余弦定理建立了三角形三条边与其中一个角之间的关系：\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)。它适用于任意三角形，因此在九年级，当没有直角时，它便取代了勾股定理。利用该定理，已知两边及其夹角即可求出第三边；通过推论 \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)，可以根据三边求出任意角并判断三角形的形状。本页包含定理表述、三种公式形式、余弦值表、正弦与余弦定理选择指南、中考真题解析及自测练习。
余弦定理：表述与公式
余弦定理适用于任意三角形，不需要直角。它关联了三条边和一个角，因此已知两边及其夹角时，可用它求出第三边。
表述。 三角形一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角余弦乘积的二倍。
其中 \(a\)、\(b\)、\(c\) 为三角形边长，\(C\) 为边 \(a\) 和 \(b\) 的夹角；边 \(c\) 位于该角对侧。字母可以任意选取，公式具有对称性，因此有三种等价的写法：
代入的主要规则：必须取两边乘积所夹的那个角，而求出的是该角对侧的边。如果取了“邻近”的角，虽然数字都在题目中，但计算结果会出错。
为什么勾股定理是余弦定理的特例
将直角代入公式，即 \(C = 90°\)。直角的余弦值为零，因此第三项完全抵消：
这正是八年级学过的勾股定理。因此，余弦定理被称为其推广：勾股定理是“90°时的特例”，而余弦定理适用于所有角度。
项 \(-2ab\cos C\) 可以理解为 对非直角的修正：
- 角为锐角，\(\cos C > 0\) — 修正项被减去，边 \(c\) 比勾股定理计算出的结果更短；
- 角为直角，\(\cos C = 0\) — 无修正，剩下 \(c^2 = a^2 + b^2\)；
- 角为钝角，\(\cos C < 0\) — 修正项被加上，边 \(c\) 更长。
余弦定理的证明
最短的学校证明法是坐标法。将顶点 \(C\) 置于原点，边 \(b = CA\) 沿 \(x\) 轴方向。则各顶点坐标为：
- \(C(0;\ 0)\) — 原点；
- \(A(b;\ 0)\) — \(x\) 轴上距离原点 \(b\) 的点；
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — 距离原点 \(a\) 且与 \(x\) 轴夹角为 \(C\) 的顶点。
边 \(c\) 是线段 \(AB\) 的长度。根据两点间距离公式计算：
展开括号：
将含 \(a^2\) 的项分组，并应用三角恒等式 \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\)：
证毕。注意：过程中并未要求角 \(C\) 为锐角。如果它是钝角，余弦值为负，坐标 \(a\cos C\) 会落在 \(y\) 轴左侧，但所有推导过程保持不变 — 因此定理适用于任意三角形。
推论：如何根据三边求角
从余弦定理中导出余弦值本身是其最重要的推论。当已知三条边时，可用它求角：
分子是夹角的两条邻边的平方和，减去该角对侧边的平方。分母是两条邻边乘积的二倍。其他角的公式同理：
求解步骤：
- 选择待求角，确定其对侧边 — 该边的平方在分子中带负号；
- 计算分数（分母始终为正，符号仅由分子决定）；
- 通过数值表或反余弦函数求出角度。
实用技巧：从最长边开始。其对侧角是最大角，只有它可能是直角或钝角 — 三角形中其余两个角必为锐角。
钝角余弦值为负：数值表
在学校习题中，角度几乎总是“特殊角”：30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°。锐角的余弦值为正，直角为零，而钝角的余弦值为 负。钝角的值可根据诱导公式 \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) 从锐角值导出：例如，\(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\)。
实际意义：当角为钝角时，表达式 \(-2ab\cos C\) 中的负负得正，变为加法。对于 120° 角，公式如下：
这是最容易丢分的地方：将 \(0{,}5\) 代替了 \(-0{,}5\)，导致计算出的边比已知两边都短。这显然是不可能的 — 钝角对侧的边是三角形中最长的边。
| 角度 | 余弦值 |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
如何根据三边判断三角形形状
余弦定理无需量角器即可判断三角形形状。分数 \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) 的符号仅取决于分子：分母 \(2ab\) 始终为正。因此，只需比较最长边的平方与其余两边平方和的大小。
