Bună ziua! Voi rezolva și explica pas cu pas problemele din imagine.

Setul 1-4

1. Vectorul viteză este orientat:

• Mobilul se află în punctul din extremitatea sudică a traiectoriei și se mișcă în sens orar.
• Vectorul viteză este întotdeauna tangent la traiectorie.
• În acest punct, vectorul viteză este orientat spre vest (V).

Răspuns: D) Spre V

2. Vectorul accelerație normală este orientat:

• Accelerația normală este întotdeauna orientată spre centrul cercului.
• În acest caz, centrul cercului este deasupra mobilului, deci accelerația normală este orientată spre nord (N).

Răspuns: B) Spre N

3. Vectorul accelerație tangențială este orientat:

• Mişcarea este frânată, deci accelerația tangențială are sens opus vitezei.
• Viteza este orientată spre vest (V), deci accelerația tangențială este orientată spre est (E).

Răspuns: C) Spre E

4. Vectorul accelerație este orientat:

• Vectorul accelerație este suma vectorilor accelerație normală și tangențială.
• Accelerația normală este spre nord (N), iar accelerația tangențială este spre est (E).
• Rezultanta este orientată spre nord-est (NE).

Răspuns: E) Spre NE

Setul 5-8

5. Accelerația metroului pe ultimele 30s are valoarea:

• Ultimele 30 de secunde corespund intervalului de timp de la 4.5 minute la 5 minute.
• Pe acest interval, viteza scade liniar de la 54 km/h la 0 km/h.
• Accelerația este variația vitezei în timp: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
• $\Delta v = 0 - 54 \text{ km/h} = -54 \text{ km/h} = -54 \cdot \frac{1000}{3600} \text{ m/s} = -15 \text{ m/s}$
• $\Delta t = 5 \text{ min} - 4.5 \text{ min} = 0.5 \text{ min} = 30 \text{ s}$
• $a = \frac{-15 \text{ m/s}}{30 \text{ s}} = -0.5 \text{ m/s}^2 = -\frac{1}{2} \text{ m/s}^2$

Răspuns: F) $-\frac{1}{2} \text{ m/s}^2$

6. Durata mișcării uniforme a metroului are valoarea:

• Mişcarea uniformă corespunde porțiunii orizontale a graficului, unde viteza este constantă.
• Aceasta se întâmplă între 0.5 minute și 4.5 minute.
• Durata este $4.5 \text{ min} - 0.5 \text{ min} = 4 \text{ min} = 4 \cdot 60 \text{ s} = 240 \text{ s}$

Răspuns: E) 240s

7. Distanța totală dintre cele două stații are valoarea:

• Distanța totală este aria de sub graficul vitezei în funcție de timp.
• Graficul este format dintr-un triunghi (0-0.5 min), un dreptunghi (0.5-4.5 min) și un alt triunghi (4.5-5 min).
• Transformăm timpul în secunde: 0.5 min = 30 s, 4.5 min = 270 s, 5 min = 300 s
• Transformăm viteza în m/s: 54 km/h = 15 m/s
• Aria primului triunghi: $\frac{1}{2} \cdot 30 \text{ s} \cdot 15 \text{ m/s} = 225 \text{ m}$
• Aria dreptunghiului: $(270 \text{ s} - 30 \text{ s}) \cdot 15 \text{ m/s} = 240 \text{ s} \cdot 15 \text{ m/s} = 3600 \text{ m}$
• Aria celui de-al doilea triunghi: $\frac{1}{2} \cdot (300 \text{ s} - 270 \text{ s}) \cdot 15 \text{ m/s} = \frac{1}{2} \cdot 30 \text{ s} \cdot 15 \text{ m/s} = 225 \text{ m}$
• Distanța totală: $225 \text{ m} + 3600 \text{ m} + 225 \text{ m} = 4050 \text{ m}$

Răspuns: F) 4050m

Setul 9-14

9. Deplasarea în primele 2 secunde are valoarea:

• Legea de mișcare este $x = 2t^2 - 6t - 4$.
• Deplasarea este diferența dintre poziția finală și cea inițială: $\Delta x = x(2) - x(0)$.
• $x(0) = 2(0)^2 - 6(0) - 4 = -4 \text{ m}$
• $x(2) = 2(2)^2 - 6(2) - 4 = 8 - 12 - 4 = -8 \text{ m}$
• $\Delta x = -8 \text{ m} - (-4 \text{ m}) = -8 \text{ m} + 4 \text{ m} = -4 \text{ m}$

Răspuns: Nu există răspuns corect. Răspunsul corect este -4m.

Ассистент: Continuăm cu rezolvarea problemelor rămase.

Setul 9-14 (continuare)

10. Viteza medie în primele 4 secunde are valoarea:

• Viteza medie este deplasarea totală împărțită la timpul total: $v_{medie} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$.
• $\Delta x = x(4) - x(0)$
• $x(0) = -4 \text{ m}$ (calculat anterior)
• $x(4) = 2(4)^2 - 6(4) - 4 = 32 - 24 - 4 = 4 \text{ m}$
• $\Delta x = 4 \text{ m} - (-4 \text{ m}) = 8 \text{ m}$
• $v_{medie} = \frac{8 \text{ m}}{4 \text{ s}} = 2 \text{ m/s}$

Răspuns: B) 2 m/s

11. Viteza inițială are valoarea:

• Viteza este derivata poziției în funcție de timp: $v(t) = \frac{dx}{dt}$.
• $x(t) = 2t^2 - 6t - 4$
• $v(t) = 4t - 6$
• Viteza inițială este viteza la momentul $t = 0$: $v(0) = 4(0) - 6 = -6 \text{ m/s}$

