Линейная функция

Определение и основные свойства

Линейная функция — это функция вида $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа, $k \neq 0$. Число $k$ называется угловым коэффициентом, а число $b$ — свободным членом.

Основные свойства линейной функции:

1. График линейной функции — прямая линия
2. Область определения: все действительные числа ($\mathbb{R}$)
3. Область значений: все действительные числа ($\mathbb{R}$)
4. Функция возрастает при $k > 0$ и убывает при $k < 0$
5. Нули функции: $y = 0$ при $x = -\frac{b}{k}$ (точка пересечения с осью $x$)
6. График пересекает ось $y$ в точке $(0, b)$

Геометрический смысл коэффициентов

• Угловой коэффициент $k$ определяет наклон прямой к оси $x$:
• Если $k > 0$, прямая образует острый угол с положительным направлением оси $x$
• Если $k < 0$, прямая образует тупой угол с положительным направлением оси $x$

• Чем больше $|k|$, тем круче наклон прямой

• Свободный член $b$ определяет точку пересечения графика с осью $y$: $(0, b)$

Частные случаи линейной функции

1. При $k = 0$ получаем постоянную функцию $y = b$ (горизонтальная прямая)
2. При $b = 0$ получаем прямую пропорциональность $y = kx$ (прямая проходит через начало координат)

Нахождение уравнения прямой

По двум точкам

Если известны координаты двух точек $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, то:

1. Находим угловой коэффициент: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
2. Подставляем координаты одной из точек и найденное значение $k$ в уравнение $y = kx + b$, находим $b$

По точке и угловому коэффициенту

Если известна точка $(x_0, y_0)$ и угловой коэффициент $k$, то:

$y - y_0 = k(x - x_0)$ или $y = kx + (y_0 - kx_0)$

Взаимное расположение прямых

• Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ параллельны, если $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$
• Две прямые перпендикулярны, если $k_1 \cdot k_2 = -1$
• Две прямые пересекаются, если $k_1 \neq k_2$

Применение линейной функции

Линейные функции широко используются для моделирования различных процессов:

• Равномерное движение: $s = v \cdot t + s_0$
• Линейная зависимость стоимости от количества: $C = p \cdot n$
• Линейная аппроксимация сложных зависимостей

Типичные задачи и их решение

Пример 1: Нахождение значения функции

Для функции $y = 2x - 3$ найти значение при $x = 4$.

Решение: Подставляем $x = 4$ в формулу:
$y = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$

Пример 2: Нахождение значения аргумента

Для функции $y = -3x + 5$ найти значение $x$, при котором $y = -1$.

Решение: Подставляем $y = -1$ в уравнение и решаем относительно $x$:
$-1 = -3x + 5$
$-6 = -3x$
$x = 2$

Пример 3: Проверка принадлежности точки графику

Проверить, принадлежит ли точка $A(2, 1)$ графику функции $y = -2x + 5$.

Решение: Подставляем координаты точки в уравнение:
$1 \stackrel{?}{=} -2 \cdot 2 + 5 = -4 + 5 = 1$
Равенство верно, значит точка принадлежит графику.

Типичные ошибки

1. Неправильное определение знака углового коэффициента. Помните: если функция возрастает, то $k > 0$, если убывает, то $k < 0$.

2. Путаница в формуле углового коэффициента. Правильная формула: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

3. Неверное определение точки пересечения с осью $y$. Это всегда точка $(0, b)$.

4. Ошибки при решении уравнений. Будьте внимательны при переносе слагаемых и смене знаков.