تنشأ في الدائرة نوعان رئيسيان من الزوايا: الزاوية المركزية — التي رأسها في مركز الدائرة، والزاوية المحيطية — التي رأسها على محيط الدائرة. العلاقة بينهما بسيطة: الزاوية المركزية تساوي قياس القوس الذي تقابله، أما الزاوية المحيطية فتساوي نصف قياسه. في هذه الصفحة، ستجد تعريفات، ونظرية الزاوية المحيطية مع جميع نتائجها، ورسومات توضيحية، وحلول مفصلة للمسائل خطوة بخطوة، ومحاكي تفاعلي يمكنك من خلاله اختبار نفسك على الفور.
أنواع الزوايا في الدائرة: المركزية والمحيطية
إذا رسمنا قطعتين مستقيمتين من نقطة واحدة في دائرة، نحصل على زاوية. اعتمادًا على موقع رأس الزاوية، نميز نوعين رئيسيين من الزوايا في الدائرة:
- الزاوية المركزية — هي زاوية رأسها في مركز الدائرة \(O\). وضلعاها نصفا قطرين.
- الزاوية المحيطية — هي زاوية يقع رأسها على الدائرة، ويقطع ضلعاها الدائرة (أي أنهما وتران).
كل من هاتين الزاويتين تقابل قوسًا — وهو جزء من الدائرة يقع داخل الزاوية. وهذا القوس هو الذي يربط بين الزاوية المركزية والزاوية المحيطية: فكلاهما يُعبر عنهما من خلال قياس هذا القوس بالدرجات.
إذا كان رأس الزاوية داخل الدائرة (وليس في المركز) أو خارجها — فهي ليست زاوية محيطية ولا مركزية: لمثل هذه الزوايا توجد صيغ خاصة بها، سنتحدث عنها في نهاية الصفحة.
∠AOC = القوس AC = 120°
∠ABC = ½ القوس AC = 60°
نظرية الزاوية المحيطية وقياسها
الزاوية المركزية تساوي قياس القوس الذي تقابله — وهكذا يتم تحديد قياس القوس بالدرجات. إذا كان \(\angle AOC = 120°\)، فإن قياس القوس \(AC\) يساوي \(120°\) أيضًا.
نظرية الزاوية المحيطية: قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس الذي تقابله:
ومن هنا تأتي العلاقة الرئيسية بين الزوايا المحيطية والمركزية: الزاوية المحيطية تساوي نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في نفس القوس:
لا يعتمد قياس الزاوية المحيطية على موقع رأسها على الدائرة — المهم فقط هو القوس الذي تقابله. لذلك، يجب تذكر الرسم أدناه باعتباره «الصورة المرجعية» للموضوع بأكمله: القوس الأخضر والزاويتان اللتان تقابلانه.
الزوايا المحيطية والمركزية: الخصائص والنتائج
من نظرية الزاوية المحيطية، نستنتج مباشرة خصائص تُبنى عليها معظم المسائل المدرسية:
- الزوايا المحيطية التي تقابل نفس القوس تكون متساوية. كل منها يساوي نصف قياس نفس القوس — وبالتالي، فهي متساوية مع بعضها البعض، بغض النظر عن موقع رؤوسها.
- الزاوية المحيطية المقابلة لقطر الدائرة تكون قائمة. القطر يقسم الدائرة إلى نصفي دائرة قياس كل منهما \(180°\)، لذا فإن هذه الزاوية تساوي \(180° : 2 = 90°\). والعكس صحيح أيضًا: إذا كانت الزاوية المحيطية قائمة، فإنها تقابل قطرًا.
- يمكن أن تكون الزاوية المحيطية منفرجة. إذا كان قياس القوس أكبر من \(180°\)، يكون قياس الزاوية أكبر من \(90°\) — صيغة «نصف القوس» تعمل بدون استثناءات.
هذه الخصائص تعمل أيضًا «بالعكس»: على سبيل المثال، من خلال تساوي الزوايا التي تقابل نفس القطعة المستقيمة، يمكن إثبات أن أربع نقاط تقع على دائرة واحدة.
