Масштаб карти показує, у скільки разів відстань на карті менша за справжню відстань на місцевості. Саме він дозволяє з лінійкою в руках дізнатися, скільки кілометрів між двома містами, не виходячи з дому. Розглянемо три види масштабу — числовий, іменований та лінійний, навчимося переводити один в інший, розраховувати відстань по карті та визначати масштаб самостійно. В кінці — інтерактивний тренажер із завданнями.
Що таке масштаб карти
Масштаб — це відношення довжини відрізка на карті (або плані) до довжини відповідного відрізка на місцевості. Записують його як відношення двох чисел: 1 : 200 000. Перше число завжди одиниця — це 1 см на карті. Друге число, знаменник, показує, скільком сантиметрам на місцевості цей сантиметр відповідає.
Масштаб 1 : 200 000 означає, що всі відстані на карті зменшені у 200 000 разів. Отже, 1 см на карті — це 200 000 см на місцевості, тобто 2 км.
Обидві частини відношення виражені в однакових одиницях — у сантиметрах, тому масштаб не має одиниць вимірювання: запис «1 : 200 000 км» є невірним. Масштаб є у будь-якої карти, плану місцевості, креслення та макета — його підписують унизу карти або в її легенді.
Види масштабу: числовий, іменований та лінійний
Один і той самий масштаб записують трьома способами — усі три означають рівно одне й те саме:
- Числовий масштаб — відношення чисел: 1 : 100 000. Універсальний запис, з ним зручно рахувати.
- Іменований масштаб — словами: в 1 см — 1 км. Одразу видно, скільки кілометрів «міститься в сантиметрі».
- Лінійний масштаб — лінійка-шкала під картою з підписаними поділками. За нею відстань читають напряму, без обчислень.
Щоб перевести числовий масштаб в іменований, знаменник ділять на 100 (вийдуть метри) або на 100 000 (вийдуть кілометри) — адже 1 м = 100 см, а 1 км = 100 000 см. Зворотний переклад, іменований у числовий, робиться так само навпаки: величину переводять у сантиметри і ставлять у знаменник.
| Числовий масштаб | Іменований |
|---|---|
| 1 : 1001 см = 100 см | 1 м |
| 1 : 50001 см = 5000 см | 50 м |
| 1 : 25 0001 см = 25 000 см | 250 м |
| 1 : 100 0001 см = 100 000 см | 1 км |
| 1 : 200 0001 см = 200 000 см | 2 км |
| 1 : 1 000 0001 см = 1 000 000 см | 10 км |
Лінійний масштаб: як виміряти відстань без обчислень
Лінійний масштаб — це готова шкала, намальована під картою: її поділки вже підписані в метрах або кілометрах, тому множити і ділити не потрібно.
Як ним користуватися:
- Відміряй відрізок на карті циркулем-вимірювачем або познач його довжину на краєчку смужки паперу.
- Приклади відрізок до шкали так, щоб правий кінець потрапив точно на цілу поділку.
- Лівий кінець опиниться в поділці ліворуч від нуля — вона спеціально розбита на дрібні частини. За ними читають залишок: сотні метрів.
- Склади цілі поділки та залишок — це і є відстань на місцевості.
На шкалі нижче правий кінець відрізка стоїть на поділці «2», а лівий потрапив на 400 м ліворуч від нуля. Довжина відрізка — 2 км + 400 м = 2,4 км.
Як розрахувати відстань по карті та визначити масштаб
Майже всі шкільні задачі на масштаб — це три зворотні операції.
Відстань на місцевості. Виміряй відрізок на карті в сантиметрах і помнож на знаменник масштабу — отримаєш сантиметри на місцевості. Потім переведи їх у метри (÷ 100) або кілометри (÷ 100 000).
Масштаб карти. Якщо відома справжня відстань і довжина відрізка на карті, переведи відстань у сантиметри і розділи на довжину відрізка. Отримане число і є знаменник масштабу.
