Упрощение выражений со степенями

Задание 1

Дано выражение:
\(B = \frac{15^3 \times 6^4}{9^3 \times 4^2 \times 125}\)

Для решения этого задания необходимо упростить выражение, используя свойства степеней и разложение чисел на простые множители.

Шаг 1: Разложим числа в выражении на простые множители.

• \(15 = 3 \times 5\)
• \(6 = 2 \times 3\)
• \(9 = 3^2\)
• \(4 = 2^2\)
• \(125 = 5^3\)

Шаг 2: Подставим разложенные числа обратно в выражение.

\(B = \frac{(3 \times 5)^3 \times (2 \times 3)^4}{(3^2)^3 \times (2^2)^2 \times 5^3}\)

Шаг 3: Применим свойство степени произведения \((a \times b)^n = a^n \times b^n\) и свойство степени степени \((a^m)^n = a^{m \times n}\).

\(B = \frac{3^3 \times 5^3 \times 2^4 \times 3^4}{3^{2 \times 3} \times 2^{2 \times 2} \times 5^3}\)
\(B = \frac{3^3 \times 5^3 \times 2^4 \times 3^4}{3^6 \times 2^4 \times 5^3}\)

Шаг 4: Сгруппируем одинаковые основания и применим свойство степени частного \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

Сначала сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе:
\(3^3 \times 3^4 = 3^{3+4} = 3^7\)

Теперь выражение выглядит так:
\(B = \frac{3^7 \times 5^3 \times 2^4}{3^6 \times 2^4 \times 5^3}\)

Применим свойство частного степеней:
* Для основания 3: \(3^{7-6} = 3^1 = 3\)
* Для основания 5: \(5^{3-3} = 5^0 = 1\)
* Для основания 2: \(2^{4-4} = 2^0 = 1\)

Шаг 5: Вычислим окончательное значение.

\(B = 3 \times 1 \times 1 = 3\)

Окончательный ответ:
\(B = 3\)