نظرية جيب التمام: الصيغة، البرهان، والمسائل

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

شخصية هندسية كرتونية بجانب مثلث كبير، إحدى الزوايا معلمة بقوس

تربط نظرية جيب التمام بين أضلاع المثلث الثلاثة وأحد زواياه: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. تعمل هذه النظرية في أي مثلث، لذلك في الصف التاسع تحل محل نظرية فيثاغورس عندما لا تكون هناك زاوية قائمة. تُستخدم لإيجاد الضلع الثالث إذا عُرفت الضلعان الآخران والزاوية بينهما، وباستخدام الاستنتاج $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ يمكن إيجاد أي زاوية بمعرفة الأضلاع الثلاثة وتحديد نوع المثلث. الصفحة تحتوي على الصيغة وجميع أشكالها الثلاثة، البرهان، جدول قيم جيب التمام، مذكرة «الجيب أو جيب التمام»، تحليل مسائل OGE، وجهاز تدريب للتحقق الذاتي.

نظرية جيب التمام: الصيغة والبرهان

تعمل نظرية جيب التمام في أي مثلث — لا تحتاج إلى زاوية قائمة. إنها تربط بين ثلاثة أضلاع وزاوية واحدة، لذلك تُستخدم لإيجاد ضلع إذا عُرفت الضلعان الآخران والزاوية بينهما.

الصيغة. مربع ضلع المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين ناقص ضعف حاصل ضرب هذين الضلعين في جيب تمام الزاوية بينهما.

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

هنا $a$، $b$، $c$ هي أضلاع المثلث، و $C$ هي الزاوية بين الضلعين $a$ و $b$؛ الضلع $c$ يقع مقابل هذه الزاوية. يمكن استخدام أي حروف - الصيغة متماثلة، لذلك لها ثلاث صيغ متكافئة:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

القاعدة الرئيسية للتعويض: نأخذ الزاوية المحصورة بين الضلعين في حاصل الضرب، ونجد الضلع المقابل لها. إذا أخذنا زاوية «مجاورة»، ستكون جميع الأرقام من المعطيات، والإجابة خاطئة.

c² = a² + b² − 2ab · cos C a² = b² + c² − 2bc · cos A b² = a² + c² − 2ac · cos B

الزاوية التي نأخذها هي المحصورة بين الضلعين في حاصل الضرب، والضلع الذي نجده هو المقابل لها: الزاوية C - بين a و b، الضلع c - مقابل.

لماذا نظرية فيثاغورس حالة خاصة من نظرية جيب التمام

إذا عوضنا بزاوية قائمة في الصيغة، أي $C = 90°$. جيب تمام الزاوية القائمة يساوي صفرًا، لذلك الحد الثالث يُلغى بالكامل:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90° = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2.\]

وهذا هو بالضبط نظرية فيثاغورس التي نعرفها من الصف الثامن. لذلك تُسمى نظرية جيب التمام بتعميم لها: فيثاغورس هي «حالة خاصة عند 90°»، ونظرية جيب التمام تعمل لجميع الزوايا.

يمكن فهم الحد $-2ab\cos C$ على أنه تصحيح لعدم كون الزاوية قائمة:

الزاوية حادة، $\cos C > 0$ — يُطرح التصحيح، ويكون الضلع $c$ أقصر مما تعطيه نظرية فيثاغورس؛
الزاوية قائمة، $\cos C = 0$ — لا يوجد تصحيح، ويبقى $c^2 = a^2 + b^2$؛
الزاوية منفرجة، $\cos C < 0$ — يُضاف التصحيح، ويكون الضلع $c$ أطول.

نأخذ نظرية جيب التمامc² = a² + b² − 2ab · cos C

نجعل الزاوية قائمةC = 90°, cos 90° = 0 → 2ab · 0 = 0

تبقى نظرية فيثاغورسc² = a² + b²

برهان نظرية جيب التمام

أقصر برهان مدرسي هو البرهان بالإحداثيات. نضع الرأس $C$ عند نقطة الأصل، والضلع $b = CA$ على محور $x$. إذن إحداثيات الرؤوس هي:

$C(0;\ 0)$ — نقطة الأصل؛
$A(b;\ 0)$ — نقطة على محور $x$ على مسافة $b$ من الأصل؛
$B(a\cos C;\ a\sin C)$ — رأس على مسافة $a$ من الأصل بزاوية $C$ مع محور $x$.

