O inecuație rațională este o inecuație de forma \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), unde \(P(x)\) și \(Q(x)\) sunt polinoame, iar în locul semnului \(>\) poate sta \(<\), \(\ge\) sau \(\le\). Aceste inecuații se rezolvă prin metoda intervalelor: se trece totul în partea stângă, se descompune în factori, se marchează pe axa numerelor zerourile numărătorului și numitorului și se stabilesc semnele. Mai jos găsești definiția, algoritmul complet, regula punctelor excluse, multiplicitatea rădăcinilor, exemple rezolvate și un exercițiu cu verificare.
Ce este o inecuație rațională
O inecuație rațională este o inecuație în care ambele părți sunt exprimate prin expresii raționale, adică polinoame și fracții de polinoame. După ce totul este trecut într-o parte, aceasta se reduce întotdeauna la forma
unde \(P(x)\) și \(Q(x)\) sunt polinoame, iar în locul lui \(\vee\) se află unul dintre semnele \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). În dreapta trebuie să fie obligatoriu zero — aceasta este condiția fără de care metoda intervalelor nu funcționează.
Inecuațiile raționale se împart în două tipuri. Dacă variabila apare doar la numărător, inecuația se numește întreagă rațională: nu există numitor, deci orice valoare a lui \(x\) este permisă. Dacă variabila se află la numitor, inecuația este fracționar-rațională (numită și inecuație fracționară) — și atunci apare imediat restricția \(Q(x) \neq 0\).
De ce nu este permisă înmulțirea ambelor părți cu numitorul
Cea mai mare tentație la rezolvarea unei inecuații cu fracții este de a „scăpa de numitor” înmulțind ambele părți cu acesta. La ecuații acest lucru este permis, la inecuații — nu. Motivul este simplu: la înmulțirea cu un număr negativ, semnul inecuației se inversează, iar semnul expresiei \(Q(x)\) este necunoscut dinainte — el depinde de \(x\).
Să privim inecuația \(\frac{5}{x-3} < 1\). Dacă înmulțim ambele părți cu \(x - 3\), ca și cum ar fi un număr pozitiv, obținem \(5 < x - 3\), adică \(x > 8\). Să verificăm răspunsul prin substituția \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — inecuația este adevărată, deci și zero este o soluție, dar acesta nu a fost inclus în răspunsul \(x > 8\). Răspunsul este incomplet.
Calea corectă este să trecem totul în stânga și să aducem la o singură fracție:
La ultimul pas am înmulțit ambele părți cu \(-1\) și am inversat semnul — acest lucru este legitim, deoarece \(-1\) este întotdeauna negativ. Mai departe aplicăm metoda intervalelor și obținem răspunsul \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — acesta include și soluția zero pierdută anterior.
Cel mai simplu de reținut este: nu este permisă înmulțirea ambelor părți cu o expresie care conține variabila, dar trecerea termenilor dintr-o parte în alta este întotdeauna permisă. Trecerea termenilor nu schimbă semnul inecuației.
Metoda intervalelor: algoritm de rezolvare pas cu pas
Metoda intervalelor se bazează pe o singură proprietate: între zerourile consecutive ale unei expresii raționale, semnul acesteia este constant. Prin urmare, este suficient să găsim toate punctele în care numărătorul sau numitorul devine zero, să împărțim axa numerelor prin acestea și să determinăm semnul pe fiecare porțiune — folosind un punct de probă sau multiplicitatea rădăcinilor.
Puncte excluse și puncte incluse: DVA și semnul inecuației
O greșeală într-o singură paranteză transformă o rezolvare corectă într-un răspuns greșit, de aceea regula punctelor trebuie învățată separat. Există două considerente principale.
Primul — domeniul valorilor admisibile (DVA). Zeroul numitorului este întotdeauna exclus, indiferent de semnul inecuației. În acest punct, fracția pur și simplu nu există: împărțirea la zero este imposibilă, deci numărul nu poate fi o soluție, chiar dacă semnul este nestrict.
