Решение неравенства методом интервалов: ниже полный разбор задания 20 из ОГЭ, \((x-2)^2 < \sqrt{3}(x-2)\), с числовой осью, а также тренажёр на других неравенствах. У тебя другое неравенство? Пришли его в чат текстом или фото: ИИ разберёт по тому же алгоритму, найдёт нули, расставит знаки и запишет ответ интервалами. Новые пользователи получают стартовые баллы энергии.
Пришли своё неравенство текстом или фото — решим методом интервалов с осью и проверкой.
Решить моё неравенство →Метод интервалов: алгоритм за пять шагов
- Перенеси всё в одну часть, чтобы справа остался нуль, и разложи левую часть на множители.
- Найди нули числителя и знаменателя и отметь их на оси. Нули знаменателя выколоты всегда, нули числителя выколоты при знаках \(<\) и \(>\) и закрашены при \(\le\) и \(\ge\).
- Определи знак на крайнем правом промежутке пробной точкой.
- Расставь знаки справа налево: через корень нечётной кратности знак меняется, через корень чётной кратности, например \((x+1)^2\), не меняется.
- Выбери промежутки нужного знака и запиши ответ интервалами.
Ось для задания с фото
Так выглядят знаки для неравенства \((x-2)(x-2-\sqrt{3}) < 0\) из разбора ниже.
Обе точки выколоты, нужен минус: решение лежит между ними.
Решение задания с фото
1 Решите неравенство $(x-2)^2 < \sqrt{3}(x-2)$.
Ответ $x \in (2;\ 2+\sqrt{3})$
Условие записано на фото, решение там обрывается после первой пробной точки. Доводим до ответа.
- Переносим всё влево, чтобы справа остался нуль: \((x-2)^2 - \sqrt{3}(x-2) < 0\).
- Выносим общий множитель \((x-2)\) за скобки: \((x-2)(x-2-\sqrt{3}) < 0\).
- Нули левой части: \(x = 2\) и \(x = 2+\sqrt{3}\). Чтобы понять порядок точек, оценим корень: \(\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}\), то есть \(1 < \sqrt{3} < 2\), значит \(3 < 2+\sqrt{3} < 4\) и \(2 < 2+\sqrt{3}\). Знак строгий, поэтому обе точки выколоты.
- Знак на крайнем правом промежутке находим пробной точкой \(x = 4\): \(f(4) = (4-2)(4-2-\sqrt{3}) = 2(2-\sqrt{3}) > 0\), так как \(\sqrt{3} < 2\). Итак, на \((2+\sqrt{3}; +\infty)\) плюс. Оба корня кратности один, знак меняется в каждом: на \((2; 2+\sqrt{3})\) минус, на \((-\infty; 2)\) плюс.
- Нужен минус, это промежуток между корнями.
Проверка: при \(x = 3\) получаем \(1 < \sqrt{3}\), верно; при \(x = 0\) получаем \(4 < -2\sqrt{3}\), неверно; при \(x = 4\) получаем \(4 < 2\sqrt{3}\), неверно.
Ту же картину даёт парабола: старший коэффициент левой части положителен, ветви направлены вверх, поэтому отрицательные значения она принимает между корнями.
Разбор примеров метода интервалов
Дробное неравенство с нестрогим знаком
Решим \(\frac{x-6}{x+3} \le 0\). Нуль числителя \(x = 6\) закрашиваем, потому что знак нестрогий. Нуль знаменателя \(x = -3\) выкалываем всегда: при нём дробь не существует. Пробная точка \(x = 0\) даёт \(\frac{-6}{3} < 0\), значит на \((-3; 6)\) минус. Правее шестёрки плюс, левее \(-3\) тоже плюс. Нужен минус или нуль: \(x \in (-3; 6]\).
Чётная кратность корня: знак не меняется
Решим \((x+1)^2(x-4) \ge 0\). Корень \(x = -1\) имеет чётную кратность, поэтому знак через него не меняется; корень \(x = 4\) нечётной кратности, знак меняется. Правее четвёрки плюс, на \((-1; 4)\) минус и левее \(-1\) тоже минус. Нужен плюс или нуль, но сама точка \(x = -1\) даёт нуль и подходит, хотя вокруг неё выражение отрицательно. Ответ: \(x \in \{-1\} \cup [4; +\infty)\). Именно такие отдельные точки чаще всего теряют.
Квадратное неравенство: интервалы или парабола
Квадратное неравенство тоже решается этим методом: разложи трёхчлен на множители или найди корни по дискриминанту, отметь их на оси и расставь знаки. Если старший коэффициент положителен, ветви параболы вверх, и крайние промежутки получают плюс, а между корнями минус. Если старший коэффициент отрицателен, знаки на промежутках меняются на противоположные.
Как проверить ответ за полминуты
Возьми по одному числу из каждого промежутка ответа и по одному вне него, подставь в исходное неравенство, а не в преобразованное. Числа из ответа должны давать верное неравенство, остальные неверное. Так находят и потерянные корни, и лишние закрашенные точки.
Частые ошибки в методе интервалов
-
Сократить обе части на общий множитель, например на $(x-2)$.
Нельзя делить на выражение с неизвестным знаком: теряется корень, а при отрицательном множителе знак неравенства должен перевернуться. Перенеси всё влево и вынеси множитель за скобки.
-
Умножить обе части дробного неравенства на знаменатель.
Знак знаменателя заранее неизвестен. Перенеси всё в одну часть, приведи к общему знаменателю и сравнивай дробь с нулём.
-
Закрасить нуль знаменателя при нестрогом знаке.
Нуль знаменателя выколот всегда, даже при знаках \(\le\) и \(\ge\): делить на нуль нельзя.
-
Чередовать знаки через каждую точку подряд.
Знак меняется только при переходе через корень нечётной кратности. Через корень чётной кратности он сохраняется.
-
Сравнивать иррациональные корни на глаз.
Оцени корень между двумя целыми числами, например \(1 < \sqrt{3} < 2\), и по этой оценке расставь точки на оси в правильном порядке.
Вопросы и ответы
Как решить неравенство методом интервалов?
Приведи неравенство к виду «выражение сравнивается с нулём», разложи на множители, отметь на оси нули числителя и знаменателя, расставь знаки на промежутках и выбери нужные. Ответ записывается объединением интервалов.
Когда точка выколота, а когда закрашена?
При строгих знаках \(<\) и \(>\) выколоты все точки. При нестрогих \(\le\) и \(\ge\) закрашиваются нули числителя, а нули знаменателя остаются выколотыми.
Что делать с корнем чётной кратности?
Отметь его на оси, но знак при переходе через него не меняй. Если неравенство нестрогое и нужны нулевые значения, такая точка может входить в ответ отдельно, даже когда вокруг неё знак неподходящий.
Можно ли решить неравенство методом интервалов по фото?
Да. Пришли в чат фото задания, и нейросеть найдёт нули, расставит знаки и запишет ответ интервалами с пояснением каждого шага. Новые пользователи получают стартовые баллы энергии, поэтому первые решения бесплатны.
Подходит ли метод для неравенств с модулем и корнем?
Метод работает для любых выражений, непрерывных на области определения. С модулем и корнем сначала находят ОДЗ, затем раскрывают модуль по случаям или избавляются от корня, и уже к полученному неравенству применяют метод интервалов.