الضلع $c$ هو طول القطعة المستقيمة $AB$. نحسبه باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين:

\[c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2\]

نفك الأقواس:

\[c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C\]

نجمع الحدود التي تحتوي على $a^2$ ونطبق المتطابقة المثلثية الأساسية $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$:

\[c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

وهو المطلوب إثباته. لاحظ: لم يُشترط أبدًا أن تكون الزاوية $C$ حادة. إذا كانت منفرجة، فإن جيب التمام يكون سالبًا، وتنتقل الإحداثيات $a\cos C$ إلى يسار المحور $y$، لكن جميع الحسابات تبقى كما هي — لذلك النظرية صحيحة لأي مثلث.

الرأس C - عند نقطة الأصل، الضلع b على محور x. إذن إحداثيات الرأس B تُعبر عنها بدلالة الضلع a والزاوية C.

استنتاج: كيف نجد الزاوية بمعرفة الأضلاع الثلاثة

من نظرية جيب التمام، نستخرج جيب التمام نفسه — وهذا هو استنتاجها الرئيسي. يُستخدم لإيجاد الزاوية عندما تكون الأضلاع الثلاثة معروفة:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

في البسط: مجموع مربعي الضلعين المجاورين للزاوية ناقص مربع الضلع المقابل لها. في المقام: ضعف حاصل ضرب الضلعين المجاورين. للزوايا الأخرى، الصيغ هي نفسها:

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

خطوات الحل:

اختر الزاوية المطلوبة وحدد الضلع المقابل لها — مربعها يذهب إلى البسط بإشارة سالبة؛
احسب الكسر (المقام دائمًا موجب، الإشارة يحددها البسط فقط)؛
باستخدام الجدول أو دالة القوس جيب التمام (arccos)، أوجد الزاوية نفسها.

نصيحة مفيدة: ابدأ بالضلع الأكبر. مقابله تقع الزاوية الأكبر، وهي وحدها التي يمكن أن تكون قائمة أو منفرجة — الزاويتان الأخريان في المثلث دائمًا حادتان.

جيب تمام الزوايا المنفرجة سالب: جدول القيم

في مسائل المدرسة، الزوايا غالبًا ما تكون «جدولية»: 30°، 45°، 60°، 90°، 120°، 135°، 150°. للزوايا الحادة، جيب التمام موجب، وللزاوية القائمة يساوي صفرًا، وللزوايا المنفرجة — سالب. تُحصل على القيم للزوايا المنفرجة من قيم الزوايا الحادة باستخدام قاعدة التحويل $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$: على سبيل المثال، $\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5$.

ماذا يعني هذا عمليًا: عند الزاوية المنفرجة، يصبح الحد $-2ab\cos C$ موجبًا — سالب في سالب. بالنسبة للزاوية 120°، تبدو الصيغة كالتالي:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-0{,}5) = a^2 + b^2 + ab.\]

وهنا تحديدًا يضيع الطلاب الدرجات غالبًا: يعوضون بـ $0{,}5$ بدلًا من $-0{,}5$ ويحصلون على ضلع أقصر من الضلعين المعطيين. هذا مستحيل قطعًا — مقابل الزاوية المنفرجة يقع أطول ضلع في المثلث.

الزاوية	جيب التمام
30°	√3/2 ≈ 0,87
45°	√2/2 ≈ 0,71
60°	1/2 = 0,5
90°	0
120°	−1/2 = −0,5
135°	−√2/2 ≈ −0,71
150°	−√3/2 ≈ −0,87

قاعدة التحويل: cos(180° − α) = −cos α. القيم الخضراء تعطي زاوية حادة، والوردية — زاوية منفرجة.

كيفية تحديد نوع المثلث بمعرفة أضلاعه الثلاثة

تسمح نظرية جيب التمام بمعرفة نوع المثلث دون قياس الزوايا بالمنقلة. إشارة الكسر $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ تعتمد فقط على البسط: المقام $2ab$ موجب دائمًا. لذلك، يكفي مقارنة مربع الضلع الأكبر بمجموع مربعي الضلعين الآخرين.