Al doilea — semn strict sau nestrict. Zerourile numărătorului fac fracția zero. În cazul unui semn nestrict (\(\le\) sau \(\ge\)), egalitatea cu zero ne convine, deci punctul este inclus (punct plin) și intră în răspuns cu paranteză pătrată. În cazul unui semn strict (\(<\) sau \(>\)) zero nu este acceptat, iar punctul este exclus (punct gol).
De exemplu, pentru inecuația \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\), punctul \(x = 6\) este inclus (zeroul numărătorului, semn nestrict), iar punctul \(x = -1\) este exclus (zeroul numitorului). Răspunsul: \(x \in (-1; 6]\).
| Ce fel de punct | Cum marcăm |
|---|---|
| Zeroul numitorului, Q(x) = 0 | exclus întotdeauna, indiferent de semn — punctul nu este în DVA |
| Zeroul numărătorului, semn strict < sau > | exclus fracția este zero, dar avem nevoie de un semn strict diferit |
| Zeroul numărătorului, semn nestrict ≤ sau ≥ | inclus egalitatea cu zero este acceptată, punctul intră în răspuns |
Multiplicitatea rădăcinilor: unde semnul se schimbă și unde nu
Semnele pe intervale nu trebuie neapărat să alterneze — aceasta este cea mai frecventă eroare în acest subiect. Alternanța funcționează doar atunci când toate parantezele sunt la puterea întâi. Regula este mai precisă dacă vorbim despre multiplicitatea rădăcinii — exponentul puterii parantezei corespunzătoare.
La trecerea printr-o rădăcină de multiplicitate impară (puterea 1, 3, 5), semnul expresiei se schimbă. La trecerea printr-o rădăcină de multiplicitate pară (puterea 2, 4), semnul nu se schimbă: paranteza la putere pară este nenegativă și nu afectează semnul expresiei. Multiplicitatea se calculează la fel atât pentru numărător, cât și pentru numitor.
Să luăm \((x-9)^2(x+3) > 0\). Rădăcinile: \(x = 9\) de multiplicitate 2 și \(x = -3\) de multiplicitate 1. La dreapta de 9, expresia este pozitivă. Trecem prin \(9\) — multiplicitate pară, semnul se păstrează, pe intervalul \((-3; 9)\) avem tot plus. Trecem prin \(-3\) — multiplicitate impară, semnul se schimbă în minus. Răspunsul inecuației stricte: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), punctul \(9\) este exclus, deoarece acolo expresia este zero. Iar pentru inecuația nestrică \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) răspunsul este deja altul: \(x \in [-3; +\infty)\) — nouă este inclus și „lipește” două intervale într-unul singur.
| Multiplicitatea rădăcinii | Semnul la trecere |
|---|---|
| Impară: (x − a), (x − a)3 | se schimbă |
| Pară: (x − a)2, (x − a)4 | nu se schimbă |
Axa numerelor pe un exemplu: stabilirea semnelor
Să adunăm totul pe inecuația \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Zerourile numărătorului: \(x = -7\). Zerourile numitorului: \(x = 2\) și \(x = 5\), acestea definesc și DVA. Toate cele trei paranteze sunt la puterea întâi, deci semnele alternează. Punctul de probă \(x = 10\) în cel mai din dreapta interval dă \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — începem cu plus și mergem spre stânga, schimbând semnul în fiecare punct.
Exemple de rezolvare a inecuațiilor raționale
Exemplul 1. Inecuație fracționară simplă
Rezolvă \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Pasul 1. În dreapta este deja zero, fracția este deja una singură — nu avem ce transfera sau aduce la același numitor.
Pasul 2. DVA. \(x + 5 \neq 0\), adică \(x \neq -5\).
Pasul 3. Zerouri. Numărătorul este zero pentru \(x = 3\), numitorul — pentru \(x = -5\).
Pasul 4. Puncte pe axă. \(x = 3\) îl includem (zeroul numărătorului, semn nestrict), \(x = -5\) îl excludem (zeroul numitorului).
