O inegalitate este două expresii unite printr-un semn \(<\), \(>\), \(\le\) sau \(\ge\). A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate valorile variabilei pentru care aceasta se transformă într-o inegalitate numerică corectă. Răspunsul nu va fi un singur număr, ci o mulțime întreagă: un interval pe axa numerică sau o reuniune de intervale. Această pagină adună o bază comună pentru toate tipurile de inegalități: cum se citesc semnele, ce transformări sunt permise, de ce se răstoarnă semnul la împărțirea cu un număr negativ și cum se scrie corect răspunsul. Apoi — o prezentare generală a tuturor tipurilor de inegalități cu linkuri către analize detaliate și un simulator pentru a te verifica.
Ce înseamnă să rezolvi o inegalitate
Rezolvarea unei inegalități — este orice valoare a variabilei care transformă inegalitatea într-una numerică corectă. A rezolva o inegalitate — înseamnă a găsi toate astfel de valori și a le scrie ca mulțime.
Compară cu o ecuație. Pentru ecuația \(2x = 8\) răspunsul este un singur număr \(x = 4\). Pentru inegalitatea \(2x < 8\) răspunsul este o infinitate de numere: potrivite sunt și \(3\), și \(0\), și \(-100\), și \(3{,}999\). Nu le poți scrie pe fiecare în parte, de aceea răspunsul se formulează ca un interval: \(x < 4\), adică \((-\infty;\ 4)\).
Verificarea dacă un anumit număr este soluție este ușoară: înlocuiește-l în locul variabilei și vezi dacă ai obținut o inegalitate corectă.
- \(x = 1\) în inegalitatea \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — corect, deci \(1\) este soluție.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — incorect, deci \(5\) nu este soluție.
Două inegalități se numesc echivalente dacă au aceleași mulțimi de soluții. Toată rezolvarea unei inegalități — este un lanț de treceri la o inegalitate echivalentă mai simplă, până când la stânga rămâne doar \(x\).
Semne de inegalități: stricte și nestricte
Sunt patru semne, iar de cel pe care îl folosești depind și răspunsul, și modul de formulare. Semnele stricte \(<\) și \(>\) nu includ punctul de frontieră în răspuns, semnele nestricte \(\le\) și \(\ge\) — îl includ.
Această diferență se menține pe parcursul rezolvării: un semn strict dă un punct «scos» (gol) pe axă și o paranteză rotundă în răspuns, unul nestrict — un punct «plin» și o paranteză pătrată.
| Semn | Cum se citește și ce implică în răspuns |
|---|---|
| < | mai micstrictpunct scos, paranteză rotundă |
| > | mai marestrictpunct scos, paranteză rotundă |
| ≤ | mai mic sau egalnestrictpunct plin, paranteză pătrată |
| ≥ | mai mare sau egalnestrictpunct plin, paranteză pătrată |
Transformări echivalente: ce poți face cu o inegalitate
Cu o inegalitate poți face aproape același lucru ca și cu o ecuație, dar cu o corecție importantă. Poți aduna și scădea liber: dacă la ambele părți se adaugă sau din ambele părți se scade același număr, mulțimea soluțiilor nu se schimbă. Exact așa termenii se „trec” peste semn, schimbându-le semnul din plus în minus.
Însă înmulțirea și împărțirea depind de semnul factorului. La înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un număr negativ, semnul inegalității se schimbă în opusul său: \(<\) devine \(>\), \(\le\) devine \(\ge\) și invers. Motivul este vizibil pe numere: din corectul \(3 < 5\) după înmulțirea cu \(-1\) obținem \(-3\) și \(-5\), iar \(-3 > -5\) — ordinea numerelor s-a inversat.
