Inegalitatea rațională este o inegalitate de forma \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), unde \(P(x)\) și \(Q(x)\) sunt polinoame, iar în locul semnului \(>\) poate fi \(<\), \(\ge\) sau \(\le\). Aceste inegalități se rezolvă prin metoda intervalelor: se mută totul în partea stângă, se descompune în factori, se marchează pe axa numerică zerourile numărătorului și zerourile numitorului și se stabilesc semnele. Mai jos - definiție, algoritm complet, regula punctelor excluse, multiplicitatea rădăcinilor, exemple rezolvate și simulator cu verificare.
Ce este o inegalitate rațională
Inegalitatea rațională este o inegalitate în care ambele părți sunt exprimate prin expresii raționale, adică polinoame și fracții din polinoame. După mutarea totului într-o singură parte, ea se reduce întotdeauna la forma
unde \(P(x)\) și \(Q(x)\) sunt polinoame, iar în locul lui \(\vee\) se află unul dintre semnele \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). În dreapta obligatoriu este zero - aceasta este o condiție fără de care metoda intervalelor nu funcționează.
Inegalitățile raționale se împart în două tipuri. Dacă variabila apare doar la numărător, inegalitatea se numește rațională întreagă: nu avem ce împărți și sunt valabile orice valori ale lui \(x\). Dacă variabila se află la numitor, inegalitatea este rațional-fracționară (numită și inegalitate fracționară sau inegalitate cu fracție) - și atunci apare imediat restricția \(Q(x) \neq 0\).
De ce nu se pot înmulți ambele părți cu numitorul
Cea mai mare tentație la rezolvarea unei inegalități cu fracție este să „scapi de numitor” înmulțind ambele părți cu el. Cu ecuațiile se poate face așa, cu inegalitățile - nu. Motivul este simplu: la înmulțirea cu un număr negativ, semnul inegalității se răstoarnă, iar semnul expresiei \(Q(x)\) nu este cunoscut dinainte - depinde de \(x\).
Să privim inegalitatea \(\frac{5}{x-3} < 1\). Înmulțim ambele părți cu \(x - 3\), ca și cum ar fi un număr pozitiv: obținem \(5 < x - 3\), adică \(x > 8\). Verificăm răspunsul prin substituție \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) - inegalitatea este adevărată, deci și zero este soluție, dar nu a intrat în răspunsul \(x > 8\). Răspunsul a fost pierdut.
Calea corectă este să mutăm totul în stânga și să aducem la o singură fracție:
La ultimul pas am înmulțit ambele părți cu \(-1\) și am răsturnat semnul - acest lucru este permis, deoarece \(-1\) este mereu negativ. Mai departe funcționează metoda intervalelor, iar răspunsul obținut este \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) - acesta include și zero-ul pierdut.
Cel mai simplu de reținut este așa: nu se înmulțesc ambele părți cu o expresie cu variabilă, se pot muta termeni oricând. Mutarea nu schimbă semnul inegalității.
Metoda intervalelor: algoritm de rezolvare pas cu pas
Metoda intervalelor se bazează pe o proprietate: între zerourile consecutive ale unei expresii raționale, semnul acesteia este constant. Deci, este suficient să găsim toate punctele unde numărătorul sau numitorul se anulează, să împărțim axa numerică cu ele și să determinăm semnul pe fiecare interval - folosind un punct de probă sau prin multiplicitatea rădăcinilor.
Puncte excluse și puncte pline: ODZ și semnul inegalității
O greșeală într-o singură paranteză transformă o soluție corectă într-un răspuns greșit, de aceea regula punctelor merită învățată separat. Funcționează exact două considerații.
Prima - domeniul valorilor admisibile (ODZ). Zero-ul numitorului se exclude mereu, indiferent de semnul inegalității. În acest punct, fracția pur și simplu nu există: nu se poate împărți la zero, de aceea numărul nu poate fi soluție, chiar dacă semnul este nestrigent.