Pasul 5. Semne. Punctul de probă \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — la dreapta avem plus. Ambele paranteze sunt la puterea întâi, deci semnele alternează: pe \((-5; 3)\) avem minus, pe \((-\infty; -5)\) avem plus. Verificăm: pentru \(x = -6\) obținem \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — se confirmă.
Pasul 6. Răspuns. Avem nevoie de semnul „plus sau zero”: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Exemplul 2. În dreapta nu este zero — transferăm
Rezolvă \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Pasul 1. Trecem unitatea în stânga. Nu este permisă înmulțirea cu \(x - 4\), semnul acestei expresii este necunoscut:
Pasul 2. Aducem la o singură fracție.
Pasul 3. DVA. \(x \neq 4\).
Pasul 4. Puncte. \(x = -5\) — zeroul numărătorului, semn nestrict, includem. \(x = 4\) — zeroul numitorului, excludem.
Pasul 5. Semne. Pentru \(x = 5\) fracția este egală cu \(\frac{10}{1} > 0\). Deci pe \((4; +\infty)\) avem plus, pe \((-5; 4)\) avem minus, pe \((-\infty; -5)\) avem plus.
Pasul 6. Răspuns. \(x \in [-5; 4)\). Verificarea punctelor de frontieră: pentru \(x = -5\) fracția este zero — se potrivește pentru \(\le\); pentru \(x = 4\) fracția nu există — nu se potrivește.
Exemplul 3. Rădăcină de multiplicitate pară și punct izolat
Rezolvă \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Pasul 1. DVA. \(x \neq 9\).
Pasul 2. Zerouri și multiplicități. \(x = 2\) — multiplicitate 2 (pară), \(x = -6\) — multiplicitate 1, \(x = 9\) — multiplicitate 1 la numitor.
Pasul 3. Puncte. \(x = 2\) și \(x = -6\) le includem (zerourile numărătorului la semn nestrict), \(x = 9\) îl excludem.
Pasul 4. Semne. Punctul de probă \(x = 10\): numărătorul este pozitiv, numitorul este 1 — plus. Mergem spre stânga. Prin \(9\) (multiplicitate impară) semnul se schimbă: pe \((2; 9)\) avem minus. Prin \(2\) (multiplicitate pară) semnul nu se schimbă: pe \((-6; 2)\) avem tot minus. Prin \(-6\) (multiplicitate impară) semnul se schimbă: pe \((-\infty; -6)\) avem plus.
Pasul 5. Răspuns. Luăm intervalele cu semnul „plus” plus toate punctele unde expresia este zero. Punctul \(x = 2\) se află în interiorul intervalului cu minus, dar expresia acolo este zero, deci el intră în răspuns separat:
Un astfel de punct „singuratic” în răspuns este un semn sigur al unei rădăcini de multiplicitate pară la semn nestrict.
Exemplul 4. Simplificarea fracției: capcana cu DVA
Rezolvă \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Pasul 1. Descompunem în factori. Numărătorul — pătrat perfect: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Pentru numitor calculăm discriminantul: \(D = 81 + 40 = 121\), rădăcinile \(x_1 = \frac{1}{5}\) și \(x_2 = -2\), deci \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Pasul 2. DVA — înainte de orice simplificare. \(5x - 1 \neq 0\) și \(x + 2 \neq 0\), adică \(x \neq \frac{1}{5}\) și \(x \neq -2\).
Pasul 3. Simplificăm. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), dar numai pentru \(x \neq \frac{1}{5}\) — simplificarea nu readuce punctul exclus înapoi.
Pasul 4. Rezolvăm \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Zerouri: \(\frac{1}{5}\) și \(-2\). Pentru \(x = 1\) fracția este \(\frac{4}{3} > 0\). Deci pe \((\frac{1}{5}; +\infty)\) avem plus, pe \((-2; \frac{1}{5})\) avem minus, pe \((-\infty; -2)\) avem plus.
