一个圆会产生两种主要的角：圆心角——顶点在圆心，和圆周角——顶点在圆周上。它们之间的关系很简单：圆心角等于它所对的弧，而圆周角等于该弧的一半。本页内容包括：定义、圆周角定理及其所有推论、直观的图示、分步解题示例以及一个可以立即检验自己的互动练习器。
圆中角的类型：圆心角和圆周角
在一个圆内从一个点画出两条线段，就会形成一个角。根据其顶点的位置，可以区分出圆中两种主要的角：
- 圆心角——顶点在圆心 \(O\) 的角。它的两边是半径。
- 圆周角——顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角（即两边都是弦）。
这些角中的每一个都对着一段弧——位于角内部的那部分圆周。正是通过弧，圆心角和圆周角联系在一起：两者都通过弧的度数来表示。
如果角的顶点在圆内（但不在圆心）或圆外，那么它既不是圆周角也不是圆心角：对于这类角有它们自己的公式，我们将在本页末尾讨论。
∠AOC = 弧AC = 120°
∠ABC = ½ 弧AC = 60°
圆周角定理及圆周角的大小
圆心角等于它所对的弧——这就是弧的度量方式。如果 \(\angle AOC = 120°\)，那么弧 \(AC\) 也等于 \(120°\)。
圆周角定理： 圆周角的大小等于它所对的弧的一半：
由此得出圆周角和圆心角的主要关系：圆周角等于同弧所对的圆心角的一半：
圆周角的大小不取决于其顶点在圆周上的具体位置——只取决于它所对的弧。因此，下面的图应该作为整个主题的“工作图”来记忆：绿色的弧和两个对着它的角。
圆周角和圆心角：性质和推论
从圆周角定理直接可以得出一些性质，大多数学校的题目都是基于这些性质的：
- 同弧或等弧所对的圆周角相等。 它们中的每一个都等于同一段弧的一半——因此，无论它们的顶点在哪里，它们都彼此相等。
- 直径所对的圆周角是直角。 直径将圆分成两个 \(180°\) 的半圆，所以这样的角等于 \(180° : 2 = 90°\)。反之亦然：如果一个圆周角是直角，那么它所对的弦是直径。
- 圆周角可以是钝角。 如果弧度大于 \(180°\)，那么角就大于 \(90°\)——“弧的一半”这个公式没有任何例外。
这些性质也可以“反向”使用：例如，通过证明对同一条线段的角相等，可以证明四个点共圆。
圆内接角和圆外切角：圆内接四边形
如果一个四边形的所有四个顶点都在一个圆上，它就被称为圆内接四边形（而这个圆被称为它的外接圆）。这种四边形的角都是圆周角，因此同样的定理也适用于它们。
- 圆内接四边形的对角互补（和为 \(180°\)）。 角 \(A\) 和角 \(C\) 所对的两段弧加起来是整个圆（\(360°\)），所以 \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\)。
- 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 外角与它的内角互补，和为 \(180°\)——正好和对角一样。
- 角的和的性质也是一个判定：如果一个四边形的对角和为 \(180°\)，那么它就可以内接于一个圆。因此，任何矩形都可以内接于一个圆，而菱形（正方形除外）则不能。
在题目中，除了圆内接角，还会遇到由两条切线形成的角——由从圆外一点引出的两条切线之间的角。这个角等于它所夹的两段弧的度数差的一半。
圆周角和圆心角问题解题示例
示例1：根据弧长求圆周角
问题： 圆周角 \(ABC\) 所对的弧 \(AC\) 等于 \(120°\)。求 \(\angle ABC\)。
步骤1： 回忆定理：圆周角等于它所对的弧的一半。
步骤2： 代入计算：\(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\)。
答案： \(60°\)。
示例2：根据圆周角求圆心角
问题： 圆周角 \(ABC\) 等于 \(40°\)。求对同一段弧 \(AC\) 的圆心角 \(AOC\)。
步骤1： 圆心角是同弧所对的圆周角的两倍：\(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\)。
步骤2： 计算：\(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\)。同时我们也知道了弧长：\(AC = 80°\)。
答案： \(80°\)。
示例3：直径所对的角
