{
"subject": "Геометрия",
"grade": 8,
"url_subject": "geometry",
"title": "Решение задач на тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике",
"description": "Подробное решение задач на нахождение тангенса, синуса и косинуса углов в прямоугольных и равнобедренных треугольниках",
"keywords": ["тригонометрия", "прямоугольный треугольник", "синус", "косинус", "тангенс", "котангенс", "равнобедренный треугольник"],
"lang": "RU"
}

Давайте решим эти задачи поэтапно:

1️⃣ Вопрос 1:
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего катета к противолежащему. Это определение некорректно!
Правильное определение: тангенс острого угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему.

2️⃣ Вопрос 2:
На рисунке показан прямоугольный треугольник, где:
- Противолежащий катет = 1
- Прилежащий катет = 4
Тангенс угла = противолежащий катет / прилежащий катет = 1/4 = 0,25
Ответ: 0,25

3️⃣ Вопрос 3:
В треугольнике со сторонами 3, 4, 5:
- 5 - это гипотенуза (по теореме Пифагора)
- Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета
- Синус угла = противолежащий катет / гипотенуза = 3/5 = 0,6
Ответ: 0,6

4️⃣ Вопрос 4:
Имеем:
- Один катет = 7 см
- Гипотенуза = 25 см
- Второй катет = $\sqrt{25^2 - 7^2}$ = $\sqrt{625 - 49}$ = $\sqrt{576}$ = 24 см
Косинус угла, противолежащего большему катету = 7/25 = 0,28
Ответ: 0,28

5️⃣ Вопрос 5:
В равнобедренном треугольнике:
- Основание = 24 см
- Высота = 5 см
- Половина основания = 12 см

Используя прямоугольный треугольник, образованный высотой:
- sin α = 5/13
- cos α = 12/13
- tg α = 5/12
- ctg α = 12/5

Где 13 - это длина боковой стороны, вычисленная по теореме Пифагора: $\sqrt{12^2 + 5^2}$ = $\sqrt{144 + 25}$ = $\sqrt{169}$ = 13

Я вижу изображение прямоугольного треугольника на координатной плоскости, где точка O находится в начале координат, точка A на оси X, а точка B выше оси X. Это помогает дополнить наше обсуждение предыдущего вопроса о тангенсе угла AOB.

{
"subject": "Геометрия",
"grade": 8,
"url_subject": "geometry",
"title": "Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике",
"description": "Разбор задачи на нахождение тангенса угла в прямоугольном треугольнике с использованием координатной плоскости",
"keywords": ["тригонометрия", "прямоугольный треугольник", "тангенс", "координатная плоскость", "острый угол"],
"lang": "RU"
}

Теперь, глядя на изображение, можно подтвердить, что:

1. Точка O находится в начале координат (0,0)
2. Точка A находится на 4 единицы вправо по оси X (4,0)
3. Точка B находится на одну единицу вверх от оси X и на той же вертикали, что и точка A (4,1)

Это объясняет, почему tg∠AOB = 0,25:
- Противолежащий катет (высота) = 1 единица
- Прилежащий катет (основание) = 4 единицы
- tg∠AOB = 1/4 = 0,25

Изображение наглядно подтверждает правильность ответа в предыдущей задаче.