Pasul 5. Revenim la DVA. Intervalul \((-2; \frac{1}{5}]\) s-ar potrivi după semn, dar punctul \(\frac{1}{5}\) este exclus: în inecuația inițială numitorul \(5x^2+9x-2\) pentru \(x = \frac{1}{5}\) devine zero, fracția nu există acolo.
Răspuns: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — ambele paranteze sunt rotunde.
Exemplul 5. Trinom pătratic la numărător
Rezolvă \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Pasul 1. Descompunem numărătorul. Conform teoremei lui Viète, suma rădăcinilor este 7, produsul 10, deci \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Inecuația devine \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Pasul 2. DVA. \(x \neq -4\).
Pasul 3. Puncte. Toate cele trei puncte sunt excluse: \(-4\) — zeroul numitorului, \(2\) și \(5\) — zerourile numărătorului la semn strict.
Pasul 4. Semne. Punctul de probă \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Toate parantezele sunt la puterea întâi, deci semnele alternează: pe \((5; +\infty)\) avem plus, pe \((2; 5)\) avem minus, pe \((-4; 2)\) avem plus, pe \((-\infty; -4)\) avem minus.
Pasul 5. Răspuns. Avem nevoie de minus strict: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Control prin substituție: pentru \(x = -5\) obținem \(\frac{70}{-1} < 0\), pentru \(x = 3\) obținem \(\frac{-2}{7} < 0\) — ambele intervale se potrivesc.
Greșeli frecvente la rezolvarea inecuațiilor raționale
-
Înmulțirea ambelor părți cu numitorul: din $\frac{3}{x-8} > 1$ fac $3 > x - 8$ și scriu $x < 11$.
Semnul expresiei \(x - 8\) este necunoscut dinainte, iar la înmulțirea cu un număr negativ inecuația se inversează. Verificare: \(x = 0\) dă \(\frac{3}{-8} < 1\) — zero nu este soluție, deși a intrat în răspunsul \(x < 11\). Corect: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), adică \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), de unde \(x \in (8; 11)\).
-
Includerea zeroului numitorului pentru că semnul este nestrict: la $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ scriu răspunsul cu paranteză pătrată la șapte.
Zeroul numitorului este exclus întotdeauna, indiferent de semn: în acest punct fracția pur și simplu nu există. Răspunsul corect: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — la unu paranteza este pătrată, la șapte este rotundă.
-
Simplificarea fracției și pierderea DVA: din $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ obțin $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ și includ în răspuns punctul $x = -3$.
DVA se scrie înainte de simplificare, conform numitorului inițial: \(x \neq -3\) și \(x \neq 5\). Fracția simplificată \(\frac{x+3}{x-5}\) este nepozitivă pe \([-3; 5)\) — pentru \(x = 0\) ea este \(-0{,}6\), ceea ce se cere pentru semnul \(\le\). Dar punctul \(-3\) este exclus conform DVA, deci răspunsul este \((-3; 5)\), nu \([-3; 5)\).
-
Considerarea că semnele pe intervale alternează întotdeauna, și pentru $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ pun minus la dreapta de unu.
Alternanța este corectă doar pentru paranteze la puterea întâi. Rădăcina \(x = 1\) are multiplicitate 2, deci semnul prin ea nu se schimbă. Expresia este pozitivă pe tot \((-4; +\infty)\), în afară de unu, unde este zero. Răspuns: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Schimbarea semnului inecuației la transferul unui termen: din $\frac{x}{x-2} \le 3$ fac $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Transferul unui termen dintr-o parte în alta nu schimbă semnul inecuației — se schimbă doar semnul termenului respectiv. Semnul se inversează doar la înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un număr negativ. Corect: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), mai departe \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), adică \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Marcarea pe axă doar a zerourilor numărătorului, iar numitorul verificat „mai târziu”: pentru $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ pun un singur punct $-11$.