A doua - semn strict sau nestrigent. Zerourile numărătorului fac fracția egală cu zero. La un semn nestrigent (\(\le\) sau \(\ge\)), egalitatea cu zero ne convine, deci punctul se marchează plin și intră în răspuns cu paranteză pătrată. La un semn strict (\(<\) sau \(>\)), zero-ul nu convine, iar punctul se exclude.
De exemplu, pentru inegalitatea \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\), punctul \(x = 6\) se marchează plin (zero al numărătorului, semn nestrigent), iar punctul \(x = -1\) se exclude (zero al numitorului). Răspuns: \(x \in (-1; 6]\).
| Ce fel de punct | Cum se marchează |
|---|---|
| Zero al numitorului, Q(x) = 0 | exclus mereu, la orice semn - punctul nu este în ODZ |
| Zero al numărătorului, semn strict < sau > | exclus fracția este zero, dar este necesar un semn strict diferit |
| Zero al numărătorului, semn nestrigent ≤ sau ≥ | plin egalitatea cu zero convine, punctul intră în răspuns |
Multiplicitatea rădăcinilor: unde semnul se schimbă și unde nu
Semnele pe intervale nu sunt obligate să alterneze pur și simplu - aceasta este cea mai frecventă greșeală în acest subiect. Alternarea funcționează doar atunci când toate parantezele apar la prima putere. Regula sună mai precis prin multiplicitatea rădăcinii - exponentul puterii corespunzătoare parantezei.
La trecerea peste o rădăcină de multiplicitate impară (puterea 1, 3, 5), semnul expresiei se schimbă. La trecerea peste o rădăcină de multiplicitate pară (puterea 2, 4), semnul nu se schimbă: paranteza la puterea pară este nenegativă și nu afectează semnul expresiei. Multiplicitatea se calculează la fel atât pentru numărător, cât și pentru numitor.
Să luăm \((x-9)^2(x+3) > 0\). Rădăcini: \(x = 9\) cu multiplicitatea 2 și \(x = -3\) cu multiplicitatea 1. La dreapta lui nouă, expresia este pozitivă. Trecem peste 9 - multiplicitatea este pară, semnul se păstrează, pe intervalul \((-3; 9)\) este tot plus. Trecem peste -3 - multiplicitatea este impară, semnul se schimbă în minus. Răspunsul inegalității stricte: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), punctul 9 este exclus, deoarece acolo expresia este egală cu zero. Dar pentru inegalitatea nestrigentă \((x-9)^2(x+3) \ge 0\), răspunsul este deja diferit: \(x \in [-3; +\infty)\) - nouă se marchează plin și „lipește” două intervale într-unul singur.
| Multiplicitatea rădăcinii | Semnul la trecere |
|---|---|
| Impară: (x − a), (x − a)3 | se schimbă |
| Pară: (x − a)2, (x − a)4 | nu se schimbă |
Axa numerică pe un exemplu: stabilim semnele
Să adunăm totul laolaltă pentru inegalitatea \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Zerourile numărătorului: \(x = -7\). Zerourile numitorului: \(x = 2\) și \(x = 5\), acestea stabilesc și ODZ. Toate cele trei paranteze sunt la prima putere, de aceea semnele alternează. Punctul de probă \(x = 10\) din cel mai din dreapta interval dă \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) - începem cu plus și mergem spre stânga, schimbând semnul la fiecare punct.
Exemple de rezolvare a inegalităților raționale
Exemplul 1. Inegalitate fracționară simplă
Rezolvă \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Pasul 1. În dreapta este deja zero, fracția este deja una - nu avem ce muta sau aduce la o formă comună.
Pasul 2. ODZ. \(x + 5 \neq 0\), adică \(x \neq -5\).
Pasul 3. Zerouri. Numărătorul este zero pentru \(x = 3\), numitorul - pentru \(x = -5\).
Pasul 4. Puncte pe axă. \(x = 3\) se marchează plin (zero al numărătorului, semn nestrigent), \(x = -5\) se exclude (zero al numitorului).