Довжина відрізка на карті. Відстань на місцевості переведи в сантиметри і розділи на знаменник масштабу.
Уся арифметика тримається на одному ланцюжку одиниць, який варто вивчити напам'ять: 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м = 100 000 см.
Великий та дрібний масштаб карти
Тут помиляються найчастіше. Правило одне: чим більший знаменник, тим дрібніший масштаб. Масштаб — це дріб 1/200 000, а з двох дробів більша та, у якої знаменник менший.
- Великий масштаб (1 : 5000, 1 : 10 000) — малий знаменник, зменшення слабке. Зображення детальне: видно окремі будинки та стежки, але на аркуші вміщується невелика ділянка. Так роблять плани місцевості.
- Дрібний масштаб (1 : 10 000 000) — величезний знаменник, зменшення сильне. На одному аркуші вміщується цілий материк, зате деталі зникають: залишаються тільки великі міста, річки та гірські системи.
За масштабом карти поділяють на великомасштабні (від 1 : 10 000 до 1 : 200 000), середньомасштабні (від 1 : 200 000 до 1 : 1 000 000) та дрібномасштабні (дрібніші за 1 : 1 000 000). Плани місцевості завжди більші за 1 : 10 000.
Приклади розв'язання задач на масштаб
Приклад 1. Відстань по карті → на місцевості
Завдання. Масштаб карти 1 : 200 000. Відстань між двома селищами на карті — 3 см. Скільки кілометрів між ними на місцевості?
Крок 1. Знаменник масштабу — 200 000. Отже, 1 см на карті = 200 000 см на місцевості.
Крок 2. Множимо довжину відрізка на знаменник: 3 × 200 000 = 600 000 см.
Крок 3. Переводимо сантиметри в метри: 600 000 ÷ 100 = 6000 м.
Крок 4. Метри в кілометри: 6000 ÷ 1000 = 6 км.
Відповідь: 6 км. Короткий шлях: 600 000 ÷ 100 000 = 6 км, адже 1 км = 100 000 см.
Приклад 2. Як визначити масштаб карти
Завдання. Відомо, що між містами 12 км, а на карті це відстань дорівнює 8 см. Визнач числовий масштаб карти.
Крок 1. Переводимо справжню відстань у сантиметри: 12 км × 100 000 = 1 200 000 см.
Крок 2. Ділимо на довжину відрізка на карті: 1 200 000 ÷ 8 = 150 000.
Крок 3. Записуємо відповідь відношенням: 1 : 150 000.
Перевірка. Зворотним ходом: 8 × 150 000 = 1 200 000 см = 12 км. Збігається.
Відповідь: масштаб 1 : 150 000, іменований — в 1 см 1,5 км.
Приклад 3. Якої довжини буде відрізок на карті
Завдання. Масштаб плану 1 : 25 000. Якої довжини буде на ньому відрізок, що зображує дорогу довжиною 3 км?
Крок 1. Переводимо відстань у сантиметри: 3 км × 100 000 = 300 000 см.
Крок 2. Ділимо на знаменник масштабу: 300 000 ÷ 25 000 = 12 см.
Перевірка. 12 × 25 000 = 300 000 см = 3 км. Збігається.
Відповідь: 12 см. Зверни увагу: тут ми ділимо, а не множимо — завдання зворотне першому.
Приклад 4. Переведення масштабу з виду в вид
Завдання. Переведи масштаб 1 : 25 000 в іменований, а іменований «в 1 см 500 м» — в числовий.
Числовий → іменований. Знаменник 25 000 — це сантиметри. Ділимо на 100: 25 000 ÷ 100 = 250 м. Отримуємо «в 1 см — 250 м».
Іменований → числовий. Переводимо 500 м у сантиметри: 500 × 100 = 50 000 см. Ставимо це число у знаменник: 1 : 50 000.
Підказка. Якщо знаменник ділиться на 100 000, відповідь одразу виходить у кілометрах: 1 : 500 000 → 500 000 ÷ 100 000 = 5, тобто «в 1 см 5 км».