问题： \(AC\) 是圆的直径，点 \(B\) 在圆周上，\(\angle BAC = 35°\)。求 \(\angle BCA\)。
步骤1： 角 \(ABC\) 对的是直径 \(AC\)，因此 \(\angle ABC = 90°\)——三角形 \(ABC\) 是直角三角形。
步骤2： 三角形的内角和为 \(180°\)：\(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\)。
答案： \(55°\)。
示例4：圆内接四边形
问题： 四边形 \(ABCD\) 内接于一个圆，\(\angle A = 70°\)，\(\angle B = 80°\)。求角 \(C\) 和角 \(D\)。
步骤1： 圆内接四边形的对角和为 \(180°\)：\(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\)。
步骤2： 同样地，\(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\)。
检查： \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\)——四边形的内角和正确。
答案： \(\angle C = 110°\)，\(\angle D = 100°\)。
关于圆中角的题目的常见错误
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混淆圆周角和圆心角：对于顶点在圆心的角，取了弧长的一半（反之亦然）。
首先看顶点。顶点在圆心 \(O\)——这是圆心角，它等于整个弧。顶点在圆周上——这是圆周角，它等于弧的一半。
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选错了弧：对于圆周角，计算了其顶点所在的弧。
圆周角所对的弧位于角的“内部”——顶点总是在另一段弧上。在 \(\angle ABC\) 的记法中，角所对的是不包含点 \(B\) 的弧 \(AC\)。
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乘除2的方向搞反了：从圆周角到圆心角时除了2，而不是乘2。
请记住：圆周角是“小”的（弧的一半），圆心角是“大”的（整个弧）。从圆周角到圆心角——乘以2，从圆心角到圆周角——除以2。
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把任何边与圆相交的角都当作圆周角——例如，在圆内相交的弦之间的角。
圆周角的顶点必须在圆周上。顶点在圆内的角等于所夹两弧和的一半，顶点在圆外的角等于所夹两弧差的一半：这些是不同的公式。
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在圆内接四边形中，将相邻角的和当作 $180°$，而不是对角。
这个性质只适用于对角：\(\angle A + \angle C = 180°\) 和 \(\angle B + \angle D = 180°\)。圆内接四边形的相邻角可以是任意度数。
问题与解答
圆周角等于多少？
圆周角等于它所对的弧的一半。例如，如果弧是120°，圆周角就是60°。这就是圆周角定理——这个主题的核心公式。
对同一段弧的圆周角和圆心角有什么关系？
圆心角是圆周角的两倍：∠AOC = 2·∠ABC。圆心角等于弧本身，而圆周角等于弧的一半。
为什么直径所对的圆周角等于90°？
直径所对的弧是半圆——即180°的弧。圆周角等于弧的一半：180° : 2 = 90°。因此，任何一边是其外接圆直径的三角形都是直角三角形。
圆周角可以是钝角吗？
可以。如果角所对的弧大于180°，那么这个角就是钝角：例如，210°的弧对应的圆周角是105°。但圆周角总是小于180°。
什么是切线角，它和圆周角有什么区别？
由两条切线形成的角是由从圆外一点向圆引的两条切线构成的。它的顶点在圆外，其大小等于它所截两段弧的度数差的一半。而圆周角的顶点在圆周上，大小等于它所对的一段弧的一半。
圆中还有哪些其他类型的角？
除了圆心角和圆周角，还有弦与弦相交所成的角（顶点在圆内——等于所夹两弧和的一半），两条割线相交所成的角（顶点在圆外——等于所夹两弧差的一半），以及弦切角（等于所夹弧的一半）。它们都可以用圆弧来表示。