Pasul 5. Semne. Punct de probă \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) - în dreapta este plus. Ambele paranteze sunt la prima putere, deci semnele alternează: pe \((-5; 3)\) este minus, pe \((-\infty; -5)\) este plus. Verificăm: pentru \(x = -6\) obținem \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) - se potrivește.
Pasul 6. Răspuns. Este necesar semnul „plus sau zero”: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Exemplul 2. În dreapta nu este zero - mutăm
Rezolvă \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Pasul 1. Mutăm unitatea în stânga. Nu se poate înmulți cu \(x - 4\), semnul acestei expresii nu este cunoscut:
Pasul 2. Adu la o singură fracție.
Pasul 3. ODZ. \(x \neq 4\).
Pasul 4. Puncte. \(x = -5\) - zero al numărătorului, semn nestrigent, se marchează plin. \(x = 4\) - zero al numitorului, se exclude.
Pasul 5. Semne. Pentru \(x = 5\) fracția este \(\frac{10}{1} > 0\). Deci pe \((4; +\infty)\) este plus, pe \((-5; 4)\) este minus, pe \((-\infty; -5)\) este plus.
Pasul 6. Răspuns. \(x \in [-5; 4)\). Verificarea punctelor de frontieră: pentru \(x = -5\) fracția este zero - se potrivește pentru \(\le\); pentru \(x = 4\) fracția nu există - nu se potrivește.
Exemplul 3. Rădăcină de multiplicitate pară și punct izolat
Rezolvă \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Pasul 1. ODZ. \(x \neq 9\).
Pasul 2. Zerouri și multiplicități. \(x = 2\) - multiplicitatea 2 (pară), \(x = -6\) - multiplicitatea 1, \(x = 9\) - multiplicitatea 1 la numitor.
Pasul 3. Puncte. \(x = 2\) și \(x = -6\) se marchează plin (zerouri ale numărătorului la semn nestrigent), \(x = 9\) se exclude.
Pasul 4. Semne. Punct de probă \(x = 10\): numărătorul este pozitiv, numitorul este 1 - plus. Mergem spre stânga. Prin 9 (multiplicitate impară) semnul se schimbă: pe \((2; 9)\) este minus. Prin 2 (multiplicitate pară) semnul nu se schimbă: pe \((-6; 2)\) este tot minus. Prin -6 (multiplicitate impară) semnul se schimbă: pe \((-\infty; -6)\) este plus.
Pasul 5. Răspuns. Alegem intervalele cu semnul „plus” plus toate punctele unde expresia este egală cu zero. Punctul \(x = 2\) se află în interiorul intervalului cu minus, dar expresia însăși este zero acolo, deci intră în răspuns separat:
Un astfel de punct „singuratic” în răspuns - este un semn sigur al unei rădăcini de multiplicitate pară la un semn nestrigent.
Exemplul 4. Simplificarea fracției: capcana cu ODZ
Rezolvă \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Pasul 1. Descompunem în factori. Numărătorul este un pătrat perfect: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Pentru numitor calculăm discriminantul: \(D = 81 + 40 = 121\), rădăcini \(x_1 = \frac{1}{5}\) și \(x_2 = -2\), deci \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Pasul 2. ODZ - înainte de orice simplificare. \(5x - 1 \neq 0\) și \(x + 2 \neq 0\), adică \(x \neq \frac{1}{5}\) și \(x \neq -2\).
Pasul 3. Simplificăm. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), dar numai pentru \(x \neq \frac{1}{5}\) - simplificarea nu readuce punctul exclus înapoi.
Pasul 4. Rezolvăm \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Zerouri: \(\frac{1}{5}\) și \(-2\). Pentru \(x = 1\) fracția este \(\frac{4}{3} > 0\). Deci pe \((\frac{1}{5}; +\infty)\) este plus, pe \((-2; \frac{1}{5})\) este minus, pe \((-\infty; -2)\) este plus.
