Деление чисел

Основные понятия и определения

Деление — это одна из четырёх основных арифметических операций, обратная умножению. При делении числа $a$ на число $b$ мы находим такое число $c$, что $b \cdot c = a$. Число $a$ называется делимым, число $b$ — делителем, а результат деления $c$ — частным.

Запись: $a : b = c$ или $a \div b = c$ или $\frac{a}{b} = c$

Виды деления

1. Деление натуральных чисел

При делении натуральных чисел возможны два случая:

• Деление нацело — когда делимое делится на делитель без остатка.
  Например: $12 : 4 = 3$, так как $4 \cdot 3 = 12$.

• Деление с остатком — когда делимое не делится на делитель нацело.
  Например: $14 : 4 = 3$ (остаток $2$), так как $4 \cdot 3 + 2 = 14$.

2. Деление десятичных дробей

• На натуральное число: делим, как обычно, сохраняя положение запятой.
  Например: $15,6 : 3 = 5,2$

• На десятичную дробь: умножаем делимое и делитель на одно и то же число (степень 10), чтобы делитель стал натуральным числом, затем выполняем деление.
  Например: $5,46 : 1,3 = (5,46 \cdot 10) : (1,3 \cdot 10) = 54,6 : 13 = 4,2$

• На 10, 100, 1000 и т.д.: перемещаем запятую влево на столько цифр, сколько нулей в делителе.
  Например: $45,6 : 10 = 4,56$, $45,6 : 100 = 0,456$

Алгоритм деления в столбик

1. Записываем делимое и делитель в столбик.
2. Определяем первое неполное делимое — берём цифры слева, пока не получим число, которое больше или равно делителю.
3. Делим неполное делимое на делитель и записываем результат в частное.
4. Умножаем делитель на полученную цифру частного и вычитаем из неполного делимого.
5. К полученному остатку приписываем следующую цифру делимого — получаем новое неполное делимое.
6. Повторяем шаги 3-5, пока не используем все цифры делимого.

Свойства деления

1. Деление числа на 1 даёт то же самое число: $a : 1 = a$
2. Деление числа на само себя (кроме нуля) даёт 1: $a : a = 1$, $a \neq 0$
3. Деление на ноль невозможно (не определено)
4. Деление нуля на любое число (кроме нуля) даёт ноль: $0 : a = 0$, $a \neq 0$
5. При делении суммы на число можно разделить каждое слагаемое на это число, а затем сложить результаты: $(a + b) : c = a : c + b : c$

Типичные ошибки при делении

1. Неправильное определение первого неполного делимого
   - Правильно: в числе 825 при делении на 25 первое неполное делимое — 82
   - Неправильно: брать только первую цифру 8, которая меньше 25

2. Ошибки при вычитании
   - Например, при делении 825 на 25: $82 - 75 = 7$, а не 17

3. Пропуск нулей в частном
   - Если при делении получается остаток, меньший делителя, и следующая цифра делимого — 0, в частном нужно писать 0
   - Например: $608 : 4 = 152$, а не $62$

4. Неправильная расстановка запятой в частном при делении десятичных дробей
   - При делении десятичной дроби на натуральное число запятая в частном ставится, когда заканчивается деление целой части

Проверка результата деления

Для проверки правильности деления можно использовать умножение: $a : b = c$ верно, если $b \cdot c = a$.

При делении с остатком: $a : b = c$ (остаток $r$) верно, если $b \cdot c + r = a$ и $r < b$.