Неравенство — это два выражения, соединённые знаком \(<\), \(>\), \(\le\) или \(\ge\). Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно превращается в верное числовое неравенство. Ответом будет не одно число, а целое множество: промежуток на числовой оси или объединение промежутков. На этой странице собрана база, общая для всех видов неравенств: как читать знаки, какие преобразования разрешены, почему знак переворачивается при делении на отрицательное число и как правильно записать ответ. А дальше — обзор всех видов неравенств со ссылками на подробные разборы и тренажёр для проверки себя.
Что значит решить неравенство
Решение неравенства — это любое значение переменной, которое обращает неравенство в верное числовое. А решить неравенство — значит найти все такие значения и записать их множеством.
Сравни с уравнением. У уравнения \(2x = 8\) ответ — одно число \(x = 4\). У неравенства \(2x < 8\) ответ — бесконечно много чисел: подойдут и \(3\), и \(0\), и \(-100\), и \(3{,}999\). Записать их по одному невозможно, поэтому ответ оформляют промежутком: \(x < 4\), то есть \((-\infty;\ 4)\).
Проверить, является ли конкретное число решением, легко: подставь его вместо переменной и посмотри, получилось ли верное неравенство.
- \(x = 1\) в неравенстве \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — верно, значит \(1\) — решение.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — неверно, значит \(5\) решением не является.
Два неравенства называют равносильными, если у них совпадают множества решений. Всё решение неравенства — это цепочка переходов к более простому равносильному неравенству, пока слева не останется одинокий \(x\).
Знаки неравенств: строгие и нестрогие
Знаков четыре, и от того, какой из них стоит, зависит и ответ, и оформление. Строгие знаки \(<\) и \(>\) саму граничную точку в ответ не берут, нестрогие \(\le\) и \(\ge\) — берут.
Это различие тянется через всё решение: строгий знак даёт выколотую (пустую) точку на оси и круглую скобку в ответе, нестрогий — закрашенную точку и квадратную скобку.
| Знак | Как читается и что даёт в ответе |
|---|---|
| < | меньшестрогийточка выколотая, скобка круглая |
| > | большестрогийточка выколотая, скобка круглая |
| ≤ | меньше или равнонестрогийточка закрашена, скобка квадратная |
| ≥ | больше или равнонестрогийточка закрашена, скобка квадратная |
Равносильные преобразования: что можно делать с неравенством
С неравенством разрешено делать почти то же, что и с уравнением, но с одной важной поправкой. Складывать и вычитать можно свободно: если к обеим частям прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же, множество решений не изменится. Именно так слагаемые «переносят» через знак, меняя им плюс на минус.
А вот умножение и деление зависят от знака множителя. При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \(<\) становится \(>\), \(\le\) становится \(\ge\) и наоборот. Причина видна на числах: из верного \(3 < 5\) после умножения на \(-1\) получается \(-3\) и \(-5\), а \(-3 > -5\) — порядок чисел перевернулся.
То же самое происходит, если поменять местами левую и правую части: из \(7 < y\) получается \(y > 7\).
| Что делаем с обеими частями | Что со знаком |
|---|---|
| Прибавляем или вычитаем одно и то же число или выражение | знак сохраняется |
| Умножаем или делим на положительное число | знак сохраняется |
| Умножаем или делим на отрицательное число | знак меняется |
| Меняем левую и правую части местами | знак меняется |
| Умножаем или делим на выражение с переменной (x − 2) | так нельзя |
Как записать ответ: числовая ось и промежутки
Когда переменная осталась одна, решение почти готово — остаётся оформить его. Удобнее всего сначала отметить ответ на числовой оси, а уже с оси считать промежуток.
Правила записи всего три, и они не меняются от вида неравенства:
- круглая скобка — точка в ответ не входит (строгий знак, выколотая точка);
- квадратная скобка — точка входит (нестрогий знак, закрашенная точка);
- у бесконечности скобка всегда круглая: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — записи вида \([-\infty;\ 4]\) не существует, бесконечность не число и достигнута быть не может.
Если решением оказались два куска оси, их соединяют знаком объединения \(\cup\): например, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Виды неравенств и способы их решения
Неравенства различают по тому, как в них входит переменная — стоит ли она в первой степени, под квадратом, в знаменателе или под модулем. Именно это и определяет способ решения, поэтому первый шаг любого решения — узнать вид неравенства. Общая логика дальше одна: привести неравенство к виду «выражение сравнивается с нулём», а потом применить приём, подходящий этому виду. Сводка видов и методов — в таблице ниже.