Pasul 5. Revenim la ODZ. Intervalul \((-2; \frac{1}{5}]\) ar fi convenit ca semn, dar punctul \(\frac{1}{5}\) este exclus: în inegalitatea inițială numitorul \(5x^2+9x-2\) pentru \(x = \frac{1}{5}\) se anulează, fracția nu există acolo.
Răspuns: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) - ambele paranteze sunt rotunde.
Exemplul 5. Trinom pătratic la numărător
Rezolvă \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Pasul 1. Descompunem numărătorul. Conform teoremei lui Viète, suma rădăcinilor este 7, produsul 10, deci \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Inegalitatea devine \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Pasul 2. ODZ. \(x \neq -4\).
Pasul 3. Puncte. Toate cele trei puncte sunt excluse: \(-4\) - zero al numitorului, \(2\) și \(5\) - zerouri ale numărătorului la semn strict.
Pasul 4. Semne. Punct de probă \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Toate parantezele sunt la prima putere, de aceea semnele alternează: pe \((5; +\infty)\) este plus, pe \((2; 5)\) este minus, pe \((-4; 2)\) este plus, pe \((-\infty; -4)\) este minus.
Pasul 5. Răspuns. Este necesar un minus strict: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Control prin substituție: pentru \(x = -5\) obținem \(\frac{70}{-1} < 0\), pentru \(x = 3\) obținem \(\frac{-2}{7} < 0\) - ambele intervale se potrivesc.
Greșeli frecvente la rezolvarea inegalităților raționale
-
Înmulțirea ambelor părți cu numitorul: din $\frac{3}{x-8} > 1$ obțin $3 > x - 8$ și scriu $x < 11$.
Semnul expresiei \(x - 8\) nu este cunoscut dinainte, iar la înmulțirea cu un număr negativ inegalitatea se răstoarnă. Verificare: \(x = 0\) dă \(\frac{3}{-8} < 1\) - zero nu este soluție, deși a intrat în răspunsul \(x < 11\). Corect: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), adică \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), de unde \(x \in (8; 11)\).
-
Marcarea plină a zero-ului numitorului, deoarece semnul este nestrigent: la $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ scriu răspunsul cu paranteză pătrată la șapte.
Zero-ul numitorului se exclude mereu, la orice semn: în acest punct fracția pur și simplu nu există. Răspuns corect: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) - la unu paranteza este pătrată, la șapte rotundă.
-
Simplificarea fracției și pierderea ODZ: din $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ obțin $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ și includ în răspuns punctul $x = -3$.
ODZ se scrie înainte de simplificare, pe baza numitorului inițial: \(x \neq -3\) și \(x \neq 5\). Fracția simplificată \(\frac{x+3}{x-5}\) este nepozitivă pe \([-3; 5)\) - pentru \(x = 0\) este \(-0{,}6\), ceea ce este cerut pentru semnul \(\le\). Dar punctul \(-3\) este exclus conform ODZ, de aceea răspunsul este \((-3; 5)\), nu \([-3; 5)\).
-
Considerarea că semnele pe intervale alternează mereu, și pentru $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ pun minus la dreapta lui unu.
Alternarea este corectă doar la paranteze la prima putere. Rădăcina \(x = 1\) are multiplicitatea 2, de aceea semnul nu se schimbă la trecerea peste ea. Expresia este pozitivă pe tot \((-\infty; -4)\) în afara punctului unu, unde este zero. Răspuns: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Schimbarea semnului inegalității la mutarea unui termen: din $\frac{x}{x-2} \le 3$ obțin $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Mutarea unui termen dintr-o parte în alta nu schimbă semnul inegalității - se schimbă doar semnul termenului însuși. Semnul se răstoarnă doar la înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un număr negativ. Corect: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), mai departe \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), adică \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Marcarea pe axă doar a zerourilor numărătorului, iar numitorul se verifică „după”: pentru $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ pun un singur punct -11.