Același lucru se întâmplă dacă schimbi locul părții stângi și a celei drepte: din \(7 < y\) obții \(y > 7\).
| Ce facem cu ambele părți | Ce se întâmplă cu semnul |
|---|---|
| Adunăm sau scădem același număr sau expresie | semnul se păstrează |
| Înmulțim sau împărțim cu un număr pozitiv | semnul se păstrează |
| Înmulțim sau împărțim cu un număr negativ | semnul se schimbă |
| Schimbăm locul părții stângi și a celei drepte | semnul se schimbă |
| Înmulțim sau împărțim cu o expresie ce conține variabila (x − 2) | nu este permis |
Cum se scrie răspunsul: axa numerică și intervale
Când variabila a rămas singură, rezolvarea este aproape gata — mai rămâne să o formulezi. Cel mai comod este să marchezi mai întâi răspunsul pe axa numerică, iar de pe axă să calculezi intervalul.
Regulile de scriere sunt doar trei și nu se schimbă în funcție de tipul inegalității:
- paranteza rotundă — punctul nu intră în răspuns (semn strict, punct scos);
- paranteza pătrată — punctul intră (semn nestrict, punct plin);
- la infinit, paranteza este întotdeauna rotundă: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — nu există notații de genul \([-\infty;\ 4]\), infinitul nu este un număr și nu poate fi atins.
Dacă soluția s-a dovedit a fi două bucăți de axă, acestea se unesc prin semnul de reuniune \(\cup\): de exemplu, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Tipuri de inegalități și metodele lor de rezolvare
Inegalitățile se diferențiază prin modul în care intră variabila — dacă este la prima putere, sub pătrat, la numitor sau sub modul. Tocmai acest lucru determină metoda de rezolvare, de aceea primul pas în orice rezolvare este să identifici tipul inegalității. Logica generală mai departe este una singură: aducerea inegalității la forma „expresie comparată cu zero”, apoi aplicarea unei tehnici potrivite acestui tip. O sinteză a tipurilor și metodelor — în tabelul de mai jos.
Separat, trebuie reținut cum se desface modulul — tabelul nu include acest aspect. Pentru \(a > 0\), inegalitatea \(|f(x)| < a\) este echivalentă cu inegalitatea dublă \(-a < f(x) < a\) (rezultă un sistem), iar \(|f(x)| > a\) — cu o reuniune de cazuri \(f(x) < -a\) sau \(f(x) > a\) (rezultă o reuniune de intervale). Dacă \(a < 0\), nu e nimic de gândit: modulul este nenegativ, de aceea \(|f(x)| < a\) nu are soluții, iar \(|f(x)| > a\) este corectă pentru toate \(x\) admise.
Inegalitățile iraționale (cu radical) și exponențiale se studiază în liceu: la transformările obișnuite se adaugă lucrul cu domeniul valorilor admisibile.
Analize detaliate ale tipurilor individuale: inegalități liniare, inegalități raționale și metoda intervalelor, iar rădăcinile trinomului pătratic se potrivesc convenabil prin teorema lui Viète.
| Tip | Cum arată și cum se rezolvă |
|---|---|
| Liniar | ax + b > 0mutăm termenii și împărțim la coeficientul lui x |
| Pătratic | ax2 + bx + c > 0căutăm rădăcinile trinomului și ne uităm la parabolă |
| Fracționar-rațional | P(x) / Q(x) ≥ 0metoda intervalelor, punctele de la numitor se scot |
| Cu modul | | f(x) | < adesfacem modulul conform definiției |
| Sistem | două inegalități între acoladerezolvăm fiecare, luăm intersecția |
Sisteme și reuniuni de inegalități
Adesea o inegalitate se descompune în două, și atunci este important să nu confunzi ce trebuie făcut cu mulțimile obținute.
Sistem (acolade) înseamnă „și una, și alta simultan”. Rezolvăm fiecare inegalitate separat, marcăm ambele răspunsuri pe aceeași axă și luăm intersecția — partea comună. Dacă nu există parte comună, sistemul nu are soluții.
Reuniune (paranteză pătrată) înseamnă „sau una, sau alta”. Aici luăm reuniunea — tot ce este marcat de cel puțin unul dintre răspunsuri. O reuniune apare, de exemplu, la desfacerea modulului cu semnul „mai mare”.