Отдельно стоит запомнить, как раскрывается модуль, — таблица этого не вмещает. При \(a > 0\) неравенство \(|f(x)| < a\) равносильно двойному неравенству \(-a < f(x) < a\) (получается система), а \(|f(x)| > a\) — совокупности \(f(x) < -a\) или \(f(x) > a\) (получается объединение промежутков). Если же \(a < 0\), думать вообще не о чем: модуль неотрицателен, поэтому \(|f(x)| < a\) решений не имеет, а \(|f(x)| > a\) верно при всех допустимых \(x\).
Иррациональные (с корнем) и показательные неравенства разбирают в старшей школе: к обычным преобразованиям там добавляется работа с областью допустимых значений.
Подробные разборы отдельных видов: линейные неравенства, рациональные неравенства и метод интервалов, а корни квадратного трёхчлена удобно подбирать по теореме Виета.
| Вид | Как выглядит и чем решают |
|---|---|
| Линейное | ax + b > 0переносим слагаемые и делим на коэффициент при x |
| Квадратное | ax2 + bx + c > 0ищем корни трёхчлена и смотрим на параболу |
| Дробно-рациональное | P(x) / Q(x) ≥ 0метод интервалов, нули знаменателя выкалываем |
| С модулем | | f(x) | < aраскрываем модуль по определению |
| Система | два неравенства в фигурной скобкерешаем каждое, берём пересечение |
Системы и совокупности неравенств
Часто одно неравенство распадается на два, и тогда важно не перепутать, что делать с полученными множествами.
Система (фигурная скобка) означает «и то, и другое одновременно». Решаем каждое неравенство отдельно, отмечаем оба ответа на одной оси и берём пересечение — общую часть. Если общей части нет, у системы решений нет.
Совокупность (квадратная скобка) означает «или одно, или другое». Здесь берут объединение — всё, что закрашено хотя бы одним из ответов. Совокупность появляется, например, при раскрытии модуля со знаком «больше».
Отдельно стоит двойное неравенство вида \(-3 < 2x + 1 \le 7\): это короткая запись системы. Преобразования выполняют сразу над всеми тремя частями — вычитают, делят, и при делении на отрицательное число переворачивают оба знака вместе.
Примеры решения неравенств
Пример 1. Проверить, является ли число решением
Задание. Является ли \(x = -1\) решением неравенства \(3x + 5 \ge 1\)?
Шаг 1. Подставляем \(-1\) вместо \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Шаг 2. Сравниваем с правой частью: \(2 \ge 1\) — верное числовое неравенство.
Ответ. Да, \(-1\) — одно из решений. Но решить неравенство — это найти все такие числа, а не одно: здесь ответ \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Пример 2. Линейное неравенство со сменой знака
Задание. Решить \(7 - 3x < 1\).
Шаг 1. Переносим \(7\) вправо (то есть вычитаем \(7\) из обеих частей — знак неравенства не меняется): \(-3x < 1 - 7\), значит \(-3x < -6\).
Шаг 2. Делим обе части на \(-3\). Делитель отрицательный, поэтому знак переворачивается: \(x > 2\).
Шаг 3. Отмечаем на оси: выколотая точка в \(2\), закрашиваем всё вправо.
Ответ. \(x > 2\), то есть \(x \in (2;\ +\infty)\).
Пример 3. Квадратное неравенство
Задание. Решить \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Шаг 1. Находим корни трёхчлена: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), откуда \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Шаг 2. Коэффициент при \(x^2\) положительный, значит ветви параболы направлены вверх: между корнями трёхчлен отрицателен, а вне корней — положителен.
Шаг 3. Нам нужен знак \(\le 0\), то есть отрицательные значения и сами корни (знак нестрогий) — берём отрезок между корнями вместе с концами.
Ответ. \(x \in [-1;\ 5]\).
Пример 4. Неравенство с модулем
Задание. Решить \(|x + 1| > 4\).
Шаг 1. Модуль больше положительного числа — значит выражение под модулем либо больше \(4\), либо меньше \(-4\). Получаем совокупность: \(x + 1 > 4\) или \(x + 1 < -4\).
Шаг 2. Решаем каждое: из первого \(x > 3\), из второго \(x < -5\).
Шаг 3. Это совокупность, поэтому берём объединение промежутков, а не пересечение.