Pe axă se marchează toate zerourile imediat - și ale numărătorului, și ale numitorului, altfel intervalele vor fi greșite. Aici \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), de aceea sunt trei puncte: \(-11\), \(-4\) și \(4\), nu unul singur. Toate sunt excluse (semn strict), răspuns: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Întrebări și răspunsuri
Ce este o inegalitate rațională?
Este o inegalitate în care ambele părți sunt expresii raționale (polinoame și fracții din polinoame). După mutarea totului în partea stângă, ea se reduce la forma \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), unde \(P(x)\) și \(Q(x)\) sunt polinoame, iar în locul lui \(>\) poate fi \(<\), \(\le\) sau \(\ge\).
Cum se rezolvă inegalitățile raționale?
Prin metoda intervalelor în șase pași: mută totul în stânga, astfel încât în dreapta să rămână zero; adu la o singură fracție și descompune numărătorul și numitorul în factori; scrie ODZ (\(Q(x) \neq 0\)); marchează pe axa numerică zerourile numărătorului și numitorului; stabilește semnele pe intervale folosind un punct de probă și multiplicitatea rădăcinilor; scrie în răspuns intervalele cu semnul dorit.
Prin ce se deosebește o inegalitate rațional-fracționară de una rațională întreagă?
La cea rațională întreagă, variabila se află doar la numărător, de exemplu \((x-1)(x+4) > 0\), iar ODZ - toate numerele reale. La cea rațional-fracționară, variabila se află la numitor, de exemplu \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), și apare restricția \(x \neq -4\). Algoritmul este același - se schimbă doar punctele excluse.
Cum se rezolvă inegalitățile cu o fracție?
La fel ca orice inegalitate rațională: mai întâi mută totul în partea stângă și adu la o singură fracție, nu te debarasa de numitor. De exemplu, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) se transformă în \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), adică \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Numărătorul este constant și negativ, deci fracția este nenegativă doar dacă numitorul este negativ: \(x + 2 < 0\). Răspuns: \(x \in (-\infty; -2)\).
De ce nu se pot înmulți ambele părți ale inegalității cu numitorul?
Deoarece semnul numitorului depinde de \(x\): la înmulțirea cu o expresie pozitivă semnul inegalității se păstrează, iar la înmulțirea cu una negativă - se răstoarnă. Nu se știe dinainte ce caz ai în față, de aceea o parte din soluții se pierd, iar altele se adaugă în plus. Se pot muta termeni oricând - mutarea nu schimbă semnul inegalității.
Cum se găsește ODZ într-o inegalitate?
Pentru o inegalitate rațională, ODZ - sunt toate valorile lui \(x\) pentru care numitorul nu se anulează. Egalează numitorul cu zero, rezolvă ecuația și exclude numerele găsite. ODZ se scrie pe baza numitorului inițial, înainte de simplificarea fracției - altfel punctele excluse se vor pierde.
Ce puncte sunt excluse, iar ce puncte sunt pline?
Zerourile numitorului se exclud mereu, la orice semn al inegalității. Zerourile numărătorului se marchează pline la semn nestrigent (\(\le\) sau \(\ge\)) și se exclud la semn strict (\(<\) sau \(>\)). În notația răspunsului, punctului exclus îi corespunde o paranteză rotundă, punctului plin - o paranteză pătrată.
Ce este multiplicitatea rădăcinii și de ce este necesară în metoda intervalelor?
Multiplicitatea este puterea la care apare un factor (o paranteză) în descompunerea în factori. La trecerea peste o rădăcină de multiplicitate impară, semnul expresiei se schimbă, la trecerea peste o rădăcină de multiplicitate pară - se păstrează. Tocmai de aceea semnele nu alternează mereu simplu: la \((x-9)^2(x+3)\) în punctul 9 semnul rămâne același.
În ce clasă se studiază inegalitățile raționale?
În clasa a 9-a la lecțiile de algebră, după inegalitățile pătratice și descompunerea polinoamelor în factori. Metoda intervalelor este folosită ulterior pentru inegalități exponențiale, logaritmice și iraționale, precum și în subiectele de la Evaluarea Națională și examenul de Bacalaureat la profil real.
