Tôi sẽ giải bài toán này từng bước một.

Задание 1

Đề bài: Chứng minh tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật.

Giải:

• Xét tứ giác $AMHN$ có:

  • $\angle MAN = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$)
  • $\angle AMH = 90^\circ$ (do $HM \perp AB$)
  • $\angle ANH = 90^\circ$ (do $HN \perp AC$)

• Tứ giác $AMHN$ có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Kết luận: Tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật.

Задание 2

Đề bài: Gọi $I$ là trung điểm của $HC$, lấy điểm $K$ sao cho $I$ là trung điểm $AK$. Chứng minh $AC // HK$.

Giải:

• Xét đoạn thẳng $AK$ có $I$ là trung điểm.
• Xét đoạn thẳng $HC$ có $I$ là trung điểm.
• Suy ra $AHCK$ là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
• Vậy $AC // HK$.

Kết luận: $AC // HK$.

Задание 3

Đề bài: Chứng minh tứ giác $MNCK$ là hình thang cân.

Giải:

• Vì $AMHN$ là hình chữ nhật (chứng minh trên) nên $MN // BC$.
• Suy ra $\angle ANM = \angle ACB$ (đồng vị).
• Mà $AC // HK$ (chứng minh trên) nên $\angle HKA = \angle CAK$ (so le trong).
• Tứ giác $MNCK$ có $MN // CK$ nên là hình thang.
• Ta cần chứng minh $MNCK$ là hình thang cân, tức là chứng minh $\angle MNC = \angle NKC$.
• Ta có $\angle NKC = \angle ACK$ (so le trong, do $AC // HK$).
• Mà $\angle ACK = \angle ACB$ (vì $C, K, B$ thẳng hàng).
• Suy ra $\angle NKC = \angle ACB$.
• Vậy $\angle MNC = \angle NKC$.
• Do đó, tứ giác $MNCK$ là hình thang cân.

Kết luận: Tứ giác $MNCK$ là hình thang cân.