لنفترض أن $c$ هو الضلع الأكبر، فإن الزاوية $C$ المقابلة له هي الأكبر:

$a^2 + b^2 > c^2$ → $\cos C > 0$ → الزاوية $C$ حادة. الزوايا الأخرى أصغر منها، مما يعني أن جميع الزوايا الثلاث حادة — المثلث حاد الزوايا؛
$a^2 + b^2 = c^2$ → $\cos C = 0$ → $C = 90°$ — المثلث قائم الزاوية (وهذه هي نظرية فيثاغورس العكسية)؛
$a^2 + b^2 < c^2$ → $\cos C < 0$ → الزاوية $C$ منفرجة — المثلث منفرج الزاوية.

لا حاجة للتحقق من الزوايا الأخرى: الزاوية القائمة أو المنفرجة في المثلث تكون واحدة فقط. ولا تنسَ متباينة المثلث — إذا كان الضلع الأكبر ليس أصغر من مجموع الضلعين الآخرين، فلا يمكن لمثلث بهذه الأضلاع أن يوجد أصلاً.

a² + b² > c²cos C > 0, الزاوية C حادةحاد الزوايامثال: 5، 6، 7

a² + b² = c²cos C = 0, الزاوية C قائمةقائم الزاويةمثال: 8، 15، 17

a² + b² < c²cos C < 0, الزاوية C منفرجةمنفرج الزاويةمثال: 4، 7، 9

في جميع الأسطر الثلاثة، c هو الضلع الأكبر في المثلث: فقط مقابله يمكن أن تكون زاوية قائمة أو منفرجة.

نظرية الجيب أو جيب التمام: كيف نختار

كلتا النظريتين تحلان نفس المسألة — إيجاد الأضلاع والزوايا المجهولة في المثلث — ولكن تُستخدمان بناءً على مجموعات مختلفة من المعطيات. تربط نظرية الجيب بين الضلع والزاوية المقابلة له:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

ومن هنا قاعدة الاختيار: إذا كانت هناك بالفعل زوج «ضلع وزاوية مقابلة له» في المعطيات — تعمل نظرية الجيب؛ إذا لم تكن هناك مثل هذه الزوج — نبدأ بنظرية جيب التمام. مذكرة بأربعة مجموعات معطيات مدرسية — في الجدول.

غالبًا ما تُحل المسألة في خطوتين: أولاً، تعطي نظرية جيب التمام الضلع الثالث، ثم بسرعة تجد نظرية الجيب الزوايا المتبقية.

ما هو معلوم	ماذا نطبق
ضلعان وزاوية محصورة (SAS)ضلعان وزاوية بينهما	نظرية جيب التماملإيجاد الضلع الثالث
ثلاثة أضلاع (SSS)جميع الأضلاع الثلاثة	نظرية جيب التماملإيجاد أي زاوية وتحديد نوع المثلث
زاويتان وضلع (ASA/AAS)ضلع وزاويتان	نظرية الجيبلإيجاد الضلعين الآخرين
ضلعان وزاوية (SSA)ضلعان وزاوية مقابل لأحدهما	نظرية الجيبلإيجاد الزاوية المقابلة

في حالة SSA، قد يكون هناك حلان: جيب الزاوية لا يفرق بين الزاوية الحادة والمنفرجة، لذلك يجب التحقق من كلا الاحتمالين بناءً على شروط المسألة.

