Am identificat o problemă de matematică în limba română. Să o rezolvăm pas cu pas.
Задание 1
Cerinta: Determinați cel mai mic număr natural cu proprietatea că suma resturilor obținute prin împărțirea la: 8, 9, 10, 11, 12, 13 și 14 este 70.
Soluție:
Fie $n$ numărul căutat. Atunci, putem scrie:
$n = 8q_1 + r_1$
$n = 9q_2 + r_2$
$n = 10q_3 + r_3$
$n = 11q_4 + r_4$
$n = 12q_5 + r_5$
$n = 13q_6 + r_6$
$n = 14q_7 + r_7$
Unde $q_i$ sunt câturile și $r_i$ sunt resturile împărțirilor. Știm că $r_1 + r_2 + r_3 + r_4 + r_5 + r_6 + r_7 = 70$.
De asemenea, știm că $0 \le r_1 < 8$, $0 \le r_2 < 9$, $0 \le r_3 < 10$, $0 \le r_4 < 11$, $0 \le r_5 < 12$, $0 \le r_6 < 13$, $0 \le r_7 < 14$.
Dacă $n$ ar fi divizibil cu toate numerele de la 8 la 14, atunci toate resturile ar fi 0, iar suma lor ar fi 0, ceea ce nu este cazul.
Observăm că suma maximă a resturilor ar fi: $7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 70$. Asta înseamnă că $r_1 = 7$, $r_2 = 8$, $r_3 = 9$, $r_4 = 10$, $r_5 = 11$, $r_6 = 12$, $r_7 = 13$.
Atunci, putem scrie:
$n = 8q_1 + 7$
$n = 9q_2 + 8$
$n = 10q_3 + 9$
$n = 11q_4 + 10$
$n = 12q_5 + 11$
$n = 13q_6 + 12$
$n = 14q_7 + 13$
Adăugând 1 la fiecare ecuație, obținem:
$n + 1 = 8(q_1 + 1)$
$n + 1 = 9(q_2 + 1)$
$n + 1 = 10(q_3 + 1)$
$n + 1 = 11(q_4 + 1)$
$n + 1 = 12(q_5 + 1)$
$n + 1 = 13(q_6 + 1)$
$n + 1 = 14(q_7 + 1)$
Deci, $n + 1$ este divizibil cu 8, 9, 10, 11, 12, 13 și 14. Asta înseamnă că $n + 1$ este multiplu al celui mai mic multiplu comun (cmmmc) al acestor numere.
Calculăm cmmmc(8, 9, 10, 11, 12, 13, 14):
* $8 = 2^3$
* $9 = 3^2$
* $10 = 2 \cdot 5$
* $11 = 11$
* $12 = 2^2 \cdot 3$
* $13 = 13$
* $14 = 2 \cdot 7$
cmmmc(8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 360360$
$n + 1 = 360360$
$n = 360360 - 1 = 360359$
Răspuns:
Numărul căutat este 360359. Deci, răspunsul corect este (D).
Răspuns final: (D) 360359
```task_context>
[Verifică soluția]|Verifică dacă 360359 este corect, calculează resturile împărțirii la 8, 9, 10, 11, 12, 13 și 14 și verifică dacă suma lor este 70.
[Explică cmmmc]|Explică cum se calculează cel mai mic multiplu comun (cmmmc) pentru mai multe numere, dă exemple și arată pașii.