Pe axă se marchează toate zerourile imediat — și ale numărătorului, și ale numitorului, altfel intervalele vor fi greșite. Aici \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), deci punctele sunt trei: \(-11\), \(-4\) și \(4\), nu unul. Toate sunt excluse (semn strict), răspuns: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Întrebări și răspunsuri
Ce este o inecuație rațională?
Este o inecuație în care ambele părți sunt expresii raționale (polinoame și fracții de polinoame). După trecerea totului în partea stângă, aceasta se reduce la forma \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), unde \(P(x)\) și \(Q(x)\) sunt polinoame, iar în locul lui \(>\) poate sta \(<\), \(\le\) sau \(\ge\).
Cum se rezolvă inecuațiile raționale?
Prin metoda intervalelor în șase pași: trecerea totului în stânga pentru a lăsa zero în dreapta; aducerea la o singură fracție și descompunerea numărătorului și numitorului în factori; scrierea DVA (\(Q(x) \neq 0\)); marcarea pe axa numerelor a zerourilor numărătorului și numitorului; stabilirea semnelor pe intervale folosind un punct de probă și multiplicitatea rădăcinilor; scrierea răspunsului sub formă de intervale cu semnul necesar.
Cu ce diferă inecuația fracționar-rațională de cea întreagă rațională?
La inecuația întreagă rațională variabila apare doar la numărător, de exemplu \((x-1)(x+4) > 0\), iar DVA este mulțimea tuturor numerelor reale. La cea fracționar-rațională variabila se află la numitor, de exemplu \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), și apare restricția \(x \neq -4\). Algoritmul este același — se schimbă doar punctele excluse.
Cum se rezolvă inecuațiile cu fracții?
La fel ca orice inecuație rațională: mai întâi trecem totul în partea stângă și aducem la o singură fracție, fără a scăpa de numitor. De exemplu, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) devine \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), adică \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Numărătorul este constant și negativ, deci fracția este nenegativă doar pentru un numitor negativ: \(x + 2 < 0\). Răspuns: \(x \in (-\infty; -2)\).
De ce nu este permisă înmulțirea ambelor părți ale inecuației cu numitorul?
Deoarece semnul numitorului depinde de \(x\): la înmulțirea cu o expresie pozitivă semnul inecuației se păstrează, iar la înmulțirea cu una negativă — se inversează. Nu se știe dinainte cu ce caz avem de-a face, de aceea o parte din soluții se pierd, iar altele apar în plus. Transferul termenilor este întotdeauna permis — acesta nu schimbă semnul inecuației.
Cum se găsește DVA într-o inecuație?
Pentru o inecuație rațională, DVA reprezintă toate valorile lui \(x\) pentru care numitorul nu devine zero. Egalăm numitorul cu zero, rezolvăm ecuația și excludem numerele găsite. DVA trebuie scris conform numitorului inițial, înainte de simplificarea fracției — altfel punctele excluse se vor pierde.
Care puncte sunt excluse și care sunt incluse?
Zerourile numitorului sunt excluse întotdeauna, indiferent de semnul inecuației. Zerourile numărătorului sunt incluse la semn nestrict (\(\le\) sau \(\ge\)) și excluse la semn strict (\(<\) sau \(>\)). În scrierea răspunsului, punctului exclus îi corespunde o paranteză rotundă, iar celui inclus — una pătrată.
Ce este multiplicitatea rădăcinii și de ce este necesară în metoda intervalelor?
Multiplicitatea este puterea la care paranteza apare în descompunere. La trecerea printr-o rădăcină de multiplicitate impară semnul expresiei se schimbă, la trecerea printr-o rădăcină de multiplicitate pară — se păstrează. Tocmai de aceea semnele nu alternează întotdeauna: la \((x-9)^2(x+3)\) în punctul \(9\) semnul rămâne neschimbat.
În ce clasă se studiază inecuațiile raționale?
În clasa a 9-a la lecțiile de algebră, după inecuațiile pătratice și descompunerea polinoamelor în factori. Metoda intervalelor este utilizată ulterior pentru inecuații exponențiale, logaritmice și iraționale, precum și în sarcinile de la examenele naționale.