نظرية جيب التمام في مسائل OGE

في امتحان OGE للرياضيات، تظهر نظرية جيب التمام في مسائل الهندسة المستوية — سواء في الجزء الأول أو في المسائل التي تتطلب إجابة مفصلة. المواضيع النموذجية هي:

إيجاد ضلع بمعرفة ضلعين والزاوية بينهما — تطبيق مباشر للصيغة، غالبًا مع زوايا 60° أو 120°.
إيجاد زاوية أو جيب تمامها بمعرفة ثلاثة أضلاع — استنتاج $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. إذا كُتب في المسألة «أوجد $\cos\angle A$»، فلا حاجة لحساب معكوس جيب التمام (arccos): الإجابة هي الكسر نفسه، وهو ما يُكتب.
أقطار متوازي الأضلاع. القطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين، كل منهما بمعرفتين ضلعين وزاوية بينهما. الزوايا المتجاورة في متوازي الأضلاع مجموعها 180°، لذلك جيب تمامها متعاكس: مقابل الزاوية الحادة يقع القطر الأصغر، ومقابل الزاوية المنفرجة — القطر الأكبر.
تحديد نوع المثلث بمعرفة ثلاثة أرقام — مقارنة $a^2 + b^2$ مع $c^2$.
متوسط المثلث. الصيغة $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ تُشتق بتطبيق نظرية جيب التمام مرتين على زاويتين متجاورتين عند القاعدة.

نصيحة للامتحان: قبل البدء بالحساب، حدد على الرسم الزاوية «المحصورة» بين الضلعين المعروفين. إذا لم تكن هناك مثل هذه الزاوية — فلا يمكن تطبيق نظرية جيب التمام بعد، يجب البحث عن طريق آخر.

أمثلة لحل مسائل على نظرية جيب التمام

مثال 1. إيجاد ضلع بمعرفة ضلعين وزاوية 60°

المسألة. في المثلث $ABC$، الضلعان $a = 7$ و $b = 15$، والزاوية بينهما $C = 60°$. أوجد الضلع $c$.

الخطوة 1. الزاوية $C$ محصورة بين الضلعين $a$ و $b$ — وهذا هو بالضبط الحالة التي صُممت النظرية من أجلها:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

الخطوة 2. نعوض بالأرقام، $\cos 60° = 0{,}5$:

\[c^2 = 7^2 + 15^2 - 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0{,}5 = 49 + 225 - 105 = 169.\]

الخطوة 3. نأخذ الجذر التربيعي: $c = \sqrt{169} = 13$.

الإجابة: $13$. التحقق من المعنى: الزاوية 60° حادة، لذلك الضلع المقابل لها ليس الأطول — وبالفعل، $13 < 15$.

مثال 2. زاوية منفرجة: سالب في سالب

المسألة. في المثلث $ABC$، معروف: $AB = 6$، $BC = 10$، الزاوية $B = 120°$. أوجد الضلع $AC$.

الخطوة 1. الزاوية $B$ محصورة بين الضلعين $AB$ و $BC$، والضلع $AC$ مقابل لها:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]

الخطوة 2. الزاوية منفرجة، لذلك $\cos 120° = -0{,}5$. السالب قبل حاصل الضرب والسالب في جيب التمام يعطيان موجبًا:

\[AC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196.\]

الخطوة 3. $AC = \sqrt{196} = 14$.

الإجابة: $14$. التحقق: مقابل الزاوية المنفرجة يقع أطول ضلع — $14$ أكبر من $6$ و $10$.

مثال 3. إيجاد الزاوية بمعرفة ثلاثة أضلاع

المسألة. أضلاع مثلث طولها $3$، $5$، و $7$. أوجد أكبر زاوية فيه.

الخطوة 1. أكبر زاوية تقع مقابل أكبر ضلع، أي مقابل الضلع $7$. لنرمز لها بـ $C$، إذن $c = 7$، والضلعان المجاوران $a = 3$ و $b = 5$.

الخطوة 2. نطبق الاستنتاج:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -0{,}5.\]

الخطوة 3. جيب التمام سالب — الزاوية منفرجة. من جدول القيم، $\cos 120° = -0{,}5$، إذن $C = 120°$.

الإجابة: $120°$. بالمناسبة، اتضح أن المثلث منفرج الزاوية.

مثال 4. تحديد نوع المثلث

المسألة. حدد نوع المثلث الذي أضلاعه $6$، $7$، و $10$.

الخطوة 1. نتحقق من متباينة المثلث: $6 + 7 = 13 > 10$ — المثلث موجود. الضلع الأكبر هو $10$.