Ответ. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Пример 5. Система неравенств
Задание. Решить систему \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Шаг 1. Первое неравенство: \(2x > -4\), делим на положительное \(2\) — знак сохраняется, \(x > -2\).
Шаг 2. Второе неравенство: \(x \le 4\).
Шаг 3. Отмечаем оба ответа на одной оси и берём пересечение — участок, закрашенный дважды. Левая граница не входит (строгий знак), правая входит (нестрогий).
Ответ. \(x \in (-2;\ 4]\).
Частые ошибки при решении неравенств
-
Разделили на отрицательное число и оставили прежний знак.
При умножении и делении обеих частей на отрицательное число знак обязательно меняется на противоположный. Из \(-5x \ge 10\) получается \(x \le -2\), а не \(x \ge -2\). Проверить себя можно подстановкой: \(x = -3\) даёт \(15 \ge 10\) — верно, значит правильный ответ действительно «меньше или равно».
-
Пишут квадратную скобку у бесконечности: $[-\infty;\ 7]$.
Бесконечность — не число, её нельзя «достигнуть», поэтому скобка около \(\infty\) всегда круглая: \((-\infty;\ 7]\). Квадратная скобка ставится только у конечной границы, которая входит в ответ.
-
Путают тип скобки и тип точки: строгий знак записывают квадратной скобкой.
Строгий знак (\(<\), \(>\)) — граница не входит: выколотая точка и круглая скобка. Нестрогий (\(\le\), \(\ge\)) — граница входит: закрашенная точка и квадратная скобка. Проверка простая: подставь саму граничную точку в исходное неравенство и посмотри, верно ли получилось.
-
Умножают обе части на выражение с переменной, чтобы «избавиться от дроби».
Знак такого выражения неизвестен, поэтому неясно, переворачивать знак неравенства или нет — преобразование неравносильное. Вместо этого переносят всё в одну часть, приводят к одной дроби и применяют метод интервалов.
-
В ответ записывают одно число: «$x = 3$» вместо множества.
Решение неравенства — это множество значений. Запиши его промежутком: \(x > 3\), то есть \((3;\ +\infty)\). Одно число может быть только элементом ответа, но не самим ответом.
-
У системы берут объединение, а у совокупности — пересечение.
У системы (фигурная скобка, «и») — пересечение, общая часть промежутков. У совокупности (квадратная скобка, «или») — объединение через знак \(\cup\). И ещё: запись вида «\(-2 < x > 5\)» не имеет смысла — такой ответ оформляют как объединение двух промежутков.
Вопросы и ответы
Что значит решить неравенство?
Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно превращается в верное числовое неравенство, и записать их множеством. Ответом будет промежуток или объединение промежутков, а не отдельное число.
Какие бывают виды неравенств?
По виду выражения с переменной различают линейные (\(ax + b > 0\)), квадратные (\(ax^2 + bx + c > 0\)), дробно-рациональные (переменная в знаменателе), с модулем, иррациональные и показательные. Отдельно выделяют системы и совокупности неравенств. По знаку неравенства делят на строгие (\(<\), \(>\)) и нестрогие (\(\le\), \(\ge\)).
Когда знак неравенства меняется на противоположный?
В двух случаях: когда обе части умножают или делят на отрицательное число и когда левую и правую части меняют местами. При прибавлении, вычитании и делении на положительное число знак остаётся прежним.
Когда скобка круглая, а когда квадратная?
Круглая — если граничная точка в ответ не входит (строгий знак, выколотая точка на оси). Квадратная — если входит (нестрогий знак, закрашенная точка). Возле \(+\infty\) и \(-\infty\) скобка круглая всегда.
Чем решение неравенства отличается от решения уравнения?
Преобразования почти те же, но у уравнения ответ обычно состоит из отдельных чисел, а у неравенства — из целых промежутков. Кроме того, у неравенства есть правило смены знака при умножении и делении на отрицательное число, которого в уравнениях нет.
Какое неравенство считается дробным и где его разбирают?
Дробным (дробно-рациональным) называют неравенство, в котором переменная стоит в знаменателе, — например \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); из-за знаменателя у него появляется область допустимых значений, и обычным делением его не решить. Пошаговый алгоритм с примерами — в отдельном материале рациональные неравенства и метод интервалов.
В каком классе изучают решение неравенств?
Линейные неравенства и числовые промежутки проходят в 8 классе (у Мерзляка — в 9), квадратные и дробно-рациональные неравенства с методом интервалов — в 8–9 классах, а иррациональные и показательные — в старшей школе.
