hodnoty a samotné kořeny (znaménko je neostré) — vezmeme úsek mezi kořeny včetně krajních bodů.
Odpověď. \(x \in [-1;\ 5]\).
Příklad 4. Nerovnice s absolutní hodnotou
Úkol. Řešte \(|x + 1| > 4\).
Krok 1. Absolutní hodnota je větší než kladné číslo — znamená to, že výraz pod absolutní hodnotou je buď větší než \(4\), nebo menší než \(-4\). Vznikne sjednocení: \(x + 1 > 4\) nebo \(x + 1 < -4\).
Krok 2. Řešíme každou zvlášť: z první \(x > 3\), z druhé \(x < -5\).
Krok 3. Jedná se o sjednocení, proto bereme sjednocení intervalů, ne průnik.
Odpověď. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Příklad 5. Systém nerovnic
Úkol. Řešte systém \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Krok 1. První nerovnice: \(2x > -4\), dělíme kladným \(2\) — znaménko se zachová, \(x > -2\).
Krok 2. Druhá nerovnice: \(x \le 4\).
Krok 3. Vyznačíme obě odpovědi na jedné ose a vezmeme průnik — část osy vybarvenou dvakrát. Levá hranice není zahrnuta (ostré znaménko), pravá je zahrnuta (neostré).
Odpověď. \(x \in (-2;\ 4]\).
Časté chyby při řešení nerovnic
-
Dělili jsme záporným číslem a ponechali jsme původní znaménko.
Při násobení nebo dělení obou stran záporným číslem se znaménko nutně mění na opačné. Z \(-5x \ge 10\) vznikne \(x \le -2\), nikoli \(x \ge -2\). Můžete se ověřit dosazením: \(x = -3\) dává \(15 \ge 10\) — platí, proto správná odpověď je skutečně „menší nebo rovno“.
-
Píší hranatou závorku u nekonečna: $[-\infty;\ 7]$.
Nekonečno není číslo, nelze ho „dosáhnout“, proto je u \(\infty\) vždy kulatá závorka: \((-\infty;\ 7]\). Hranatá závorka se používá pouze u konečné hranice, která vstupuje do odpovědi.
-
Pletou si typ závorky a typ bodu: ostré znaménko zapisují hranatou závorkou.
Ostré znaménko (\(<\), \(>\)) — hranice nevstupuje do odpovědi: vynechaný bod na ose a kulatá závorka. Neostré (\(\le\), \(\ge\)) — hranice vstupuje: vyplněný bod a hranatá závorka. Ověření je jednoduché: dosaďte samotný hraniční bod do původní nerovnice a podívejte se, zda vyšlo platné.
-
Násobí obě strany výrazem s proměnnou, aby se „zbavili zlomku“.
Znaménko takového výrazu není známo, proto není jasné, zda znaménko nerovnice otočit, nebo ne — úprava není ekvivalentní. Místo toho se vše převede na jednu stranu, svede se na jeden zlomek a použije se metoda intervalů.
-
Do odpovědi zapisují jedno číslo: „$x = 3$“ místo množiny.
Řešením nerovnice je množina hodnot. Zapište ji intervalem: \(x > 3\), tedy \((3;\ +\infty)\). Jedno číslo může být pouze prvkem odpovědi, nikoli samotnou odpovědí.
-
U systému berou sjednocení, a u sjednocení — průnik.
U systému (složená závorka, „a“) — průnik, společná část intervalů. U sjednocení (hranatá závorka, „nebo“) — sjednocení přes znak \(\cup\). A ještě: zápis typu „\(-2 < x > 5\)“ nemá smysl — taková odpověď se оформляет jako sjednocení dvou intervalů.
Otázky a odpovědi
Co znamená řešit nerovnici?
Řešit nerovnici znamená najít všechny hodnoty proměnné, při kterých se změní na platnou číselnou nerovnost, a zapsat je jako množinu. Odpovědí bude interval nebo sjednocení intervalů, nikoli jednotlivé číslo.
Jaké jsou typy nerovnic?
Podle typu výrazu s proměnnou rozlišujeme lineární (\(ax + b > 0\)), kvadratické (\(ax^2 + bx + c > 0\)), zlomkově-racionální (proměnná ve jmenovateli), s absolutní hodnotou, iracionální a exponenciální. Zvlášť se vyčleňují systémy a sjednocení nerovnic. Podle znaménka nerovnice se dělí na ostré (\(<\), \(>\)) a neostré (\(\le\), \(\ge\)).
Kdy se znaménko nerovnice změní na opačné?
Ve dvou případech: když obě strany násobíme nebo dělíme záporným číslem a když zaměníme levou a pravou stranu. Při přičítání, odčítání a dělení kladným číslem znaménko zůstává stejné.
Kdy je závorka kulatá a kdy hranatá?
Kulatá — pokud hraniční bod do odpovědi nevstupuje (ostré znaménko, vynechaný bod na ose). Hranatá — pokud vstupuje (neostré znaménko, vyplněný bod). U \(+\infty\) a \(-\infty\) je závorka vždy kulatá.
Čím se řešení nerovnice liší od řešení rovnice?
Úpravy jsou téměř stejné, ale u rovnice odpověď obvykle sestává z jednotlivých čísel, zatímco u nerovnice — z celých intervalů. Navíc u nerovnice existuje pravidlo změny znaménka při násobení a dělení záporným číslem, které u rovnic není.
Jaká nerovnice se nazývá zlomková a kde se probírá?
Zlomková (zlomkově-racionální) se nazývá nerovnice, ve které je proměnná ve jmenovateli, — například \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); kvůli jmenovateli má definiční obor a nelze ji řešit běžným dělením. Krokový algoritmus s příklady — v samostatném materiálu racionální nerovnice a metoda intervalů.
V jakém ročníku se učí řešení nerovnic?
Lineární nerovnice a číselné intervaly se probírají v 8. třídě (u aut. Merzljaka — v 9.), kvadratické a zlomkově-racionální nerovnice s metodou intervalů — v 8.–9. třídě, a iracionální a exponenciální — na střední škole.
