Решение неравенств методом интервалов. Алгебра

Проверим решение неравенства:

Задание 1
Решить неравенство \((x-2)^2 < \sqrt{3}(x-2)\).

Анализ решения студента:
Студент начал решение правильно, перенеся все члены в левую часть и вынеся общий множитель \((x-2)\) за скобки. Это привело к неравенству \((x-2)(x-2-\sqrt{3}) < 0\).

Далее студент верно нашел корни соответствующего уравнения \((x-2)(x-2-\sqrt{3}) = 0\), которые равны \(x=2\) и \(x=2+\sqrt{3}\).

Правильно определено, что \(\sqrt{3}\) находится между 1 и 2, что позволяет корректно расположить точки на числовой прямой: \(2 < 2+\sqrt{3}\).

Однако, при определении знаков на интервалах допущена ошибка. Студент выбрал пробную точку \(x=10\) и подставил ее в выражение \(f(x) = (x-2)(x-2-\sqrt{3})\). Получил \(f(10) = (10-2)(10-2-\sqrt{3}) = 8(8-\sqrt{3})\). Поскольку \(8-\sqrt{3} > 0\), то \(f(10) > 0\). Это означает, что на интервале \((2+\sqrt{3}; +\infty)\) функция \(f(x)\) положительна.

Так как функция \(f(x)\) является квадратичной (после раскрытия скобок), ее график представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при \(x^2\) равен 1). Для такой параболы знаки на интервалах между корнями чередуются: +, -, +.

Следовательно, на интервале \((-\infty; 2)\) знак +, на интервале \((2; 2+\sqrt{3})\) знак -, и на интервале \((2+\sqrt{3}; +\infty)\) знак +.

Неравенство \((x-2)(x-2-\sqrt{3}) < 0\) требует, чтобы \(f(x)\) была отрицательной. Это соответствует интервалу \((2; 2+\sqrt{3})\).

Правильное решение:

1. Перенесем все члены в левую часть неравенства:
   \((x-2)^2 < \sqrt{3}(x-2)\)
   \((x-2)^2 - \sqrt{3}(x-2) < 0\)

2. Вынесем общий множитель \((x-2)\) за скобки:
   \((x-2)( (x-2) - \sqrt{3} ) < 0\)
   \((x-2)(x-2-\sqrt{3}) < 0\)

3. Найдем корни соответствующего уравнения \((x-2)(x-2-\sqrt{3}) = 0\):
   \(x-2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2\)
   \(x-2-\sqrt{3} = 0 \Rightarrow x_2 = 2+\sqrt{3}\)

4. Определим порядок корней на числовой прямой:
   Так как \(1 < \sqrt{3} < 2\), то \(2+1 < 2+\sqrt{3} < 2+2\), то есть \(3 < 2+\sqrt{3} < 4\).
   Следовательно, \(2 < 2+\sqrt{3}\).

5. Используем метод интервалов:
   Отметим корни \(2\) и \(2+\sqrt{3}\) на числовой прямой. Эти точки не включаются в решение, так как неравенство строгое (\(<0\)).

Рассмотрим функцию \(f(x) = (x-2)(x-2-\sqrt{3})\). Это квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом (коэффициент при \(x^2\) равен 1). Значит, ветви параболы направлены вверх.

Знаки функции на интервалах будут следующими:
- Для \(x \in (-\infty; 2)\): \(f(x) > 0\) (например, \(f(0) = (-2)(-2-\sqrt{3}) = 4+2\sqrt{3} > 0\))
- Для \(x \in (2; 2+\sqrt{3})\): \(f(x) < 0\) (например, \(f(3) = (3-2)(3-2-\sqrt{3}) = 1(1-\sqrt{3}) < 0\))
- Для \(x \in (2+\sqrt{3}; +\infty)\): \(f(x) > 0\) (например, \(f(10) = (10-2)(10-2-\sqrt{3}) = 8(8-\sqrt{3}) > 0\))

6. Запишем решение неравенства:
   Нам нужно найти интервал, где \(f(x) < 0\). Это интервал \((2; 2+\sqrt{3})\).

Ответ: \(x \in (2; 2+\sqrt{3})\)