Решение уравнения 2^a + 2^b = 640

Verilen denklem \(2^a + 2^b = 640\) olduğuna göre, \(a+b\) toplamını bulmamız isteniyor.

Bu tür denklemleri çözmek için üslü sayılarla ilgili özellikleri kullanabiliriz.

Öncelikle, 640 sayısını 2'nin kuvvetleri şeklinde ifade etmeye çalışalım.
\(640 = 64 \times 10 = 2^6 \times 10\)

Denklemde \(a\) ve \(b\) tam sayılar olmalıdır. Bu durumda, \(2^a\) ve \(2^b\) de 2'nin tam sayı kuvvetleri olacaktır.

Denklemi şu şekilde yazabiliriz:
\(2^a + 2^b = 640\)

Varsayalım ki \(a \ge b\). Bu durumda denklemi \(2^b\) parantezine alabiliriz:
\(2^b (2^{a-b} + 1) = 640\)

Şimdi 640'ın çarpanlarına bakalım. 640'ı 2'nin kuvvetleri ve tek sayıların çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\(640 = 2 \times 320 = 2^2 \times 160 = 2^3 \times 80 = 2^4 \times 40 = 2^5 \times 20 = 2^6 \times 10 = 2^7 \times 5\)

Denklemimiz \(2^b (2^{a-b} + 1) = 2^7 \times 5\) şeklindedir.

Burada \(2^b\) bir 2'nin kuvveti ve \((2^{a-b} + 1)\) de bir tek sayıdır (çünkü \(2^{a-b}\) çift bir sayıdır ve 1 eklenince tek sayı olur).

Bu durumda, \(2^b\) ifadesi \(2^7\)'ye eşit olmalıdır ve \((2^{a-b} + 1)\) ifadesi de 5'e eşit olmalıdır.

1. \(2^b = 2^7 \implies b = 7\)
2. \(2^{a-b} + 1 = 5 \implies 2^{a-b} = 4 \implies 2^{a-b} = 2^2 \implies a-b = 2\)

Şimdi \(b=7\) ve \(a-b=2\) değerlerini kullanarak \(a\)'yı bulalım:
\(a - 7 = 2 \implies a = 9\)

Yani, \(a=9\) ve \(b=7\) bulduk. Bu değerleri orijinal denklemde yerine koyarak kontrol edelim:
\(2^9 + 2^7 = 512 + 128 = 640\)
Denklem sağlanıyor.

Bize sorulan \(a+b\) toplamıdır:
\(a+b = 9 + 7 = 16\)

Eğer \(b \ge a\) olsaydı, aynı şekilde \(2^a (1 + 2^{b-a}) = 640\) olurdu.
Bu durumda \(2^a = 2^7 \implies a=7\) ve \(1 + 2^{b-a} = 5 \implies 2^{b-a} = 4 \implies b-a = 2\).
\(b-7 = 2 \implies b=9\).
Bu durumda da \(a=7\) ve \(b=9\) olurdu.
\(a+b = 7+9 = 16\).

Her iki durumda da \(a+b\) toplamı 16'dır.

Sonuç:
\(a+b = 16\)