Separat merită menționată inegalitatea dublă de forma \(-3 < 2x + 1 \le 7\): aceasta este o scriere scurtă a unui sistem. Transformările se efectuează imediat asupra tuturor celor trei părți — se scade, se împarte, iar la împărțirea cu un număr negativ se răstoarnă ambele semne.
Exemple de rezolvare a inegalităților
Exemplul 1. Verificarea dacă un număr este soluție
Sarcină. Este \(x = -1\) soluție a inegalității \(3x + 5 \ge 1\)?
Pasul 1. Înlocuim \(-1\) în locul lui \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Pasul 2. Comparăm cu partea dreaptă: \(2 \ge 1\) — inegalitate numerică corectă.
Răspuns. Da, \(-1\) este una dintre soluții. Dar a rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate astfel de numere, nu doar unul: aici răspunsul este \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Exemplul 2. Inegalitate liniară cu schimbare de semn
Sarcină. Rezolvă \(7 - 3x < 1\).
Pasul 1. Mutăm \(7\) în dreapta (adică scădem \(7\) din ambele părți — semnul inegalității nu se schimbă): \(-3x < 1 - 7\), deci \(-3x < -6\).
Pasul 2. Împărțim ambele părți la \(-3\). Deoarece împărțitorul este negativ, semnul se răstoarnă: \(x > 2\).
Pasul 3. Marcăm pe axă: punctul scos la \(2\), colorăm totul spre dreapta.
Răspuns. \(x > 2\), adică \(x \in (2;\ +\infty)\).
Exemplul 3. Inegalitate pătratică
Sarcină. Rezolvă \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Pasul 1. Găsim rădăcinile trinomului: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), de unde \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Pasul 2. Coeficientul lui \(x^2\) este pozitiv, deci ramurile parabolei sunt orientate în sus: între rădăcini trinomul este negativ, iar în afara rădăcinilor — pozitiv.
Pasul 3. Avem nevoie de semnul \(\le 0\), adică valori negative și chiar rădăcinile (semnul este nestrict) — luăm segmentul dintre rădăcini, inclusiv capetele.
Răspuns. \(x \in [-1;\ 5]\).
Exemplul 4. Inegalitate cu modul
Sarcină. Rezolvă \(|x + 1| > 4\).
Pasul 1. Modulul este mai mare decât un număr pozitiv — înseamnă că expresia din modul este fie mai mare decât \(4\), fie mai mică decât \(-4\). Obținem o reuniune: \(x + 1 > 4\) sau \(x + 1 < -4\).
Pasul 2. Rezolvăm fiecare: din prima \(x > 3\), din a doua \(x < -5\).
Pasul 3. Aceasta este o reuniune, de aceea luăm reuniunea intervalelor, nu intersecția.
Răspuns. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Exemplul 5. Sistem de inegalități
Sarcină. Rezolvă sistemul \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Pasul 1. Prima inegalitate: \(2x > -4\), împărțim la pozitivul \(2\) — semnul se păstrează, \(x > -2\).
Pasul 2. A doua inegalitate: \(x \le 4\).
Pasul 3. Marcăm ambele răspunsuri pe aceeași axă și luăm intersecția — porțiunea colorată de două ori. Granița stângă nu intră (semn strict), cea dreaptă intră (nestrict).
Răspuns. \(x \in (-2;\ 4]\).
Greșeli frecvente la rezolvarea inegalităților
-
Am împărțit la un număr negativ și am păstrat semnul anterior.
La înmulțirea și împărțirea ambelor părți cu un număr negativ, semnul se schimbă obligatoriu în opusul său. Din \(-5x \ge 10\) rezultă \(x \le -2\), nu \(x \ge -2\). Te poți verifica prin substituție: \(x = -3\) dă \(15 \ge 10\) — corect, deci răspunsul corect este într-adevăr „mai mic sau egal”.
-
Scriu paranteză pătrată la infinit: $[-\infty;\ 7]$.
Infinitul nu este un număr, nu poate fi „atins”, de aceea paranteza lângă \(\infty\) este întotdeauna rotundă: \((-\infty;\ 7]\). Paranteza pătrată se pune doar la granița finită care intră în răspuns.