设 \(c\) 为最长边，则其对侧角 \(C\) 为最大角：
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → 角 \(C\) 为锐角。其余角均小于它，故三个角均为锐角 — 三角形为锐角三角形；
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — 三角形为直角三角形（即勾股定理逆定理）；
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → 角 \(C\) 为钝角 — 三角形为钝角三角形。
无需检查其余角：三角形中直角或钝角最多只能有一个。别忘了三角形不等式 — 如果最长边不小于其余两边之和，则该三角形根本不存在。
正弦定理还是余弦定理：如何选择
两个定理解决同一个问题 — 求三角形的未知边和角，但适用条件不同。正弦定理关联了边及其对侧角：
选择规则：如果题目中已有“边及其对角”这一对已知条件 — 使用正弦定理；如果没有 — 从余弦定理开始。四种学校常见数据组合的指南见下表。
通常题目分两步解决：先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理快速求出剩余角度。
| 已知条件 | 使用定理 |
|---|---|
| SAS两边及其夹角 | 余弦定理求第三边 |
| SSS三条边 | 余弦定理求任意角及判断形状 |
| ASA一边及两角 | 正弦定理求另外两边 |
| SSA两边及其中一边的对角 | 正弦定理求对角 |
中考（OGE）中的余弦定理
在中考数学中，余弦定理出现在平面几何题中 — 包括第一部分和解答题。典型场景如下：
- 已知两边及其夹角求边 — 直接应用公式，通常涉及 60° 或 120° 角。
- 已知三边求角或其余弦值 — 使用推论 \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)。如果题目要求“求 \(\cos\angle A\)”，则无需反余弦，直接写出分数即可。
- 平行四边形的对角线。 对角线将平行四边形分割为两边及其夹角的三角形。平行四边形邻角互补，因此余弦值互为相反数：锐角对侧为较短对角线，钝角对侧为较长对角线。
- 根据三边判断三角形形状 — 比较 \(a^2 + b^2\) 与 \(c^2\)。
- 三角形中线。 公式 \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) 是通过对两个相邻角应用两次余弦定理导出的。
考试建议：计算前，在图中标出已知两边所夹的角。如果没有这样的角 — 余弦定理暂不可用，需寻找其他路径。
余弦定理习题解析
例 1. 已知两边及其夹角 60° 求边
题目。 在三角形 \(ABC\) 中，边 \(a = 7\)，\(b = 15\)，夹角 \(C = 60°\)。求边 \(c\)。
第 1 步。 角 \(C\) 是边 \(a\) 和 \(b\) 的夹角 — 这正是定理的应用场景：
第 2 步。 代入数值，\(\cos 60° = 0{,}5\)：
第 3 步。 开方：\(c = \sqrt{169} = 13\).
答案： \(13\)。逻辑验证：60° 为锐角，因此对侧边不是最长边 — 确实，\(13 < 15\)。
例 2. 钝角：负负得正
题目。 在三角形 \(ABC\) 中，已知：\(AB = 6\)，\(BC = 10\)，角 \(B = 120°\)。求边 \(AC\)。
第 1 步。 角 \(B\) 是 \(AB\) 和 \(BC\) 的夹角，\(AC\) 是其对边：
第 2 步。 角为钝角，故 \(\cos 120° = -0{,}5\)。乘积前的负号与余弦值的负号相乘得正：
第 3 步。 \(AC = \sqrt{196} = 14\).
答案： \(14\)。验证：钝角对侧为最长边 — \(14\) 大于 \(6\) 和 \(10\)。
例 3. 已知三边求角
题目。 三角形三边分别为 \(3, 5, 7\)。求其最大角。
第 1 步。 最大角对侧为最长边，即边 \(7\)。设其为 \(C\)，则 \(c = 7\)，邻边 \(a = 3, b = 5\).
第 2 步。 应用推论：
第 3 步。 余弦值为负 — 角为钝角。根据数值表 \(\cos 120° = -0{,}5\)，故 \(C = 120°\).
答案： \(120°\)。同时得出该三角形为钝角三角形。
例 4. 判断三角形形状
题目。 判断三边为 \(6, 7, 10\) 的三角形形状。
第 1 步。 检查三角形不等式：\(6 + 7 = 13 > 10\) — 三角形存在。最长边为 \(10\).
