Решение задачи на арифметическую прогрессию: участники олимпиады

Задание 1

Условие: Олимпиада ИКС по искусственному интеллекту проводится не первый год. Каждый год число участников этой олимпиады растёт на 101. Если сложить количество участников всех прошедших олимпиад ИКС, получится 600. Сколько участников было на первой олимпиаде?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию.
Пусть:
* \(a_1\) — количество участников на первой олимпиаде.
* \(d\) — разность арифметической прогрессии, равная 101 (так как каждый год число участников растёт на 101).
* \(n\) — количество олимпиад, проведённых к моменту, когда суммарное число участников стало 600.

Нам известно, что сумма \(n\) первых членов арифметической прогрессии равна 600. Формула суммы \(n\) первых членов арифметической прогрессии:
\(S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\)

В нашем случае:
\(600 = \frac{2a_1 + (n-1)101}{2} \cdot n\)

Из условия задачи видно, что число участников на первой олимпиаде должно быть положительным целым числом. Также, количество олимпиад \(n\) должно быть целым положительным числом.

Попробуем подставить различные значения \(n\) и посмотреть, сможем ли мы получить целое положительное \(a_1\).

Если \(n=1\), то \(S_1 = a_1 = 600\). Но тогда разность 101 не учитывается, а условие гласит, что олимпиада проводится "не первый год".

Если \(n=2\), то \(S_2 = a_1 + (a_1+101) = 2a_1 + 101 = 600\).
\(2a_1 = 600 - 101 = 499\).
\(a_1 = 499 / 2 = 249.5\). Не целое число.

Если \(n=3\), то \(S_3 = a_1 + (a_1+101) + (a_1+202) = 3a_1 + 303 = 600\).
\(3a_1 = 600 - 303 = 297\).
\(a_1 = 297 / 3 = 99\). Это целое положительное число.

Проверим:
Первая олимпиада: 99 участников.
Вторая олимпиада: 99 + 101 = 200 участников.
Третья олимпиада: 200 + 101 = 301 участник.
Сумма участников: 99 + 200 + 301 = 600.

Таким образом, на первой олимпиаде было 99 участников.

Ответ: 99