Проверим решение неравенства:

Задание 1
Решить неравенство $(x-2)^2 < \sqrt{3}(x-2)$.

Анализ решения студента:
Студент начал решение правильно, перенеся все члены в левую часть и вынеся общий множитель $(x-2)$ за скобки. Это привело к неравенству $(x-2)(x-2-\sqrt{3}) < 0$.

Далее студент верно нашел корни соответствующего уравнения $(x-2)(x-2-\sqrt{3}) = 0$, которые равны $x=2$ и $x=2+\sqrt{3}$.

Правильно определено, что $\sqrt{3}$ находится между 1 и 2, что позволяет корректно расположить точки на числовой прямой: $2 < 2+\sqrt{3}$.

Однако, при определении знаков на интервалах допущена ошибка. Студент выбрал пробную точку $x=10$ и подставил ее в выражение $f(x) = (x-2)(x-2-\sqrt{3})$. Получил $f(10) = (10-2)(10-2-\sqrt{3}) = 8(8-\sqrt{3})$. Поскольку $8-\sqrt{3} > 0$, то $f(10) > 0$. Это означает, что на интервале $(2+\sqrt{3}; +\infty)$ функция $f(x)$ положительна.

Так как функция $f(x)$ является квадратичной (после раскрытия скобок), ее график представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1). Для такой параболы знаки на интервалах между корнями чередуются: +, -, +.

Следовательно, на интервале $(-\infty; 2)$ знак +, на интервале $(2; 2+\sqrt{3})$ знак -, и на интервале $(2+\sqrt{3}; +\infty)$ знак +.

Неравенство $(x-2)(x-2-\sqrt{3}) < 0$ требует, чтобы $f(x)$ была отрицательной. Это соответствует интервалу $(2; 2+\sqrt{3})$.

Правильное решение:

1. Перенесем все члены в левую часть неравенства:
   $(x-2)^2 < \sqrt{3}(x-2)$
   $(x-2)^2 - \sqrt{3}(x-2) < 0$

2. Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:
   $(x-2)( (x-2) - \sqrt{3} ) < 0$
   $(x-2)(x-2-\sqrt{3}) < 0$

3. Найдем корни соответствующего уравнения $(x-2)(x-2-\sqrt{3}) = 0$:
   $x-2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$
   $x-2-\sqrt{3} = 0 \Rightarrow x_2 = 2+\sqrt{3}$

4. Определим порядок корней на числовой прямой:
   Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $2+1 < 2+\sqrt{3} < 2+2$, то есть $3 < 2+\sqrt{3} < 4$.
   Следовательно, $2 < 2+\sqrt{3}$.

5. Используем метод интервалов:
   Отметим корни $2$ и $2+\sqrt{3}$ на числовой прямой. Эти точки не включаются в решение, так как неравенство строгое ($<0$).

Рассмотрим функцию $f(x) = (x-2)(x-2-\sqrt{3})$. Это квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом (коэффициент при $x^2$ равен 1). Значит, ветви параболы направлены вверх.

Знаки функции на интервалах будут следующими:
- Для $x \in (-\infty; 2)$: $f(x) > 0$ (например, $f(0) = (-2)(-2-\sqrt{3}) = 4+2\sqrt{3} > 0$)
- Для $x \in (2; 2+\sqrt{3})$: $f(x) < 0$ (например, $f(3) = (3-2)(3-2-\sqrt{3}) = 1(1-\sqrt{3}) < 0$)
- Для $x \in (2+\sqrt{3}; +\infty)$: $f(x) > 0$ (например, $f(10) = (10-2)(10-2-\sqrt{3}) = 8(8-\sqrt{3}) > 0$)

6. Запишем решение неравенства:
   Нам нужно найти интервал, где $f(x) < 0$. Это интервал $(2; 2+\sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (2; 2+\sqrt{3})$