الخطوة 2. نقارن مجموع مربعي الضلعين الأصغر بمربع الضلع الأكبر:

\[6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, \qquad 10^2 = 100.\]

الخطوة 3. $85 < 100$، إذن البسط في الكسر سالب و $\cos C < 0$ — الزاوية المقابلة للضلع $10$ منفرجة. إذا أردت، يمكنك إيجاد الزاوية نفسها:

\[\cos C = \frac{85 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{-15}{84} \approx -0{,}18 \Rightarrow C \approx 100°.\]

الإجابة: المثلث منفرج الزاوية. لاحظ: هذا ليس واضحًا بالعين المجردة — الأضلاع متقاربة جدًا، والزاوية تجاوزت بالفعل 90°.

مثال 5. مسألة بمستوى OGE: قطر متوازي الأضلاع

المسألة. أضلاع متوازي الأضلاع $5$ و $8$، والزاوية الحادة $60°$. أوجد القطر الأصغر.

الخطوة 1. القطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلث، معروف فيه ضلعان (5 و 8) والزاوية بينهما. القطر الأصغر يقع مقابل الزاوية الحادة 60°.

الخطوة 2. نحسب:

\[d^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7.\]

الخطوة 3. التحقق. القطر الآخر يقع مقابل الزاوية 120° (مجموع الزوايا المتجاورة في متوازي الأضلاع 180°): $D^2 = 89 + 40 = 129$، أي $D = \sqrt{129} \approx 11.4$. مجموع مربعي القطرين يساوي $49 + 129 = 178$، وضعف مجموع مربعي الأضلاع يساوي $2(25 + 64) = 178$. تطابقا، إذن الحساب صحيح.

الإجابة: $7$.

أخطاء شائعة في مسائل نظرية جيب التمام

أخذ جيب تمام الزاوية المنفرجة بإشارة موجبة. بالنسبة للضلعين 4 و 9 والزاوية 120° بينهما، يكتبون $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ ويحصلون على $c \approx 7.8$.

$\cos 120° = -0{,}5$، وسالب في سالب يعطي موجبًا: $c^2 = 97 + 36 = 133$، أي $c = \sqrt{133} \approx 11.5$. تحقق سريع: مقابل الزاوية المنفرجة يقع أطول ضلع، لذا يجب أن تكون الإجابة أكبر من 9.
التعويض بزاوية غير محصورة بين الضلعين المعطيين: في المعطيات زاوية واحدة، ويأخذونها «كما هي»، دون النظر إلى الرسم.

في الصيغة $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$، الضلعان $a$ و $b$ يشكلان الزاوية $C$، والضلع $c$ مقابل لهما. إذا كانت الزاوية المعلومة مجاورة للضلع المطلوب، فهذه الصيغة غير مناسبة — نحتاج إلى صيغة أخرى من الثلاثة أو نظرية الجيب.
نسيان أخذ الجذر التربيعي وكتابة مربع الضلع كإجابة: حصلوا على $c^2 = 225$ وكتبوا «الضلع يساوي 225».

الصيغة تعطي دائمًا مربع الضلع. الخطوة الأخيرة إلزامية: $c = \sqrt{225} = 15$. أعد قراءة سؤال المسألة قبل كتابة الإجابة.
خلط ترتيب الحدود في الاستنتاج وكتابة $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.

البسط الصحيح هو $a^2 + b^2 - c^2$: مجموع مربعي الضلعين المجاورين ناقص مربع الضلع المقابل. عند تبديل الحدود، تتغير إشارة الكسر إلى العكس، وبدلًا من الزاوية المنفرجة 120° نحصل على الحادة 60°.
إيجاد الزاوية بقيمة مطلقة لجيب التمام: حصلوا على −0.25، وكتبوا في الإجابة زاوية حادة، كما لو كان جيب التمام +0.25.

جيب التمام السالب يعني دائمًا زاوية منفرجة. لا يجب إهمال الإشارة: cos 60° = 0.5، و cos 120° = −0.5؛ معكوس جيب التمام لعدد سالب أكبر من 90°.
محاولة حل مسألة «ضلعان وزاوية بينهما» باستخدام نظرية الجيب والتعثر في السطر الأول.