-
Confundă tipul parantezei și tipul punctului: semnul strict este scris cu paranteză pătrată.
Semnul strict (\(<\), \(>\)) — granița nu intră: punct scos și paranteză rotundă. Semnul nestrict (\(\le\), \(\ge\)) — granița intră: punct plin și paranteză pătrată. Verificarea este simplă: înlocuiește chiar punctul de frontieră în inegalitatea inițială și vezi dacă ai obținut un rezultat corect.
-
Înmulțesc ambele părți cu o expresie ce conține variabila, pentru a „scăpa de fracție”.
Semnul unei astfel de expresii este necunoscut, de aceea nu este clar dacă trebuie răsturnat semnul inegalității sau nu — transformarea nu este echivalentă. În schimb, se mută totul într-o singură parte, se aduce la o singură fracție și se aplică metoda intervalelor.
-
În răspuns scriu un singur număr: „$x = 3$” în loc de mulțime.
Rezolvarea unei inegalități — este o mulțime de valori. Scrie-o ca interval: \(x > 3\), adică \((3;\ +\infty)\). Un singur număr poate fi doar un element al răspunsului, dar nu răspunsul în sine.
-
La sistem iau reuniunea, iar la reuniune — intersecția.
La sistem (acolade, „și”) — intersecția, partea comună a intervalelor. La reuniune (paranteză pătrată, „sau”) — reuniunea prin semnul \(\cup\). Și încă ceva: notația de genul „\(-2 < x > 5\)” nu are sens — un astfel de răspuns se formulează ca o reuniune de două intervale.
Întrebări și răspunsuri
Ce înseamnă să rezolvi o inegalitate?
A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate valorile variabilei pentru care aceasta se transformă într-o inegalitate numerică corectă și a le scrie ca mulțime. Răspunsul va fi un interval sau o reuniune de intervale, nu un număr separat.
Ce fel de inegalități există?
După forma expresiei cu variabila se disting inegalități liniare (\(ax + b > 0\)), pătratice (\(ax^2 + bx + c > 0\)), fracționar-raționale (variabila la numitor), cu modul, iraționale și exponențiale. Separat se disting sistemele și reuniunile de inegalități. După semnul inegalității se împart în stricte (\(<\), \(>\)) și nestricte (\(\le\), \(\ge\)).
Când se schimbă semnul inegalității în opusul său?
În două cazuri: când ambele părți sunt înmulțite sau împărțite cu un număr negativ și când părțile stânga și dreapta sunt schimbate între ele. La adunare, scădere și împărțire la un număr pozitiv semnul rămâne același.
Când paranteza este rotundă și când este pătrată?
Rotundă — dacă punctul de frontieră nu intră în răspuns (semn strict, punct scos pe axă). Pătrată — dacă intră (semn nestrict, punct plin). Lângă \(+\infty\) și \(-\infty\) paranteza este întotdeauna rotundă.
Prin ce se deosebește rezolvarea unei inegalități de rezolvarea unei ecuații?
Transformările sunt aproape aceleași, dar la ecuație răspunsul constă de obicei din numere separate, iar la inegalitate — din intervale întregi. În plus, inegalitatea are regula schimbării semnului la înmulțirea și împărțirea cu un număr negativ, care nu există la ecuații.
Ce inegalitate este considerată fracționară și unde se studiază?
Fracționară (fracționar-rațională) se numește inegalitatea în care variabila se află la numitor, — de exemplu \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); din cauza numitorului, aceasta are un domeniu de valori admisibile și nu poate fi rezolvată prin împărțire obișnuită. Algoritmul pas cu pas cu exemple — într-un material separat inegalități raționale și metoda intervalelor.
În ce clasă se studiază rezolvarea inegalităților?
Inegalitățile liniare și intervalele numerice se studiază în clasa a 8-a (la autori precum Merzliak — în clasa a 9-a), inegalitățile pătratice și fracționar-raționale cu metoda intervalelor — în clasele a 8-a–a 9-a, iar cele iraționale și exponențiale — în liceu.