Часті помилки при роботі з масштабом
-
Вважають, що 1 : 1 000 000 — «великий» масштаб, адже число велике, а 1 : 5000 — «дрібний».
Навпаки. Масштаб — це дріб 1/1 000 000, і чим більший знаменник, тим менший дріб і тим дрібніший масштаб. 1 : 5000 більший, ніж 1 : 1 000 000, у двісті разів.
-
Втрачають нулі при переведенні сантиметрів у кілометри: 600 000 см записують як 60 км або 600 км.
Запам'ятай ланцюжок: 1 км = 1000 м = 100 000 см. Ділити треба на 100 000, а не на 10 000 і не на 1000: 600 000 ÷ 100 000 = 6 км. Надійний прийом — рахувати у два кроки: спочатку ÷ 100 (метри), потім ÷ 1000 (кілометри).
-
У зворотній задачі множать замість ділення: щоб знайти довжину відрізка на карті, множать відстань на знаменник.
На карті все зменшено, отже довжина відрізка менша — множити не можна. Від місцевості до карти завжди ділимо на знаменник, від карти до місцевості — множимо. Швидка перевірка: відповідь «відрізок на карті 400 см» для 4 км явно абсурдна.
-
Пишуть одиниці вимірювання в масштабі: «1 : 100 000 км» або «1 см : 1 км».
Числовий масштаб — відношення однойменних величин, тому одиниць у нього немає: правильно «1 : 100 000». А запис зі словами — це вже іменований масштаб, і він оформлюється інакше: «в 1 см — 1 км».
-
Звивисту річку або дорогу вимірюють лінійкою по прямій між кінцевими точками.
Так вийде довжина по прямій, а не довжина маршруту. Криву лінію вимірюють курвіметром, ниткою, яку потім розпрямляють і прикладають до лінійки, або розбивають на короткі прямі відрізки і складають їх довжини — і тільки потім множать на масштаб.
Запитання та відповіді
Що показує масштаб карти?
Масштаб показує, у скільки разів відстані на карті зменшені порівняно зі справжніми відстанями на місцевості. Масштаб 1 : 200 000 означає зменшення у 200 000 разів: одному сантиметру на карті відповідають 200 000 см, тобто 2 км на місцевості.
Як визначити масштаб карти, якщо він не підписаний?
Потрібно знати хоча б одну реальну відстань. Виміряй цей відрізок на карті в сантиметрах, переведи відому відстань у сантиметри (1 км = 100 000 см) і розділи одне на одне. Наприклад, 20 км = 2 000 000 см, відрізок 8 см: 2 000 000 ÷ 8 = 250 000, масштаб 1 : 250 000.
Який масштаб більший: 1 : 10 000 або 1 : 100 000?
Більший 1 : 10 000, тому що у нього менший знаменник і слабше зменшення. На такій карті видно більше подробиць, але вміщується менша територія. Правило просте: чим більший знаменник, тим дрібніший масштаб.
Скільки сантиметрів у 1 кілометрі?
В одному кілометрі 100 000 сантиметрів: 1 км = 1000 м, а 1 м = 100 см, отже 1000 × 100 = 100 000 см. Саме тому масштаб 1 : 100 000 читається як «в 1 см — 1 км».
Чим масштаб плану місцевості відрізняється від масштабу карти?
Принцип один і той самий, відрізняється лише величина. У плану масштаб великий — зазвичай 1 : 5000 і більший, тому на ньому видно окремі будівлі, доріжки та дерева. У карт масштаб дрібніший, зате охоплення території більше — аж до цілого світу.
Як користуватися лінійним масштабом на карті?
Відклади виміряний відрізок на шкалі так, щоб правий кінець припав на цілу поділку. Лівий кінець потрапить у поділці ліворуч від нуля, розбиту на дрібні частини, — за ними читають залишок у сотнях метрів. Сума цілих поділок і залишку і є відстань; обчислювати нічого не потрібно.