الرباعي الدائري
إذا كانت جميع رؤوس الشكل الرباعي الأربعة تقع على دائرة، فإنه يسمى رباعيًا دائريًا (وتسمى الدائرة محيطة به). زوايا هذا الرباعي هي زوايا محيطية، لذا تنطبق عليها نفس النظرية.
- مجموع الزاويتين المتقابلتين في الرباعي الدائري يساوي \(180°\). الزاويتان \(A\) و \(C\) تقابلان قوسين يشكلان معًا الدائرة بأكملها (\(360°\))، لذا فإن \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- الزاوية الخارجة للرباعي الدائري تساوي الزاوية الداخلية المقابلة للمجاورة لها. الزاوية الخارجة تكمل زاويته الداخلية المجاورة لها إلى \(180°\) — تمامًا مثل الزاوية المقابلة لها.
- خاصية مجموع الزوايا هي أيضًا شرط: إذا كان مجموع الزاويتين المتقابلتين في رباعي يساوي \(180°\)، فيمكن رسم دائرة تمر برؤوسه. لهذا السبب، يمكن إحاطة أي مستطيل بدائرة، بينما لا يمكن ذلك للمعين (باستثناء المربع).
بالإضافة إلى الزوايا المحيطية، تظهر في المسائل أيضًا الزوايا المماسية — وهي الزوايا المحصورة بين مماسين مرسومين من نقطة واحدة خارج الدائرة. الزاوية المماسية تساوي نصف الفرق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعيها.
أمثلة على حل مسائل الزوايا المحيطية والمركزية
مثال 1: إيجاد الزاوية المحيطية من القوس
المسألة: الزاوية المحيطية \(ABC\) تقابل القوس \(AC\) الذي قياسه \(120°\). أوجد \(\angle ABC\).
الخطوة 1: نتذكر النظرية: الزاوية المحيطية تساوي نصف قياس القوس الذي تقابله.
الخطوة 2: نعوض بالقيم: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
الإجابة: \(60°\).
مثال 2: إيجاد الزاوية المركزية من الزاوية المحيطية
المسألة: قياس الزاوية المحيطية \(ABC\) يساوي \(40°\). أوجد قياس الزاوية المركزية \(AOC\) التي تقابل نفس القوس \(AC\).
الخطوة 1: الزاوية المركزية تساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المشتركة معها في نفس القوس: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
الخطوة 2: نحسب: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). وبهذا عرفنا قياس القوس أيضًا: \(AC = 80°\).
الإجابة: \(80°\).
مثال 3: الزاوية المقابلة للقطر
المسألة: \(AC\) هو قطر الدائرة، والنقطة \(B\) تقع على الدائرة، \(\angle BAC = 35°\). أوجد \(\angle BCA\).
الخطوة 1: الزاوية \(ABC\) تقابل القطر \(AC\)، إذن \(\angle ABC = 90°\) — المثلث \(ABC\) قائم الزاوية.
الخطوة 2: مجموع زوايا المثلث يساوي \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
الإجابة: \(55°\).
مثال 4: الرباعي الدائري
المسألة: الرباعي \(ABCD\) هو رباعي دائري، \(\angle A = 70°\)، \(\angle B = 80°\). أوجد قياس الزاويتين \(C\) و \(D\).
الخطوة 1: مجموع الزاويتين المتقابلتين في الرباعي الدائري يساوي \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
الخطوة 2: بالمثل \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
التحقق: \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — مجموع زوايا الرباعي صحيح.
الإجابة: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
أخطاء شائعة في مسائل الزوايا في الدائرة
-
الخلط بين الزاوية المحيطية والمركزية: حساب الزاوية التي رأسها في المركز على أنها نصف القوس (أو العكس).
انظر أولاً إلى رأس الزاوية. إذا كان الرأس في المركز \(O\) — فهي زاوية مركزية، وتساوي قياس القوس بأكمله. إذا كان الرأس على الدائرة — فهي زاوية محيطية، وتساوي نصف قياس القوس.
-
اختيار القوس الخاطئ: حساب الزاوية المحيطية باستخدام القوس الذي يقع عليه رأسها.