Răspuns: B) -6 m/s

12. Momentul opririi este:

• Momentul opririi este momentul în care viteza este zero: $v(t) = 0$.
• $v(t) = 4t - 6 = 0$
• $4t = 6$
• $t = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ s}$

Răspuns: B) 1,5s

13. Accelerația la momentul t = 1s are valoarea:

• Accelerația este derivata vitezei în funcție de timp: $a(t) = \frac{dv}{dt}$.
• $v(t) = 4t - 6$
• $a(t) = 4 \text{ m/s}^2$ (accelerația este constantă)

Răspuns: C) $4 \text{ m/s}^2$

14. Durata între momentele când mobilul trece prin originea axei x are valoarea:

• Trebuie să găsim momentele $t$ când $x(t) = 0$.
• $2t^2 - 6t - 4 = 0$
• Împărțim ecuația la 2: $t^2 - 3t - 2 = 0$
• Folosim formula quadratică: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
• $t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$
• $t_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3.56 \text{ s}$
• $t_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx -0.56 \text{ s}$ (nu este relevant, deoarece timpul nu poate fi negativ)
• Durata este $t_1 - t_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} - 0 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3.56 \text{ s}$
• Dar problema cere durata între momentele când trece prin origine, deci trebuie să luăm valoarea absolută a diferenței dintre cele două rădăcini:
• Durata = $|t_1 - t_2| = |\frac{3 + \sqrt{17}}{2} - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}| = |\frac{2\sqrt{17}}{2}| = \sqrt{17} \approx 4.12 \text{ s}$

Răspuns: Nu există răspuns corect.

Setul 15-18

15. Viteza primului automobil după primii 64m parcurși are valoarea:

• Primul automobil are o mișcare uniform accelerată cu $a = 0.5 \text{ m/s}^2$ și $v_0 = 0$.
• Folosim formula: $v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x$
• $v^2 = 0 + 2 \cdot 0.5 \text{ m/s}^2 \cdot 64 \text{ m} = 64 \text{ m}^2/\text{s}^2$
• $v = \sqrt{64 \text{ m}^2/\text{s}^2} = 8 \text{ m/s}$

Răspuns: B) 8 m/s

16. Timpul după care se întâlnesc cele două vehicule are valoarea:

• Fie $x_1$ poziția primului automobil și $x_2$ poziția celui de-al doilea automobil.
• $x_1 = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 t^2 = 0.25 t^2$
• $x_2 = 900 - v t = 900 - 40t$ (distanța totală este 0.9 km = 900 m)
• La întâlnire, $x_1 = x_2$: $0.25 t^2 = 900 - 40t$
• $0.25 t^2 + 40t - 900 = 0$
• $t^2 + 160t - 3600 = 0$
• $t = \frac{-160 \pm \sqrt{160^2 - 4(1)(-3600)}}{2} = \frac{-160 \pm \sqrt{25600 + 14400}}{2} = \frac{-160 \pm \sqrt{40000}}{2} = \frac{-160 \pm 200}{2}$
• $t_1 = \frac{-160 + 200}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ s}$
• $t_2 = \frac{-160 - 200}{2} = -180 \text{ s}$ (nu este relevant)

Răspuns: B) 20s

17. Distanța parcursă de primul automobil până la întâlnire are valoarea:

• $x_1 = 0.25 t^2 = 0.25 (20)^2 = 0.25 \cdot 400 = 100 \text{ m}$

Răspuns: A) 100m

18. În momentul întâlnirii, viteza relativă a celui de-al doilea automobil față de primul are valoarea:

• $v_1 = a t = 0.5 \cdot 20 = 10 \text{ m/s}$
• $v_2 = 40 \text{ m/s}$
• Viteza relativă este $v_2 - v_1 = 40 - 10 = 30 \text{ m/s}$

Răspuns: C) 30 m/s

Ассистент: Am notat. Iată toate răspunsurile în ordine:

1. D) Spre V
2. B) Spre N
3. C) Spre E
4. E) Spre NE
5. F) $-\frac{1}{2} \text{ m/s}^2$
6. E) 240s
7. F) 4050m
8. Nu am rezolvat această problemă.
9. Nu există răspuns corect. Răspunsul corect este -4m.
10. B) 2 m/s
11. B) -6 m/s
12. B) 1,5s
13. C) $4 \text{ m/s}^2$
14. Nu există răspuns corect.
15. B) 8 m/s
16. B) 20s
17. A) 100m
18. C) 30 m/s

Ассистент: Am observat că am omis problema 8 din setul 5-8. Îmi cer scuze pentru asta și o voi rezolva acum, împreună cu restul problemelor.

Setul 5-8 (continuare)

8. Viteza medie pe toată durata deplasării are valoarea:

• Distanța totală este 4050 m (calculată la problema 7).
• Durata totală este 5 minute = 300 secunde.
• Viteza medie este distanța totală împărțită la timpul total: $v_{medie} = \frac{4050 \text{ m}}{300 \text{ s}} = 13.5 \text{ m/s}$

Răspuns: E) 13,5 m/s

Acum, lista completă a răspunsurilor este:

1. D) Spre V
2. B) Spre N
3. C) Spre E
4. E) Spre NE
5. F) $-\frac{1}{2} \text{ m/s}^2$
6. E) 240s
7. F) 4050m
8. E) 13,5 m/s
9. Nu există răspuns corect. Răspunsul corect este -4m.
10. B) 2 m/s
11. B) -6 m/s
12. B) 1,5s
13. C) $4 \text{ m/s}^2$
14. Nu există răspuns corect.
15. B) 8 m/s
16. B) 20s
17. A) 100m
18. C) 30 m/s