نظرية الجيب تحتاج إلى زوج جاهز «ضلع وزاوية مقابلة». عند معرفة ضلعين والزاوية بينهما، لا يوجد مثل هذا الزوج — أولاً، تعطي نظرية جيب التمام الضلع الثالث، وبعد ذلك فقط تُستخدم نظرية الجيب.

أسئلة وأجوبة

كيف تُصاغ نظرية جيب التمام؟

مربع ضلع المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين ناقص ضعف حاصل ضرب هذين الضلعين في جيب تمام الزاوية بينهما: c² = a² + b² − 2ab·cos C. النظرية صحيحة لأي مثلث، وليس فقط للمثلث القائم الزاوية.

كيف نجد ضلع مثلث بمعرفة ضلعين والزاوية بينهما؟

نعوض بالبيانات في الصيغة c² = a² + b² − 2ab·cos C ونأخذ الجذر التربيعي. على سبيل المثال، عند ضلعين 4 و 6 والزاوية 60° بينهما: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28، إذن c = √28 ≈ 5,3.

كيف نجد زاوية مثلث إذا عُرفت أضلاعه الثلاثة؟

باستخدام استنتاج نظرية جيب التمام: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)، حيث c هو الضلع المقابل للزاوية المطلوبة. على سبيل المثال، للأضلاع 2، 3، و 4، جيب تمام أكبر زاوية يساوي (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25، أي الزاوية منفرجة، حوالي 104°.

لماذا نظرية فيثاغورس حالة خاصة من نظرية جيب التمام؟

لأن عند الزاوية القائمة cos 90° = 0، والحد −2ab·cos C يُلغى. من الصيغة يبقى c² = a² + b² — وهذه هي نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية.

هل تعمل نظرية جيب التمام في المثلث منفرج الزاوية؟

نعم، وتعمل دون تغيير. للزاوية المنفرجة جيب التمام سالب، لذلك الحد −2ab·cos C يصبح موجبًا ويُضاف إلى مجموع المربعين. لهذا السبب يكون الضلع المقابل للزاوية المنفرجة هو الأطول.

متى نطبق نظرية الجيب، ومتى نطبق نظرية جيب التمام؟

نظرية الجيب مطلوبة عندما توجد بالفعل في المعطيات زوج «ضلع وزاوية مقابلة» — على سبيل المثال، ضلع وزاويتان معروفتان. نظرية جيب التمام تُستخدم عندما لا يوجد مثل هذا الزوج: معروفتان ضلعان والزاوية بينهما، أو الأضلاع الثلاثة. غالبًا ما تُحل المسألة في خطوتين: أولاً جيب التمام، ثم الجيب.

كيف نحدد نوع المثلث بمعرفة أضلاعه الثلاثة؟

نقارن مربع الضلع الأكبر c² بمجموع مربعي الضلعين الآخرين. إذا كان a² + b² > c² — المثلث حاد الزوايا، إذا كان a² + b² = c² — قائم الزاوية، إذا كان a² + b² < c² — منفرج الزاوية. إشارة هذا الفرق تتطابق مع إشارة جيب تمام أكبر زاوية.

في أي صف تُدرس نظرية جيب التمام؟

في الصف التاسع في دروس الهندسة، في موضوع «العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلث» — مع نظرية الجيب. لاحقًا تُستخدم باستمرار في مسائل OGE و ЕГЭ في الهندسة المستوية والهندسة الفراغية.

هل لديك أسئلة أخرى؟ تابع في الدردشة

حل مسألتي تحقق من حلي أوجد ضلع المثلث أوجد الزاوية بمعرفة ثلاثة أضلاع جيب التمام أم الجيب؟ أعطني مسائل للتدريب

مستخدم #4365351

أعجبني حقاً محرر النصوص على الصور — النتيجة كانت تحفة فنية بكل المقاييس.

الويب · مايو 2026

مستخدم #4383661

شكراً لكم، عمل الشبكة العصبية أبهرني حقاً. مثالي!

مستخدم #4279467

أعجبني كثيراً — سيكون رائعاً لو توفرت بضع محاولات مجانية إضافية.

Google Play · مايو 2026

مستخدم #4160129

تطبيق رائع بأسعار معقولة.

نظرية جيب التمام: الصيغة والبرهان والمسائل