第 2 步。 比较两短边平方和与最长边平方：
第 3 步。 \(85 < 100\)，说明分数分子为负，\(\cos C < 0\) — 边 \(10\) 对侧角为钝角。若需要，也可求出角度：
答案： 钝角三角形。注意：“肉眼”看不出来 — 边长相差不大，但角已超过 90°。
例 5. 中考真题：平行四边形对角线
题目。 平行四边形边长为 \(5\) 和 \(8\)，锐角为 \(60°\)。求较短对角线。
第 1 步。 对角线分割出的三角形已知两边 (\(5\) 和 \(8\)) 及其夹角。较短对角线对侧为锐角 \(60°\).
第 2 步。 计算：
第 3 步。验证。 另一条对角线对侧为 \(120°\)（平行四边形邻角互补）：\(D^2 = 89 + 40 = 129\)，即 \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\)。对角线平方和为 \(49 + 129 = 178\)，边长平方和的二倍为 \(2(25 + 64) = 178\)。吻合，计算正确。
答案： \(7\)。
余弦定理习题中的常见错误
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将钝角余弦值取为正。对于边 $4$ 和 $9$ 及夹角 $120°$，写成 $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$，得到 $c \approx 7{,}8$。
\(\cos 120° = -0{,}5\)，负负得正：\(c^2 = 97 + 36 = 133\)，即 \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\)。快速验证：钝角对侧为最长边，故答案必大于 \(9\)。
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代入了非已知两边的夹角：题目给出一个角，就直接代入，不看图。
在 \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) 中，边 \(a\) 和 \(b\) 构成角 \(C\)，边 \(c\) 对侧。如果已知角邻接于待求边，该公式不适用 — 需使用其他两种形式或正弦定理。
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忘记开方，直接将边长的平方作为答案：得到 $c^2 = 225$，写“边长为 225”。
公式总是给出边长的平方。最后一步必须：\(c = \sqrt{225} = 15\)。写答案前重读题目。
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推论中项的顺序搞错，写成 $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$。
正确的分子是 \(a^2 + b^2 - c^2\)：邻边平方和减去对边平方。顺序颠倒会导致符号相反，将钝角 \(120°\) 变成锐角 \(60°\)。
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根据余弦值的绝对值求角：得到 −0,25，却写成锐角，仿佛余弦值是 +0,25。
余弦值为负必为钝角。符号不能丢：cos 60° = 0,5，cos 120° = −0,5；负数的反余弦值大于 90°。
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试图用正弦定理解决“两边及其夹角”问题，卡在第一步。
正弦定理需要现成的“边及其对角”对。已知两边及其夹角时没有这种对 — 必须先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理。
问答
余弦定理怎么表述？
三角形一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角余弦乘积的二倍：c² = a² + b² − 2ab·cos C。定理适用于任意三角形，不仅是直角三角形。
如何根据两边及其夹角求边？
代入公式 c² = a² + b² − 2ab·cos C 并开方。例如，边为 4 和 6，夹角 60°：c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28，故 c = √28 ≈ 5,3。
已知三边如何求角？
使用余弦定理推论：cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)，其中 c 为待求角对侧边。例如，三边为 2, 3, 4，最大角余弦为 (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25，即钝角，约 104°。
为什么勾股定理是余弦定理的特例？
因为直角时 cos 90° = 0，项 −2ab·cos C 抵消。公式剩下 c² = a² + b² — 这正是直角三角形的勾股定理。
余弦定理适用于钝角三角形吗？
适用，且无需修改。钝角余弦值为负，项 −2ab·cos C 变为正并加到平方和中。正因如此，钝角对侧边成为最长边。
何时用正弦定理，何时用余弦定理？
已知“边及其对角”对时（如一边两角）用正弦定理。没有这种对时（如两边夹角或三边）用余弦定理。通常分两步：先余弦，后正弦。
如何根据三边判断三角形形状？
比较最长边平方 c² 与其余两边平方和。若 a² + b² > c² — 锐角三角形，若 a² + b² = c² — 直角三角形，若 a² + b² < c² — 钝角三角形。差值的符号与最大角余弦符号一致。
几年级学余弦定理？
九年级几何课，在“三角形边角关系”主题中 — 与正弦定理一起。之后在平面几何和立体几何的中考、高考题中频繁使用。
