نظرية فيثاغورس: الصيغة، البرهان، والمسائل

تعمل نظرية فيثاغورس فقط في المثلث القائم الزاوية — وهو المثلث الذي يكون أحد زواياه \(90°\). تُسمى أضلاع هذا المثلث بأسماء مختلفة:

• القائمان (أو الضلعان القائمان): الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة.
• الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول ضلع في المثلث.

نص النظرية: في المثلث القائم الزاوية، يساوي مربع طول الوتر مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين.

هنا \(a\) و \(b\) هما القائمان، و \(c\) هو الوتر. أحيانًا تُصاغ النظرية بشكل "هندسي": مساحة المربع المبني على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين المبنيين على القائمين. هذه هي نفس النظرية، ولكنها مُعبّر عنها بالمساحات بدلًا من الأرقام.

لتذكر ترتيب الأحرف، تساعد قاعدة بسيطة: تحت الحرف الكبير \(c\) دائمًا يختبئ الضلع الأطول. إذا اختلط عليك الأمر بين الوتر والقائم في مسألة، فستكون الإجابة خاطئة.

هناك أكثر من مئة برهان معروف لنظرية فيثاغورس. في المدرسة، يتم تناول البرهان الأكثر وضوحًا — البرهان عبر المساحات. نأخذ مربعين متطابقين طول ضلعهما \(a + b\)، ونضع في كل منهما أربعة مثلثات قائمة الزاوية متطابقة بأضلاع قائمة \(a\) و \(b\) — ولكن بطرق مختلفة.

1. في المربع الأول، نحرك المثلثات نحو الزوايا بحيث تتبقى مساحتان فارغتان: مربع طول ضلعه \(a\) ومربع طول ضلعه \(b\). مساحاتهما هي \(a^2\) و \(b^2\).
2. في المربع الثاني، نرتب نفس المثلثات الأربعة "كمروحة". تتبقى مساحة واحدة فارغة وهي مربع مائل طول ضلعه \(c\)، ومساحته \(c^2\).
3. مساحات المربعين الكبيرين متساوية: كل منهما يساوي \((a+b)^2\). وكذلك المساحة الكلية للمثلثات متساوية: كل مثلث يشغل مساحة \(\frac{ab}{2}\)، والمثلثات الأربعة تشغل مساحة \(2ab\).

بما أن الكل والجزء المطروح منه متساويان، فإن البواقي متساوية أيضًا: \(a^2 + b^2 = c^2\). تم إثبات النظرية — تم كتابة توازن المساحات لكلا المربعين أسفل الرسم.

من صيغة واحدة \(a^2 + b^2 = c^2\) تُشتق جميع الصيغ العملية للموضوع: يتم التعبير عن الضلع المجهول من المعادلة واستخراج الجذر التربيعي. الفرق الوحيد بين الحالتين هو نقطة واحدة — وهي غالبًا ما تُسبب الأخطاء:

• الوتر: يُبحث عنه عبر مجموع مربعي القائمين — يجب أن يكون أطول من أي منهما.
• القائم: يُبحث عنه عبر الفرق: يُطرح مربع الوتر من مربع القائم المعلوم، ويجب أن تكون النتيجة أصغر من الوتر.

إذا كان ما تحت الجذر عددًا سالبًا، فهذا يعني أنك خلطت بين الوتر والقائم — ارجع إلى الرسم وابحث عن الزاوية القائمة. وهناك تفصيل آخر: الجذر في النهاية ضروري، فهذه الخطوة هي الأكثر شيوعًا لفقدان النقاط.

مذكرة جاهزة بجميع الصيغ — أدناه.

النظرية العكسية لنظرية فيثاغورس: إذا كان مربع أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية، والزاوية القائمة تقع مقابل الضلع الأطول.

هذه أداة عملية: باستخدام ثلاثة أرقام، يمكنك معرفة نوع المثلث دون قياس الزوايا بالمنقلة. خطوات العمل كالتالي:

1. ابحث عن أطول ضلع — فهو المرشح ليكون الوتر.
2. قم بتربيع الضلعين الآخرين واجمعهما.
3. قارن الناتج بمربع الضلع الأطول.

إذا كان هناك تساوي — فالمثلث قائم الزاوية. على سبيل المثال، الأضلاع 6، 8، و 10: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\)، مما يعني أن المثلث قائم الزاوية.

تُسمى مجموعات الأعداد الصحيحة التي تحقق هذه المعادلة ثلاثيات فيثاغورس. أشهرها هي 3، 4، 5: يُسمى هذا المثلث بالمثلث المصري، لأن البنائين في مصر القديمة كانوا يقيسون 12 جزءًا متساويًا على حبل ويشكلون منه مثلثًا بأضلاع 3، 4، و 5 للحصول على زاوية قائمة دقيقة في البناء. لا يزال هذا الأسلوب يُستخدم حتى اليوم.

تُستخدم نظرية فيثاغورس كلما أمكن رؤية مثلث قائم الزاوية في الشكل:

• قطر المستطيل. يقسم القطر المستطيل إلى مثلثين قائمي الزاوية، لذا \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). هكذا يُحسب قطر شاشة التلفزيون أو مساحة الغرفة.
• ارتفاع المثلث متساوي الساقين. الارتفاع المرسوم إلى القاعدة يقسمها إلى نصفين ويُشكل مثلثًا قائم الزاوية — وتُطبق نفس الصيغة.
• قطر المربع. إذا كان طول الضلع \(a\)، فإن \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
• المسافة بين نقطتين على المستوى الإحداثي. الصيغة \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) هي نظرية فيثاغورس لمثلث مبني على فروق الإحداثيات.
• مسائل عملية. سلم مستند إلى حائط؛ ارتفاع شجرة بناءً على ظلها؛ طول حبل، شداد، كابل — في كل هذه المسائل، يتم إكمال مثلث قائم الزاوية وتطبيق الصيغة.

من المهم تذكر القيد الرئيسي: نظرية فيثاغورس صحيحة فقط للمثلث القائم الزاوية. إذا لم تكن هناك زاوية قائمة، فإن الأضلاع ترتبط بنظرية جيب التمام (الكوساين)، التي تُدرس في الصف التاسع.