الزاوية المحيطية تقابل القوس الذي يقع «داخل» الزاوية — بينما يقع رأسها دائمًا على القوس الآخر. في التعبير \(\angle ABC\)، تقابل الزاوية القوس \(AC\) الذي لا يحتوي على النقطة \(B\).
-
الضرب والقسمة على 2 «في الاتجاه الخاطئ»: عند الانتقال من الزاوية المحيطية إلى المركزية، يقسمون بدلاً من الضرب.
تذكر: الزاوية المحيطية هي «الصغيرة» (نصف القوس)، والمركزية هي «الكبيرة» (القوس كاملاً). للانتقال من المحيطية إلى المركزية — نضرب في 2، ومن المركزية إلى المحيطية — نقسم.
-
اعتبار أي زاوية يقطع ضلعاها الدائرة زاوية محيطية — على سبيل المثال، الزاوية بين وترين متقاطعين داخل الدائرة.
يجب أن يقع رأس الزاوية المحيطية على الدائرة نفسها. الزاوية التي رأسها داخل الدائرة تساوي نصف مجموع القوسين المقابلين لها، والتي رأسها خارج الدائرة تساوي نصف الفرق بينهما: هذه صيغ مختلفة.
-
في الرباعي الدائري، جعل مجموع الزاويتين المتجاورتين يساوي $180°$ بدلاً من المتقابلتين.
الخاصية تنطبق فقط على الرؤوس المتقابلة: \(\angle A + \angle C = 180°\) و \(\angle B + \angle D = 180°\). أما الزوايا المتجاورة في الرباعي الدائري فيمكن أن تكون أي شيء.
أسئلة وأجوبة
ما هو قياس الزاوية المحيطية؟
الزاوية المحيطية تساوي نصف قياس القوس الذي تقابله. على سبيل المثال، إذا كان قياس القوس 120°، فإن قياس الزاوية المحيطية يساوي 60°. هذه هي نظرية الزاوية المحيطية — الصيغة الرئيسية في هذا الموضوع.
ما العلاقة بين الزاوية المحيطية والمركزية المشتركتين في نفس القوس؟
الزاوية المركزية تساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية: ∠AOC = 2·∠ABC. الزاوية المركزية تساوي قياس القوس نفسه، أما الزاوية المحيطية فتساوي نصفه.
لماذا تكون الزاوية المحيطية المقابلة للقطر قائمة (90°)؟
القطر يقابل نصف دائرة — أي قوس قياسه 180°. الزاوية المحيطية تساوي نصف قياس القوس: 180° : 2 = 90°. لهذا السبب، أي مثلث يكون أحد أضلاعه قطرًا للدائرة المحيطة به هو مثلث قائم الزاوية.
هل يمكن أن تكون الزاوية المحيطية منفرجة؟
نعم. إذا كان قياس القوس الذي تقابله الزاوية أكبر من 180°، تكون الزاوية منفرجة: على سبيل المثال، القوس الذي قياسه 210° تقابله زاوية محيطية قياسها 105°. ومع ذلك، فإن الزاوية المحيطية دائمًا أقل من 180°.
ما هي الزاوية المماسية وبماذا تختلف عن الزاوية المحيطية؟
الزاوية المماسية تتكون من مماسين مرسومين للدائرة من نقطة خارجية واحدة. يقع رأسها خارج الدائرة، وقياسها يساوي نصف الفرق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعيها. أما الزاوية المحيطية، فيقع رأسها على الدائرة، وقياسها يساوي نصف قياس القوس المقابل لها.
ما هي أنواع الزوايا الأخرى الموجودة في الدائرة؟
بالإضافة إلى الزاوية المركزية والمحيطية، هناك زاوية تقاطع وترين (رأسها داخل الدائرة — تساوي نصف مجموع القوسين)، وزاوية تقاطع قاطعين من نقطة خارجية (تساوي نصف الفرق بين القوسين)، والزاوية بين مماس ووتر (تساوي نصف قياس القوس المحصور بينهما). جميعها يمكن التعبير عنها بدلالة أقواس الدائرة.
